Matematika 7 - 3.4 Izračun osnovne vrijednosti

Računanje cjeline napamet

Prisjetimo se da postotni iznos od neke cjeline računamo tako da pomnožimo postotak s tom veličinom.

Postotak računamo tako da stavimo u omjer postotni iznos i veličinu od koje računamo postotak, tj. cjelinu.

Koliko je putnika u tramvaju ako jedna putnica nema kartu, a to je $20 %$ svih putnika?

Prisjetimo se da je $20 %$ jedna petina od $100 % .$ Dakle, ukupni broj putnika je pet puta veći od broja putnika bez karte.

Zaključujemo da je u tramvaju $1 \cdot 5 = 5$ putnika.

Zadatak 1.

Procijenite, a zatim izračunajte. Rezultat upišite u obliku prirodnog broja.

$10 %$ od
Pozornno pročitajte zadatak.
$kn$ je $50 kn$ .

Pomoć:

$10 %$ je desetina cjeline.

Cjelina je uvijek veća od dijela pa je tako i osnovna vrijednost uvijek veća od postotnog iznosa.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null
$25 %$ od
Pozorno pročitajte zadatak.
$kg$ je $50 kg .$

Pomoć:

$25 %$ je četvrtina cjeline.

Cjelina je uvijek veća od dijela pa je tako i osnovna vrijednost uvijek veća od postotnog iznosa.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.
$20 %$ od
$20 %$ je jedna petina od cjeline.
$mL$ je $200 mL .$

Pomoć:

$20 %$ je petina cjeline.

Cjelina je uvijek veća od dijela pa je i osnovna vrijednost uvijek veća od postotnog iznosa.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Računanje cjeline dijeljenjem

Zanimljivost

Kad dijelimo s brojem koji je veći od $0,$ a manji od $1,$ količnik će biti veći od djeljenika. Što je djelitelj manji, to je količnik veći.

Primjerice:

$20 : 0.2 = 100$

$20 : 0.02 = 1000$

$20 : 0.002 = 10 000 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Ilustracija prikazuje crni sportski ruksak. Na njemu je žuta linija.

Ruksak se prodaje na sniženju od $30 % .$ Cijena ruksaka snižena je za $89.70 kn .$ Kolika je redovita cijena tog ruksaka?

Najprije procijenite rješenje, zatim samostalno izračunajte i onda usporedite svoju procjenu i rješenje s ponuđenim.

Sniženje je $89.70 kn,$ što je približno $90 kn,$ a $30 %$ je približno trećina redovite cijene. Dakle, redovita je cijena približno $90 \cdot 3 = 270 kn .$

Redovita cijena ruksaka je cjelina. Postotni je iznos $89.70 kn,$ a postotak $30 % .$ Zapišimo najprije postotak u decimalnom obliku: $30 % = 0.3 .$

Redovitu cijenu dobit ćemo tako da postotni iznos podijelimo s postotkom.

Podijelimo $89.70 : 0.3 = 299 .$

Redovita je cijena ruksaka $299 kn .$

Zadatak 3.

U 7. c razredu troje učenika dobilo je ocjenu dobar. Koliko je učenika u razredu ako učiteljica kaže da je $15 %$ učenika dobilo ocjenu dobar?

Najprije procijenite rješenje, zatim samostalno izračunajte i onda usporedite svoju procjenu i rješenje s ponuđenim.

$15 %$ je približno $20 %$ pa zaključujemo da u razredu ima približno pet puta više učenika, tj. $15 .$

U razredu je

Pažljivo pročitajte zadatak.

učenika.

Pomoć:

Podijelite postotni iznos s postotkom.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 4.

Koliko je veslača u klubu ako ih je na trening došlo $15,$ koji čine $30 %$ svih veslača u klubu?

U klubu je

Pažljivo pročitajte zadatak.

veslača.

Pomoć:

Zadatak možete računati i napamet. $30 %$ od nekog broja je $15 .$ Ako postotak $30 %$ i postotni iznos $15$ podijelimo s $3,$ dobit ćemo informaciju da $10 %$ iste osnovne vrijednosti iznosi $5 .$ Novi postotni iznos pomnožite s $10$ kako biste dobili osnovnu vrijednost.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Zatvori

Zanimljivost

Cjelinu računamo tako da postotni iznos podijelimo s postotkom.

Računanje osnovne vrijednosti formulom

Primjer 1.

Vida je riješila $18$ zadataka, što je $90 %$ ukupnog broja zadataka koje je zadala učiteljica za dodatnu vježbu. Koliko je zadataka učiteljica zadala?

Prepoznajmo u primjeru osnovnu vrijednost, postotak i postotni iznos, kao što smo naučili u prethodnim jedinicama.

Osnovna vrijednost $x$ je broj od kojega računamo postotak, cjelina.

Postotni iznos $y$ je iznos dobiven postotkom, dio cjeline.

Postotak je $p % .$

Postotni iznos je broj zadataka koje je Vida riješila, $y = 18$ zadataka.

Postotak je $p % = 90 % .$

Osnovna vrijednost ili cjelina je ukupan broj zadataka koje je zadala učiteljica, $x .$

Postavimo početnu formulu, $y = p % \cdot x,$

uvrstimo potrebne podatke, $18 = 90 % \cdot x .$

Zapišemo $90 %$ u decimalnom obliku, $90 % = 0.9 .$

Uvrstimo ponovno, $18 = 0.9 \cdot x,$

riješimo jednadžbu,

$x = 18 : 0.9$

$x = 20 .$

Učiteljica je zadala $20$ dodatnih zadataka.

Iz primjera vidimo da cjelinu, odnosno osnovnu vrijednost možemo izračunati tako da postotni iznos podijelimo s postotkom.

Postotak označavamo s $p % .$ Postotni iznos označavamo s $y .$ Cjelinu ili osnovnu vrijednost označavamo s $x .$

$x = y : p %$

Zanimljivost

Cjelinu izračunamo tako da postotni iznos podijelimo s postotkom.

Prisjetimo se da postotak možemo zapisati i kao razlomak s nazivnikom $100 .$

$p % = \frac{p}{100}$

Formula postotnog računa tada je:

$y = \frac{p \cdot x}{100} .$

Pomnožimo lijevu i desnu stranu sa $100 :$

$y = \frac{p \cdot x}{100}$ $/ \cdot 100$

$100 y = p \cdot x.$

Zamijenimo strane:

$p \cdot x = 100 y .$

Izračunamo $x :$

$x = \frac{100 y}{p} .$

Osnovnu vrijednost možemo računati i ovako: $x = \frac{100 y}{p} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Slika prikazuje travu zelene boje. U travi se nalazi otvorena knjiga.

Ana je pročitala $160$ stranica knjige, što je $25 %$ svih stranica knjige.

Koliko stranica ima knjiga?

Odredite postotni iznos i postotak pa izračunajte osnovnu vrijednost.

Knjiga ima

Pažljivo pročitajte zadatak

stranica.

Pomoć:

Postotak zapišite u decimalnom obliku, a potom postotni iznos podijelite s postotkom zapisanim na taj način.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

$p % = 25 %$

$y$ stranica

$x = y : p % = 160 : 0.25 = 640$ stranica

Zadatak 6.

Slika prikazuje štand na tržnici. Na njemu se nalaze riblji fileti.

Na osječku tržnicu stigla je dostava ribe i morskih plodova. Morskih plodova bilo je $15 kg,$ što je $20 %$ ukupne pošiljke. Kolika je ukupna masa dostavljene ribe i morskih plodova?

Najprije procijenite ukupnu količinu ribe i morskih plodova pa izračunajte.

Dostavljeno je

20 %

je petina ukupne količine.

kg

ribe i morskih plodova.

Pomoć:

$20 %$ je petina ukupne količine.

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

$p % = 20 % = 0.2$
$y = 15 kg$

$x = y : p % = 15 : 0.2 = 75 kg .$

Zatvori

Računanje osnovne vrijednosti s pomoću razmjera

Primjer 2.

U trgovinu je došla narudžba bombona. Od ukupne količine koja je stigla, u $20 %$ vrećica su gumeni bomboni. Ako je došlo $35$ vrećica gumenih bombona, koliko je vrećica bombona ukupno došlo u toj narudžbi?

Već smo vidjeli u prethodnim jedinicama da su postotni iznos $y$ i osnovna vrijednost $x$ proporcionalne veličine s koeficijentom $p %$ i vrijedi $y : x = p % .$

Postotak $p %$ je omjer naprema $100 .$

Iz toga dobijemo jednakost dvaju omjera, odnosno razmjer dio : cjelina = postotak : $100 .$

$y : x = p : 100 .$

Kad postotni račun rješavamo s pomoću razmjera, postotak ne trebamo zapisivati ni u decimalnom ni u razlomačkom obliku, samo iščitamo broj $p .$

Razmjer rješavamo onako kako smo naučili u jedinici Proporcije ili razmjeri, modul Proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine.

Riješimo taj zadatak s pomoću razmjera.

Prepoznajmo postotni iznos, postotak i osnovnu vrijednost.

Postotni iznos, $y = 35$ vrećica bombona.

Postotak, $p % = 20 % .$

Osnovna vrijednost $x$ je ukupan broj vrećica bombona.

Postavimo razmjer $y : x = p : 100,$

uvrstimo podatke u razmjer $35 : x = 20 : 100,$

riješimo razmjer $20 \cdot x = 100 \cdot 35,$

izračunamo $20 x = 3 500,$

$x = 3 500 : 20,$

$x = 175$ vrećica bombona.

U narudžbi je došlo $175$ vrećica bombona.

Dio : cjelina = postotak : $100 .$

$y : x = p : 100$

Zadatak 7.

U školskoj je godini do sada održano $35$ sati matematike, što je $25 %$ ukupne predviđene satnice. Koliko je sati matematike predviđeno za cijelu školsku godinu?

Riješite zadatak s pomoću razmjera.

Broj sati matematike predviđenih za cijelu školsku godinu je .

Pomoć:

Pažljivo pročitajte zadatak.

Postupak:

$35 : x = 25 : 100$

$25 x = 3 500$

$x = 3 500 : 25 = 140$ sati matematike.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Na stranicama prikazanih kvadratića napisani su zadatci i rješenja. Kvadratiće premještajte mišem i složite ih tako da spojite odgovarajući zadatak s odgovarajućim rješenjem. Klikom na kvadratić sa označenim upitnikom interakcija postavlja odgovarajući kvadratić u srednje polje kako bi slaganje bilo olakšano. Klikom na gumb sa kvačicom provjerite jeste li kvadratiće stavili na točna mjesta. Ukoliko jeste, u kvadratiću će se pojaviti kvačica. Kvadratiće možete i rotirati lijevom i desnom strelicom u gornjim kutovima kvadratića. Na rubovima će vam ostati zadatci ili rješenja koji se ne mogu spojiti.

Zadatak 9.

Slika prikazuje isjeckano voće. Isjeckano voće uredno je posloženo na tanjur.

Učenice su za užinu kupile paket narezanog voća. Lana je uzela tri komada ananasa i rekla ostalim učenicima da im prepušta ostalih $80 %$ paketa. Koliko je komada voća bilo u paketu?

Najprije izračunajte postotak voća koje je Lana uzela. Procijenite koliko je komada voća u paketu, a zatim izračunajte točno.

U paketu je bilo približno
Pogledajte uputu.
komada voća.

Pomoć:

Ostalo je $80 %,$ znači da je Lana uzela $20 %$ . Da je uzela dva komada, to bi bilo $20 %$ od ukupno $10,$ a ona je uzela malo više pa je i voća bilo malo više.
Lana je uzela
Pažljivo pročitajte zadatak.
$%$ od
Pažljivo pročitajte zadatak.
komada voća.

Pomoć:

Sada izračunajte točno i odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

$3 : x = 20 : 100$

Zadatak možete riješiti i na neki drugi način.

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Mama je nakon godinu dana otplatila $36 000$ kuna kredita, što je $30 %$ ukupne vrijednosti kredita. Kolika je ukupna vrijednost kredita koji je mama podignula?

Najprije procijenite ukupnu vrijednost kredita, a zatim izračunajte točno.

Vrijednost kredita je približno
Pogledajte uputu.

$kn .$

Pomoć:

$30 %$ je približno trećina ukupnog kredita, pa je ukupna vrijednost kredita malo više od $3 \cdot 36 000 .$
Ukupna vrijednost kredita koji mama mora otplatiti je
Pozorno pročitajte zadatak.
kuna.

Pomoć:

Sada točno izračunajte i odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

$x = 36 000 : 30 \cdot 100$

Zadatak možete riješiti i na neki drugi način.

Zadatak 11.

Ilustracija prikazuje dječji bicikl. Bicikl je bijel sa crnim gumama i zelenim felgama.

Tvornica bicikala proizvela je $80 %$ naručenih bicikala, to jest $2 048$ bicikala. Koliko je bicikala naručeno?

Najprije procijenite količinu naručenih bicikala, zatim izračunajte točan broj naručenih bicikala.

Naručeno je približno
Pogledajte uputu.
bicikala.

Pomoć:

$2 048$ zaokružimo na $2 000$ bicikala. $80 %$ je malo više od $75 %$ , što je tri četvrtine naručenih bicikala. Znači da nedostaje još jedna četvrtina, a to je oko $500$ bicikala. Sada dodajte količinu koja nedostaje količini koju su proizveli.

null
Naručeno je
Pažljivo pročitajte zadatak.
bicikala.

Pomoć:

Sada točno izračunajte i odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Zadatak 12.

Majka je platila $45 %$ ukupne godišnje školarine za glazbenu školu. Kolika je godišnja školarina ako je do sada platila $675$ kuna?

Najprije procijenite iznos godišnje školarine, zatim izračunajte točan iznos.

Približni iznos školarine je
Pogledajte uputu.

$kn .$

Pomoć:

$45 %$ je malo manje od $50 %$ , od pola iznosa, a toliko je uplaćeno, znači da je ukupan iznos malo više od $675 \cdot 2 = 1 350 kn .$

null
Iznos godišnje školarine je
Pažljivo pročitajte zadatak.
kuna.

Pomoć:

Sada izračunajte točno i odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

Na ispitu iz matematike $60 %$ studenata dobilo je prolaznu ocjenu, a $12$ studenata nije položilo ispit. Koliko je studenata pristupilo ispitu?

Ako je $60 %$ studenata položilo ispit, $40 %$ ih nije položilo. Tih $40 %$ je $12$ studenata. Broj studenata koji su pristupili ispitu je osnovna vrijednost, cjelina.

$x = 12 : 40 %$

$x = 30$

Ispitu je pristupilo $30$ studenata.

Povezani sadržaji

Primjer 3.

Koliko litara $60 %$ -tne kiseline treba pomiješati s $10$ litara $30 %$ -tne kiseline da dobijemo kiselinu jakosti $50 % ?$

Detaljno rješenje možete pogledati u videozapisu Kiseline.

Zanimljivost

Kiseline i lužine su osnovni kemijski spojevi, a kiselost i lužnatost važni pojmovi koji su u čestoj upotrebi u svakodnevnom životu, primjerice u proizvodnji sapuna i šampona, u medicini, biologiji i još mnogim drugim područjima.

Kiseline su tvari čije vodene otopine imaju kiseo okus. Možemo ih podijeliti na jake i slabe. Slaba kiselina je, primjerice, octena kiselina. Voda ima kiselost $0 .$ Čista kiselina ima kiselost $100 % .$ Voda i druga otapala otapaju kiselinsku jakost.

Primjerice, deset litara $30 %$ -tne kiseline znači da je u tih $10$ litara $30 %$ čiste kiseline, odnosno $10 \cdot 30 % = 3$ litre čiste kiseline, a ostatak je neka druga tvar. Miješanjem kiselina različitih jakosti dobivamo kiselinu nove jakosti. Više o kiselinama možete pročitati u Kemijskom rječniku.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

U smjesi imamo $30$ litara $20 %$ -tne kiseline. Koliko litara $40 %$ -tne kiseline treba dodati da bi se dobila smjesa $35 %$ -tne jakosti?

$30 \cdot 20 % + x \cdot 40 % = (30 + x) \cdot 35 %$

$30 \cdot 0.2 + 0.4 x = 0.35 (x + 30)$

$6 + 0.4 x = 0.35 x + 10.5$

$0.4 x - 0.35 x = 10.5 - 6$

$0.05 x = 4.5$

$x = 90$ litara

U smjesu treba dodati $90$ litara $35 %$ -tne kiseline.

Zadatak 15.

Koliko litara vode treba dodati u pet litara $45 %$ -tne kiseline da se dobije $30 %$ -tna kiselina?

$x \cdot 0 % + 5 \cdot 45 % = (x + 5) \cdot 30 %$

$0 + 5 \cdot 0.45 = (x + 5) \cdot 0.3$

$2.25 = 0.3 (x + 5)$

$2.25 = 0.3 x + 1.5$

$0.3 x = 0.75$

$x = 2.5$ litara

Treba dodati $2.5$ litara vode.

Zatvori

...i na kraju

U prethodnim jedinicama utvrdili smo da je osnovna vrijednost cjelina. Naučili smo da se može izračunati tako da podijelimo postotni iznos s postotkom. Postotni iznos $y$ i osnovna vrijednost $x$ su u jednakom omjeru kao i postotak $p$ naprema $100 .$

Dio : cjelina = postotak : $100 .$

Za kraj riješite još jedan zadatak s podatcima Državnoga zavoda za statistiku te ponovite formule postotnog računa.

Zanimljivost

Aktivno stanovništvo jedne države je radna snaga te države. To su svi stanovnici stariji od $15$ godina, zaposleni ili nezaposleni koji traže posao.

Radno sposobno stanovništvo su svi stanovnici jedne države stariji od $15$ godina.

Zadatak 16.

Slika prikazuje infografiku sa aktivnim stanovništvom. Na njoj je prikazan broj zaposlenim i broj nezaposlenih građana.

Izvor slike: DZS

Stopa aktivnosti je postotni udjel aktivnog stanovništva u radno sposobnom stanovništvu, a ona je u 2016. iznosila $51.3 % .$ Više informacija možete saznati u publikaciji Državnog zavoda za statistiku: Aktivno stanovništvo u Republici Hrvatskoj 2016.

Ako znamo da je aktivnog stanovništva bilo $1 831 000,$ koliko je bilo ukupno radno sposobnog stanovništva?

Aktivno stanovništvo je udjel radno sposobnog stanovništva, znači da se ovdje traži osnovna vrijednost. Postotni iznos je broj aktivnog stanovništva, postotak je $51.3 % .$

$1 831 000 : x = 51.3 : 100$

$x = 3 569 201$ stanovnik.

U 2016. godini bilo je ukupno $3 569 200$ radno sposobnog stanovništva.

Ponovimo formule postotnog računa:

Povucite formule na odgovarajuće mjesto na plakatu.

$y = p % \cdot x$

$x = \frac{y}{p %}$

$p % = \frac{y}{x}$

Pomoć:

Pozorno pogledajte formule i dovucite ih ispod ispravnog naziva.

Projekt

Napravite plakat s formulama postotnog računa i njime ukrasite učionicu.

3.4 Izračun osnovne vrijednosti

Na početku...

Računanje cjeline napamet

Zadatak 1.

Računanje cjeline dijeljenjem

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zanimljivost

Računanje osnovne vrijednosti formulom

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Računanje osnovne vrijednosti s pomoću razmjera

Zadatak 7.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

Povezani sadržaji

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

Zadatak 15.

...i na kraju

Zanimljivost

Zadatak 16.

Projekt

3.5 Primjena postotnog računa