Matematika 7 - 9.1 Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom

Označimo s $x$ broj učiteljičinih godina i postavimo linearnu jednadžbu onako kako smo učili u šestom razredu.

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom je jednadžba oblika $a x = b,$ gdje su $a$ i $b$ zadani racionalni brojevi, $a \neq 0,$ a $x$ je nepoznanica.

Zanimljivost

Jednadžba je matematički pojam koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću znaka jednakosti.

Kad kažemo da je neka jednadžba linearna, znači da je graf funkcije koji odgovara toj jednadžbi pravac (linija), što ćete učiti uskoro. Linearne jednadžbe možemo prepoznati po tome što se nepoznanica ne množi ni sa samom sobom ni s nekom drugom nepoznanicom.

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom znači da se u linearnoj jednadžbi pojavljuje samo jedna nepoznata veličina. Vrijednost nepoznanice za koju vrijedi jednakost je rješenje linearne jednadžbe.
Nepoznanice se obično označavaju slovima $x,$ $y$ i $z,$ ali mogu se označavati i bilo kojom drugom oznakom.

Zadatak 1.

Prisjetimo se kako prevesti rečenice iz govornog jezika u matematičke izraze. Spojite parove.

broj $y$ umanjen za $3$	$7 y$
broj $x$ uvećan za $5$	$x + 5$
broj $y$ uvećan $7$ puta	$x : 8$
peterokratnik broja $x$	$y - 3$
broj $x$ umanjen $8$ puta	$5 x$

Pomoć:

Pri prijevodu iz govornog jezika u matematički izraz, pripazite na redoslijed riječi u rečenici i na svojstva računskih operacija.

Zapišimo učiteljičine riječi u obliku linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom.

Trokratnik pišemo kao $3 x,$ od toga oduzimamo $1,$ pa pišemo $3 x - 1 .$

Taj izraz stavimo u zagradu i pomnožimo ga s $4,$ $(3 x - 1) \cdot 4 .$ Prema zadnjem dijelu rečenice, taj je umnožak jednak $320,$ pa naposljetku pišemo linearnu jednadžbu:

$(3 x - 1) \cdot 4 = 320 .$

Linearnu jednadžbu treba riješiti.

Riješiti linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom $x$ znači odrediti racionalnog broja $x$ koji uvršten u

umjesto nepoznanice

x

daje njezine lijeve i desne strane.

Pomoć:

Kad dobiveno rješenje jednadžbe uvrstimo u tu jednadžbu, vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti moraju biti iste.

null

Jednadžbu možemo zamisliti kao vagu koja ima lijevu i desnu stranu, a jednakost znači da su obje strane vage u ravnoteži. Pogledajte u animaciji kako se jednadžba rješava s pomoću takve vage.

Prisjetimo se i matematičkog rješavanja jednadžbi. S pomoću vage ili matematički dobili smo isto rješenje i možemo odgovoriti na pitanje koliko je učiteljici godina.

$(3 x - 1) \cdot 4 = 320$ $/ : 4$

$3 x - 1 = 80$

$3 x = 80 + 1$

$3 x = 81$ $/ : 3$

$x = 27$

Učiteljici je $27$ godina.

U svakom koraku animacije i matematičkog rješavanja linearne jednadžbe vaga je bila u ravnoteži, odnosno vrijedila je jednakost. Kažemo da jednadžbe $(3 x - 1) \cdot 4 = 320,$ $3 x - 1 = 80$ i $3 x = 81$ imaju jednaka rješenja, $x = 27 .$

Ekvivalentne jednadžbe su jednadžbe koje imaju jednaka rješenja.

Zadatak 2.

Provjerimo jesmo li točno riješili postavljenu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.

Uvrstimo $x = 27$ u jednadžbu $(3 x - 1) \cdot 4 = 320 .$

$(3 \cdot 27 - 1) \cdot 4 = 320 .$

Izračunamo lijevu stranu

$80 \cdot 4 = 320$

i dobili smo ispravnu jednakost

$320 = 320,$

što znači da je naše rješenje $x = 27$ točno.

Projekt

Podijelite se u parove. Pokušajte broj svojih godina objasniti uz pomoć linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom, pa zadatak zadajte prijatelju s kojim radite u paru.

Rješenje linearne jednadžbe s dvije nepoznanice

Primjer 1.

Lana je $10$ istovrsnih olovaka i $1$ šiljilo platila $31 kn .$ Kolika može biti cijena jedne olovke, a kolika šiljila, ako znamo da su cijene olovke i šiljila prirodni brojevi?

Zapišimo zadatak u obliku linearne jednadžbe s dvije nepoznanice.

Riješimo zadatak.

Koliko ima mogućih rješenja?

Rješenja zapišimo u obliku uređenih parova.

S $x$ označimo cijenu olovke, a s $y$ cijenu šiljila.

Cijena $10$ olovaka je $10 \cdot x = 10 x,$ a šiljila $y$ i to dvoje treba zbrojiti da se dobije ukupan iznos $31 kn,$ $10 x + y = 31.$
Ako jedna olovka stoji $1 kn,$ šiljilo stoji $21 kn,$ jer je $10 \cdot 1 + 21 = 31 .$

Ako jedna olovka stoji $2 kn,$ šiljilo stoji $11 kn,$ jer je $10 \cdot 2 + 11 = 31 .$

Ako jedna olovka stoji $3 kn,$ šiljilo stoji $1 kn,$ jer je $10 \cdot 3 + 1 = 31 .$

Ako jedna olovka stoji $4 kn,$ $10 \cdot 4 = 40,$ a to je premašilo svotu od $31 kn .$
U ovom slučaju su tri moguća rješenja.
Uređeni parovi ( $x,$ $y$ ) za rješenja zadatka su: $(1, 21),$ $(2, 11),$ $(3, 1) .$

Zanimljivost

Diofant iz Aleksandrije bio je starogrčki matematičar koji je živio oko 250. godine u Aleksandriji. Podaci o njegovu rođenju i smrti su nepouzdani, ali se zna da je napisao knjigu Aritmetika koja je bila među prvim sustavno napisanim knjigama iz matematike. Bavio se pretežito jednadžbama i uveo je simbole za veličine, matematičke operacije i odnose. Do tada su se takvi zadaci rješavali opisivanjem riječima. Budući da je proučavao jednadžbe, njemu u čast linearne jednadžbe s dvije nepoznanice oblika $a x + b y = c,$ kojima su koeficijenti $a,$ $b$ i $c$ cijeli brojevi i čija su rješenja svi cijeli brojevi $x$ i $y$ koji zadovoljavaju uvjet postavljen u toj jednadžbi, nazivaju se diofantske jednadžbe.

Poznati su stihovi s Diofantova groba: "O, putniče! Ovdje su pokopani Diofantovi zemni ostaci. I gle, o čuda, brojevi će reći koliki mu bje vijek života njegova. Prelijepo mu djetinjstvo šesti dio života potraje, a dok protječe mu dvanaesti njegov dio, muževnom se njegova brada stvori. Sedmi pak dio života proživje u braku nemajući djece. No nakon daljnjih godina pet, usreći ga rođenje prvijenca sina prelijepog, no njemu sudba pridijeli samo pola slavnog i blistavog života očeva. I tako u dubokoj tuzi starac dočeka svršetak života svojega proživjev' još četiri godine nakon što sina izgubi. O, putniče, u kojoj dobi životnoj Diofanta snađe smrt?" (Prijevod stihova: profesorica Suzana Barnaki i njezini učenici, OŠ Marina Držića, ppt.: Roditelji na satu matematike - Dan otvorenih vrata.)

Rješenje linearne jednadžbe s dvije nepoznanice $a x + b y = c$ je svaki uređeni par brojeva ( $x,$ $y$ ) koji uvršten u jednadžbu daje istinitu jednakost.

Zadatak 9.

Nađite sve prirodne brojeve $x$ i $y$ čiji je zbroj $9 .$ Zapišite u bilježnicu izraz u obliku linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Rješenja zapišite u obliku uređenog para $(x, y) .$ Koliko ima rješenja?

Jednadžba je $x + y = 9,$ a rješenja su $(1, 8),$ $(2, 7),$ $(3, 6),$ $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(6, 3),$ $(7, 2)$ i $(8, 1) .$

Ima $8$ uređenih parova prirodnih brojeva koji su rješenja te jednadžbe.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

Odredite u bilježnicu sve uređene parove prirodnih brojeva ( $x,$ $y$ ) za koje vrijedi $3 x + y = 11 .$

Prvi prirodni broj je $1,$ pa uvrstimo $x = 1$ u jednadžbu; dobivamo $3 \cdot 1 + y = 11,$ $y = 8 .$

Zatim za $x = 2$ dobijemo $3 \cdot 2 + y = 11,$ $y = 5 .$

Za $x = 3$ dobijemo $3 \cdot 3 + y = 11,$ $y = 2,$ a za $x = 4$ dobijemo $3 \cdot 4 + y = 11,$ $y = - 1,$ što nije prirodni broj, pa nije rješenje zadatka.

Za sve veće $x,$ $y$ će biti manji od $- 1,$ pa neće biti prirodni broj.

Uređeni parovi su $(1, 8),$ $(2, 5),$ $(3, 2) .$

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Primjer 2.

U razredu je $28$ učenika. Djevojčica ima za $5$ više nego dječaka. Zapišite u bilježnicu rečenice u obliku linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Broj djevojčica označimo s $x,$ a broj dječaka s $y .$ Prva rečenica u obliku linearne jednadžbe s dvije nepoznanice je $x + y = 28,$ a druga rečenica je $x = y + 5 .$ Pregledno te dvije rečenice zapisujemo jednu ispod druge.

$\begin{array}{l} x + y = 28 \\ x = y + 5 \end{array}$

Kad u zadatku istovremeno promatramo dvije linearne jednadžbe u kojima se pojavljuju dvije nepoznanice, govorimo o sustavu dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Pregledno te dvije jednadžbe pišemo jednu ispod druge.

Zadatak 11.

Ivo i Marko imaju zajedno $15$ sličica. Ivo ima dvostruko više sličica od Marka. Zapišite te rečenice u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, ako broj sličica koje ima Ivo označimo s $x,$ a broj sličica koje ima Marko označimo s $y .$

\begin{array}{l} x - y = 15 \\ x = 2 y \end{array}

Pažljivo pročitajte rečenice i prevedite u matematičke oznake.

\begin{array}{l} x + y = 15 \\ y = 2 x \end{array}

Pažljivo pročitajte rečenice i prevedite u matematičke oznake.

\begin{array}{l} x + y = 15 \\ x = y + 2 \end{array}

Pažljivo pročitajte rečenice i prevedite u matematičke oznake.

\begin{array}{l} x + y = 15 \\ x = 2 y \end{array}

null

U sustavu dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} a x + b y = c \\ d x + e y = f \end{array}$

koeficijenti uz nepoznanicu $x$ su racionalni brojevi $a$ i $d,$ koeficijenti uz nepoznanicu $y$ su racionalni brojevi $b$ i $e,$ a slobodni koeficijenti su $c$ i $f .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 12.

Iz sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} 5 x - 3 y = - 2 \\ - \frac{1}{2} x + 6 y = - 2.5 \end{array}$

pročitajte koeficijente i spojite parove.

slobodni koeficijenti	$- 3$ i $6$
koeficijenti uz $y$	$- 2$ i $- 2.5$
koeficijenti uz $x$	$5$ i $- \frac{1}{2}$

null

Zadatak 13.

Iz sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} x = 3 \\ 2 x - y = 0 \end{array}$

pročitajte koeficijente i spojite parove.

slobodni koeficijenti	$1$ i $2$
koeficijenti uz $y$	$3$ i $0$
koeficijenti uz $x$	$0$ i $- 1$

Pomoć:

Ako u jednadžbi piše samo nepoznanica $x,$ znači da je koeficijent uz $x$ broj $1,$ odnosno $x = 1 x .$

Isto vrijedi i ako u jednadžbi piše samo $y .$

Ako u jednadžbi nema nepoznanice $y,$ znači da je koeficijent uz $y$ broj $0,$ jer je $0 \cdot y = 0$ $.$

Isto vrijedi i kad u jednadžbi nema nepoznanice $x .$

Ako u jednadžbi piše $- y,$ znači da je koeficijent uz $y$ broj $- 1,$ odnosno $- y = - 1 y .$

Isto vrijedi i ako u jednadžbi piše $- x .$

null

Zatvori

Provjera rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Primjer 4.

Provjerimo je li uređeni par $(3, - 2)$ rješenje danog sustava.

$\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 1 \\ - 2 x + 3 y = 12 \end{array}$

Uvrstimo $x$ i $y$ iz uređenog para u prvu jednadžbu tako da umjesto nepoznanice $x$ pišemo prvi član uređenog para, a umjesto nepoznanice $y$ pišemo drugi član uređenog para. Pri uvrštavanju, nepoznanice $x$ i $y$ zamijenimo brojevima, a sve ostalo iz jednadžbe prepišemo.

$3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) = 1$

Računamo lijevu stranu jednakosti, a desnu prepisujemo.

$\begin{array}{l} 9 - 8 = 1 \\ 1 = 1 \end{array}$

Dobili smo istinitu jednakost. To znači da je uređeni par rješenje prve jednadžbe.

Sada sve to ponovimo za drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l} 2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = 12 \\ - 6 - 6 = 12 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ - 12 \neq 12 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Jednakost nije istinita, znači da uređeni par nije rješenje druge jednadžbe.

Ako uređeni par nije rješenje obiju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, kažemo da uređeni par nije rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Uređeni par ( $x,$ $y$ ) je rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice $a x + b y = c$ i $d x + e y = f,$ ako je uređeni par rješenje i jedne i druge linearne jednadžbe.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 18.

Provjerite je li uređeni par $(1, 2)$ rješenje danog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} x + 2 y = 5 \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ - 2 x + 3 y = 4 \end{array}$

Uvrstimo u prvu jednadžbu prvi član uređenog para umjesto $x,$ a drugi član uređenog para umjesto $y :$

$\begin{array}{l} 1 + 2 \cdot 2 = 5 \\ 5 = 5 \end{array}$

Uređeni par je rješenje prve jednadžbe.

Uvrstimo u drugu jednadžbu na isti način:

$\begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 4 \\ - 2 + 6 = 4 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 4 = 4 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Uređeni par je rješenje i druge jednadžbe.

Uređeni par je rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Zadatak 19.

Provjerite je li uređeni par $(- 3, 2)$ rješenje danog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} - 3 x + 2 y = 15 \\ x + y = - 1 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Uvrstimo u prvu jednadžbu

$\begin{array}{l} - 3 \cdot (- 3) - 2 \cdot 2 = 15 \\ 13 \neq 15 \end{array}$

Uređeni par nije rješenje prve jednadžbe, pa ne moramo ni provjeravati je li rješenje druge.

Možemo odmah zaključiti da uređeni par nije rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, jer bi trebao biti rješenje obiju jednadžbi.

Zadatak 20.

Uređeni par $(3, - 2)$ je rješenje danog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 3 x - 4 y = 17 \\ x + 2 y = 1 \end{array}$

Da.

Pogledajte uputu.

Ne.

Uređeni par nije rješenje druge linearne jednadžbe.

Pomoć:

Provjerite rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Postupak:

Uvrstite brojeve $3$ i $- 2$ iz uređenog para najprije u prvu jednadžbu, a zatim u drugu.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 21.

Mama je sada $3$ puta starija od Ane. Za $12$ godina mama će biti $2$ puta starija od Ane.

U bilježnicu zapišite rečenice u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.
Pokušajte pogoditi koliko je godina sada mami, a koliko Ani.

a. Broj maminih godina označimo s $x,$ a broj Aninih godina s $y .$ Prisjetimo se da će za $12$ godina i mama i Ana imati $12$ godina više nego sada. Sustav dviju linearnih jednadžbi koji dobijemo iz tih rečenica glasi:

$\begin{array}{l} x = 3 \cdot y \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ x + 12 = 2 \cdot (y + 12) \end{array}$

Mami je sada

Pogledajte uputu.

godina, a Ani je sada

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Ispišite moguće parove godina mame i Ane, tako da mama bude $3$ puta starija, zatim uvećajte brojeve i maminih i Aninih godina za $12 .$ Uvećani broj maminih godina mora biti dvostruko veći od uvećanog broja Aninih godina.

null

Zadatak 22.

Uređeni par $(- 1 \frac{2}{5}, 3.2)$ je rješenje danog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{2} y = - 1.2 \\ - \frac{2}{7} x - y = - 2 \frac{4}{5} \end{array}$

Da.

Ne.

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Provjerite rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Postupak:

Uvrstite brojeve $- 1 \frac{2}{5}$ i $3.2$ najprije u prvu jednadžbu, zatim u drugu jednadžbu.

Zatvori

Projekt

Podijelite se u skupine. Zamislite neki dvoznamenkasti broj i opišite ga u dvije rečenice koje ćete zapisati u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Zadatak postavite prijateljima iz drugih skupina, neka pokušaju odgonetnuti koji broj ste zamislili.

slobodni koeficijent	$2$
koeficijent uz $y$	$3$
koeficijent uz $x$	$- 4$

Na početku...

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom

Zanimljivost

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Projekt

Linearna jednadžba s dvije nepoznanice

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Rješenje linearne jednadžbe s dvije nepoznanice

Zanimljivost

Zadatak 9.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Zadatak 11.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Provjera rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Projekt

...i na kraju

9.2 Metoda supstitucije