Matematika 7 - 8.4 Kružnica i pravac

Na početku...

Vidjeli smo kako je tramvaj ušao u jednoj točki kružnog toka, a izašao u drugoj točki, pješaci su prešli cestu ispred kružnog toka pa nisu ni sudjelovali u prometu kružnog toka, a biciklistička staza samo se na jednom mjestu približila kružnom toku.

Zajedničke točke pravca i kružnice

Pogledajte animaciju u kojoj pravac siječe kružnice različitih polumjera. Promotrite sjecišta pravca i kružnice. Što možete uočiti? Animaciju pokrenite i zaustavite u različitim položajima kako biste otkrili u koliko se točaka sijeku pravac i kružnica.

Pravac i kružnica sijeku se u dvije točke, jednoj točki ili se ne sijeku ni u jednoj točki.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Pažljivo pogledajte slike i otkrijte u koliko se točaka sijeku pravac i kružnica.

Broj točaka u kojima se sijeku pravac i kružnica je .

null

null
Broj točaka u kojima se sijeku pravac i kružnica je .

null

null
Broj točaka u kojima se sijeku pravac i kružnica je .

null

null
Broj točaka u kojima se sijeku pravac i kružnica je .

null

null

Zatvori

Udaljenost točke od pravca

Zadatak 2.

Pogledajte animaciju u kojoj su točka $T$ i pravac $p$ povezani različitim dužinama. Animaciju pokrenite i zaustavite u različitim položajima. Promotrite duljine tih dužina. Što možete uočiti?

Vidimo da točku i pravac možemo povezati različitim dužinama koje nemaju jednaku duljinu. Primijetimo i kako je najkraća od tih dužina okomica na zadani pravac koja prolazi kroz točku $T .$

Na slici je prikalzana udaljenost točke od pravca

Dani su pravac $p$ i točka $A .$ Kroz točku $A$ povučemo okomicu na pravac $p .$

Udaljenost točke A od pravca p je duljina dužine koja spaja točku $A$ i točku $B$ u kojoj okomica siječe pravac $p .$

$d (A, p) = | A B | = d$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Nacrtajte na papiru pravac $r$ i točku $S$ kao na slici. Odredite udaljenost točke $S$ od pravca $r .$

Na slici je prikazana udaljenost točke S od pravca r

Udaljenost točke $S$ od pravca $r$ moći ćete odrediti ako povučete okomicu iz točke $S$ na pravac $r .$ Sjecište okomice i pravca $r$ označite s $T .$

Udaljenost točke $S$ od pravca $r$ je duljina dužine $\bar{S T} .$

Zadatak 4.

Konstruirajte na papiru kružnicu polumjera $32 mm$ i pravac koji je od središta udaljen $4 cm .$ U kojem su položaju pravac i kružnica?

Na slici su prikazani pravac i kružnica koji nemaju zajedničkih točaka

Pravac i kružnica nemaju ni jednu zajedničku točku.

Zadatak 5.

Konstruirajte na papiru kružnicu promjera $5 cm$ i pravac koji je od središta kružnice udaljen $25 mm .$ U kojem su položaju pravac i kružnica?

Na slici su pravac i kružnica koji imaju jednu zajedničku točku

Točka i pravac imaju jednu zajedničku točku.

Zadatak 6.

Konstruirajte na papiru kružnicu promjera $4 cm$ i pravac koji je od središta kružnice udaljen $17 mm .$ U kojem su položaju kružnica i pravac?

Na slici su pravac i kružnica koji imaju dvije zajedničke točke

Pravac i kružnica imaju dvije zajedničke točke.

Ako je udaljenost središta kružnice i pravca veća od duljine polumjera kružnice, pravac kružnicu točki.

Pomoć:

Pažljivo promotrite prethodne zadatke.

null

Ako je udaljenost središta kružnice i pravca jednaka duljini polumjera kružnice, pravac kružnicu točki.

Pomoć:

Pažljivo promotrite prethodne zadatke.

null

Ako je udaljenost središta kružnice i pravca manja od duljine polumjera kružnice, pravac kružnicu točke.

Pomoć:

Pažljivo promotrite prethodne zadatke.

null

Zatvori

Dvije zajedničke točke

Promotrite sliku. U koliko točaka pravac siječe kružnicu?

Ako pravac siječe kružnicu u dvjema točkama, za njega kažemo da je sekanta kružnice.

Primjer 1.

Zadana je kružnica polumjera $3 cm$ i točke $A$ i $B$ koje leže na kružnici. Odredite sekantu kroz te dvije točke.

Sekanta kružnice je pravac koji prolazi točkama $A$ i $B$ .

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Nacrtajte na papiru kružnicu polumjera $4 cm$ i na njoj dvije točke $C$ i $D .$ Nacrtajte sekantu kroz te dvije točke.

Zadatak 8.

Konstruirajte na papiru kružnicu $k (S, 2.5 cm)$ i točke $T,$ $R,$ $P$ na kružnici. Koliko sekanti možete provući kroz zadane točke?

Kroz zadane točke možemo provući tri sekante.

Zatvori

Jedna zajednička točka

Ako pravac i kružnica imaju jednu točku zajedničku, pravac u toj točki dodiruje kružnicu. Pravac koji dodiruje kružnicu nazivamo tangenta kružnice, a točku u kojoj dodiruje kružnicu nazivamo diralište.

Primjer 2.

Konstruirajmo kružnicu polumjera $2 cm$ i označimo na njoj jednu točku $D .$ Konstruirajmo u točki $D$ tangentu na tu kružnicu.

Pogledajte animaciju u kojoj su prikazani koraci konstrukcije tangente na kružnicu polumjera $2 cm$ u proizvoljnoj točki $D .$ Klikom na narančaste gumbe pokrećete i zaustavljate animaciju, a klikom na ljubičaste gumbe idete na prethodne ili sljedeće korake.

Uočite u kakvom su odnosu tangenta $t$ i polumjer $\bar{S D} .$

Polumjer koji spaja središte kružnice s diralištem tangente i tangenta međusobno su okomiti.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Konstruirajte na papiru kružnicu promjera $4 cm .$
Na njoj odaberite točku $D .$
Konstruirajte tangentu $t$ na kružnicu, gdje je $D$ diralište tangente i kružnice.

Na slici je tangenta na kružnicu okomita na polumjer u diralištu

Zadatak 10.

Nacrtajte na papiru pravac $r$ i odaberite točku $P$ koja ne leži na pravcu.
Konstruirajte kružnicu sa središtem u točki $P$ kojoj je pravac $r$ tangenta.

Na slici je okomica na pravac r — Slika 1

Na slici je konstruirana kružnica sa središtem u točki P, polumjera PR — Slika 2

Nakon što nacrtate pravac $r$ i odaberete točku $P,$ nacrtajte okomicu na pravac $r$ kroz točku $P .$
Točku u kojoj okomica siječe pravac $r$ označite s $R,$ kao na slici 1.
Konstruirajte kružnicu sa središtem u točki $P$ polumjera $\bar{P R} .$

Zatvori

Uvježbajmo!

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Pronađite parove.

Odgonetnite nazive pravaca sa slika.

Pomoć:

Pažljivo pogledajte slike i odgonetnite nazive pravaca.

null

Zadatak 12.

Konstruirajte na papiru kružnicu polumjera $2 cm$ i njezinu sekantu koja je od središta kružnice udaljena $15 mm .$

Na slici je konstriurana sekanta kružnice

Zadatak 13.

Konstruirajte na papiru kružnicu polumjera $3.5 cm$ i tangentu kroz točku $T$ koja leži na kružnici.

Na slici je konstruirana tangenta na kružnicu

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Konstruirajte na papiru kut od $45 ° .$
Na simetrali toga kuta označite točku $S,$ koja je $4 cm$ udaljena od vrha $V$ kuta.
Konstruirajte kružnicu kojoj su krakovi kuta tangente.

Na slici je konstruirana kružnica na simetrali kuta

Zadatak 15.

Konstruirajte na papiru zajedničku tangentu u točki dodira dviju kružnica polumjera $2 cm$ i $3 cm .$

Na slici je zajednička tangenta dviju kružnica

Zadatak 16.

Na slici je reflektor koji obasjava bazen kružnog oblika

Cvita je dobila zadatak da pomogne u uređivanju gradskih bazena za proslavu Nove godine. Potrebno je postaviti rasvjetu, tako da jedan od reflektora obasjava okrugli bazen promjera $20$ metara. Na $30$ metara od središta bazena treba staviti reflektor koji će obasjavati samo bazen. Pomozite Cviti u tako važnom zadatku.

Na slici su dvije zrake reflektora na bazen kao tangente na kružnicu iz točke koja je izvan kružnice

Označimo položaj reflektora točkom $R,$ a bazen prikažimo kružnicom sa središtem u točki $S$ promjera $20 cm .$ Konstruirajmo dužinu kojoj su krajnje točke $R$ i $S .$ Odredimo njezino polovište i označimo ga s $P .$

Konstruirajmo kružnicu kojoj je središte u točki $P,$ a dužina $\bar{P R}$ njezin polumjer. Njezina sjecišta s kružnicom koja predstavlja bazen označimo s $D_{1}$ i $D_{2} .$

Prema Talesovu poučku znamo da su u točkama $D_{1}$ i $D_{2}$ pravi kutovi, pa su pravci $R D_{1}$ i ${RD}_{2}$ tangente na kružnicu koja predstavlja bazen.

Zatvori

Projekt

Osmislite zadatak u kojem biste u svojem mjestu postavili novu fontanu i rasvjetu koja će je osvjetljavati, po uzoru na prethodni zadatak. Rezultate svojega rada prikažite plakatima, maketama ili crtežom u nekom od programa dinamičke geometrije, primjerice u GeoGebri ili u Sketchpadu.

...i na kraju

Pravac kružnicu dodiruje u jednoj točki, siječe u dvije ili je ne siječe ni u jednoj točki. Ako kružnicu dodiruje u jednoj točki, nazivamo ga tangentom kružnice, a tu točku nazivamo diralištem. Kad pravac siječe kružnicu u dvije točke, nazivamo ga sekantom kružnice.

S pomoću animacije ponovite odnos pravca i kružnice. Animaciju pokrećete klikom na gumb Pokreni, a zaustavljate klikom na gumb Zaustavi. Klikom na potvrdni okvir pokraj naziva pojedinog pravca određeni pravac možete dodati u animaciju ili ga maknuti iz nje.

Na početku...

Zajedničke točke pravca i kružnice

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Udaljenost točke od pravca

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Dvije zajedničke točke

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Jedna zajednička točka

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Uvježbajmo!

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Projekt

...i na kraju

8.5 Opseg kruga i duljina kružnog luka