8.2 Određenost kružnice

Kolinearne i nekolinearne točke

Zadatak 1.

Po čemu se razlikuju slika 1 i slika 2?

Nekolinearne točke su točke koje ne leže na istom pravcu. Kolinearne točke su točke koje leže na istom pravcu.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Dvije točke u ravnini uvijek su kolinearne.

Točno.

Netočno.

Pomoć:

Nacrtajte bilo koje dvije točke u ravnini i spojite ih pravcem. Možete li to učiniti za svake dvije točke u ravnini?

null

Zadatak 3.

Tri točke u ravnini uvijek su kolinearne.

Točno.

Pogledajte uputu.

Netočno.

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Nacrtajte bilo koje tri točke u ravnini i ravnalom ih pokušajte spojiti u pravac.

Možete li ih spojiti  ravnalom bez obzira na to kako ste ih nacrtali u ravnini?

null

Zatvori

Pravac je određen dvjema točkama u ravnini.

Koliko točaka određuje kružnicu?

Kolekcija zadataka 2

Nacrtajte u bilježnicu dvije točke $A$ i $B$ u ravnini.

1. Kako nazivamo crtu koja spaja te dvije točke u ravnini? Nacrtajte.
2. Kako nazivamo točku koja pripada toj dužini i koja je jednako udaljena od točaka $A$ i $B?$ Nacrtajte.
3. Kako nazivamo pravac koji prolazi polovištem dužine i okomit je na dužinu $\overline{AB}?$ Nacrtajte.
4. U kakvom su odnosu udaljenosti neke točke na simetrali dužine od rubnih točaka te dužine? Odaberite nekoliko točaka na simetrali i uvjerite se u svoju tvrdnju mjerenjem.

1. Crtu koja spaja dvije točke u ravnini nazivamo

   Pažljivo pročitajte pitanje.

   .

   

   Pomoć:

   

    ​

   null
2. Točku koja pripada toj dužini $\overline{AB}$ i koja je jednako udaljena od točaka $A$ i $B$ nazivamo

   Pažljivo pročitajte tekst.

   dužine.

   

   Pomoć:

   

    ​

   null
3. Pravac koji prolazi polovištem dužine i okomit je na dužinu $\overline{AB}$ nazivamo

   Pažljivo pročitajte zadatak.
   
   

   dužine $\overline{AB}.$

   

   Pomoć:

   

    ​

   null
4. Udaljenosti neke točke na simetrali dužine od rubnih točaka te dužine međusobno su

   Pažljivo izmjerite udaljenosti.
   
   
   

   .

   

   Pomoć:

   

    ​

   null

e. Zabodite šestar u jednu točku na simetrali dužine i pokušajte opisati kružnicu koja prolazi rubnim točkama dužine $\overline{AB}.$

f. Ponovite postupak iz e. podzadatka za još jednu točku simetrale dužine $\overline{AB}.$

g. Jeste li mogli ponoviti postupak za svaku točku simetrale?

h. Koliko ima kružnica koje prolaze točkama $A$ i $B?$

Kružnica koje prolaze kroz točke $A$ i $B$ u ravnini ima beskonačno mnogo.

Točno.

Netočno.

Pogledajte sliku podzadatka g. ili uputu.

Pomoć:

Bilo koja točka na simetrali dužine $\overline{AB}$ može biti središte kružnice koja prolazi točkama $A$ i $B$ u ravnini.

null

i. Gdje se nalaze središta svih tih kružnica?

Središta svih kružnica koje prolaze dvijema točkama $A$​ i $B$ u ravnini nalaze se na

Pažljivo pročitajte cijeli zadatak.

dužine ​ $\overline{AB}.$

null

null

Zadatak 4.

1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu $k\left(S,r\right)$ i jednu njezinu tetivu $\overline{AB}.$
   
2. Konstruirajte simetralu tetive $\overline{AB}.$

Što primjećujete?

Rješenje

Simetrala tetive $\overline{AB}$ neke kružnice prolazi središtem te kružnice.

---

Zatvori

Simetrala svake tetive kružnice prolazi središtem kružnice.

Projekt

Donesite u školu razne predmete kružnog oblika. Organizirajte se u skupine. Na papir ocrtajte rub oko donesenog predmeta. Odmaknite predmet i pokušajte odrediti središte dobivene kružnice. Najprije pokušajte otprilike, a zatim konstrukcijom.

Ako ne znate kako bi konstrukcijom odredili središte, prisjetite se da simetrala tetive kružnice prolazi njezinim središtem.

Prisjetite se i da se dva neparalelna pravca sijeku u jednoj točki.

Znači da će se simetrale dviju tetiva sjeći u jednoj točki, a kako obje prolaze središtem kružnice, sjeći će se baš u središtu kružnice.

Zadatak 5.

Dvije tetive dobili smo uz pomoć $4$ točke na kružnici. Možemo li nacrtati dvije tetive kružnice s manje od $4$ točke?

Dvije tetive mogu imati jednu zajedničku točku; dvije tetive nacrtali smo uz pomoć $3$ točke kružnice.

Ponovimo:

Kroz jednu točku u ravnini možemo nacrtati beskonačno mnogo pravaca (slika 1).

Pravac je određen dvjema točkama, što znači da kroz dvije točke u ravnini možemo nacrtati točno jedan pravac (slika 2).

Kroz dvije točke u ravnini možemo nacrtati beskonačno mnogo kružnica (slika 3).

Ako imamo tri nekolinearne točke u ravnini, možemo ih spojiti u najmanje dvije dužine (slika 4).

Svakoj od tih dužina konstruirajmo simetralu (slika 5).

Na simetralama se nalazi središte kružnice koja prolazi rubnim točkama svake dužine.
Simetrale se sijeku u točno jednoj točki $S,$ ako su točke nekolinearne, pa je točno jedno središte kružnica zajedničko (slika 6).
Središte $S$ je jednako udaljeno od dviju rubnih točkaka jedne dužine, i od dviju rubnih točaka druge dužine, ali jedna točka je zajednička, pa možemo zaključiti da je središte jednako udaljeno od svih triju rubnih točaka tih dužina.

Ta udaljenost je polumjer kružnice koju možemo nacrtati oko dobivenog središta $S$ i koja prolazi kroz tri zadane nekolinearne točke (slika 7).
S obzirom na to da je točno jedno središte i jedna duljina polumjera, zaključujemo da možemo nacrtati točno jednu kružnicu sa središtem $S$ koja prolazi kroz tri nekolinearne točke u ravnini.

Kružnica je određena trima nekolinearnim točkama u ravnini.

U sljedećoj GeoGebrinoj simulaciji uvjerite se u tvrdnju tako da rasporedite točke bilo gdje po ekranu. Za bilo koji nekolinearni raspored točaka možete klikom na ljubičasti gumb nacrtati kružnicu koja prolazi svim trima točkama. Točke u ravnini možete sami pomicati mišem nakon što kliknete na narančasti gumb "ponovno".

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Svake $4$ nekolinearne točke leže na istoj kružnici.

Da.

Pogledajte uputu.

Ne.

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Nacrtajte četiri nekolinearne točke u ravnini sličnog položaja kao u zadatku. Spojite točke u dužine, nacrtajte simetrale dužina i uočite da se ne sijeku u jednoj točki, što znači da ne možemo nacrtati jednu kružnicu koja prolazi kroz sve $4$ točke.

 

Zanimljivost

Ako su točke u položaju da se može nacrtati kružnica koja prolazi kroz sve $4$ točke, kažemo da smo četverokutu opisali kružnicu. Takav četverokut zove se tetivni četverokut.

Ako imamo više nekolinearnih točaka u ravnini, možemo ih spojiti u mnogokut.

Ako možemo nacrtati jednu kružnicu koja prolazi kroz sve te točke, kažemo da smo mnogokutu opisali kružnicu.

Zadatak 7.

Nacrtajte u bilježnicu tri nekolinearne točke. Konstruirajte kružnicu koja prolazi kroz te tri točke.

Rješenje

---

Zadatak 8.

Nacrtajte u bilježnicu trokut $ABC$ u ravnini i opišite mu kružnicu.

Rješenje

U šestom razredu učili smo da se središte trokutu opisane kružnice nalazi u sjecištu simetrala stranica tog trokuta. Sada ćemo to povezati.

Trokut ima tri vrha, to su tri nekolinaerne točke u ravnini. Kroz tri točke možemo nacrtati točno jednu kružnicu. Ta kružnica je opisana trokutu $ABC,$ a stranice trokuta su tetive kružnice.

Mogli smo nacrtati i simetrale samo dviju stranica tog trokuta, ali ovako je slika potpunija i ljepša.

---

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

Tri susjedna sela u Slavoniji, koja ne leže uz istu ravnu cestu, žele imati dobru internetsku vezu, pa im treba novi odašiljač. Gdje će postaviti odašiljač da svi mogu imati jednako dobru vezu?

Tri sela su kao tri nekolinearne točke u ravnini. Odašiljač treba biti jednako udaljen od sva tri sela. Ako odašiljač nacrtamo kao jednu točku u sredini, to će biti središte kružnice koja treba prolaziti kroz sva tri sela, tj. kroz tri nekolinearne točke.

Odašiljač je jednako udaljen od sva tri sela i vidi se da će svi imati jednaku internetsku vezu.

Projekt

Da smo inženjeri, uzeli bismo kartu, na njoj označili ta tri sela i opisali kružnicu na kojoj leže točke koje predstavljaju sela s pomoću simetrala stranica, kako je objašnjeno u prethodnim zadacima, te na mjestu gdje je središte kružnice postavili odašiljač.

Kopirajte dio karte, odaberite tri mjesta na karti i nacrtajte točku koja će biti jednako udaljena od sva tri mjesta. Promislite što bi se moglo sagraditi na tom mjestu a da koristi svim trima mjestima.

Međusobni položaj dviju kružnica u ravnini

Kad postavljamo odašiljače, trebamo imati na umu da se valovi šire kružno i znati kako se ti kružni valovi, ako je više odašiljača u blizini, mogu preklapati.

Zadatak 10.

Pogledajte sliku i razmislite u kojem međusobnom položaju mogu biti kružnice u ravnini.

U ravnini su nacrtane dvije kružnice $k_1=k\left(S_1,r_1\right)$ i $k_2=k\left(S_2,r_2\right),$ takve da je duljina polumjera

$r_1$ veća od duljine polumjera $r_2,$ $r_1>r_2.$

U animaciji pogledajte u kojim međusobnim položajima mogu biti nacrtane te dvije kružnice i što se događa s udaljenošću njihovih središta.

​

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Kružnice $k_1=k\left(S_1,4.3\mathrm{cm}\right)$  i  $k_2=k\left(S_2,3\mathrm{cm}\right)$ nacrtane su u ravnini tako da je udaljenost njihovih središta $7\mathrm{cm}.$ U kojem su međusobnom položaju te dvije kružnice u ravnini?

Kružnice se dodiruju u jednoj točki.

Pogledajte animaciju ili uputu.

Kružnice se sijeku u dvije točke.

Kružnice su koncentrične.

Pogledajte animaciju ili uputu.

Kružnice nemaju zajedničkih točaka.

Pogledajte animaciju ili uputu.

Pomoć:

Nacrtajte kružnice u bilježnicu i provjerite u kojem su međusobnom položaju u ravnini.

null

Zadatak 12.

Konstruirajte u bilježnici dvije kružnice promjera $126\mathrm{mm}$ i $76\mathrm{mm}$ koje se dodiruju iznutra u jednoj točki.

Rješenje

---

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

U ravnini su nacrtane kružnice $k_1$ i $k_2.$ Promjer kružnice $k_1$ je $73\mathrm{mm},$ a promjer kružnice $k_2$ je $51\mathrm{mm}.$ Ako su njihova središta udaljena $6.2\mathrm{cm},$ u kojem su međusobnom položaju te dvije kružnice u ravnini?

Kružnice se sijeku u dvije točke.

Pogledajte uputu.

Kružnice se nalaze jedna unutar druge.

Pogledajte uputu.

Kružnice nemaju zajedničkih točaka.

Pogledajte uputu.

Kružnice se dodiruju u jednoj točki.

Pomoć:

Izračunajte duljine polumjera kružnica i preračunajte sve u iste mjerne jedinice.

Postupak:

Konstruirajte sve u bilježnicu i odredite međusobni položaj dviju kružnica u ravnini.

Zadatak 14.

Dvije kružnice nalaze se jedna unutar druge. Polumjer veće kružnice je $5\mathrm{cm}.$ Ako znamo da je udaljenost njihovih središta $2\mathrm{cm},$ koliki može biti polumjer manje kružnice?

Polumjer može biti manji od $3\mathrm{cm}.$

Polumjer može biti veći od $3\mathrm{cm}$ i manji od $5\mathrm{cm}.$

Pogledajte uputu.

Polumjer može biti $3\mathrm{cm}.$

Pogledajte uputu.

Polumjer može biti veći od $3\mathrm{cm}.$

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Ako su dvije kružnice jedna unutar druge, udaljenost njihovih središta manja je od razlike polumjera.

Postupak:

Nacrtajte skicu i riješite nejednadžbu

$2<5-r_2$ 

$r_2<5-2$

$r_2<3$

Zatvori

Zanimljivost

Razne su metode praćenja mobitela. Koliko god neugodno bilo znati da netko prati naš mobitel, praćenje je korisno kad mobitel izgubimo ili primjerice pri traženju nestalih osoba. Jedna od metoda koja ne treba nikakav softver je triangulacija. Triangulacija je postupak utvrđivanja točnog položaja na temelju najmanje triju baznih stanica. Uz pomoć triju baznih stanica dobijemo tri kružna prstena koji se sijeku u zajedničkom području koje predstavlja položaj mobitela s preciznošću od $10$ metara.

Proces triangulacije primjenjuje se i u satelitskoj navigaciji (GPS), ali tu nije triangulacija između baznih stanica, nego između najmanje triju satelita.