Matematika 7 - 7.1 Osnovno o mnogokutima

Na početku...

Ilustracija prikazuje interijer dnevne sobe

Često možete čuti izreku da je matematika svuda oko nas. Ako se upravo sada osvrnete oko sebe, vjerojatno nećete vidjeti matematiku, ali zasigurno ćete vidjeti mnoštvo geometrijskih likova! Pogledajte malo temeljitije prostor u kojemu se nalazite i pokušajte imenovati geometrijske likove koje prepoznajete.

Prepoznajemo sljedeće geometrijske likove:

pravokutnik

Bravo, odgovor je točan! :)

kvadar

Ne zaboravite da je geometrijski lik dio ravnine. Kvadar je geometrijsko tijelo.

kvadrat

kocka

Ne zaboravite da je geometrijski lik dio ravnine. Kocka je geometrijsko tijelo.

trokut.

null

Nakon trokuta i četverokuta, koje već dobro poznajemo, vrijeme je da upoznamo i neke druge mnogokute. Prije nego što to učinimo, odgovorite na sljedeća pitanja i provjerite točnost svojih odgovora.

a. Zašto se trokut zove baš trokut?

Zato što ima tri kuta. Čitamo: trokut.

b. Zašto se četverokut zove baš četverokut?

Zato što ima četiri kuta. Čitamo četverokut.

c. Proučite prozor na lijevoj kućici. Kako bismo nazvali taj mnogokut?

Šesterokut.

Pazite, nije šestkut ni šestokut.

d. Proučite staklene plohe na ovoj fotografiji. Kako bismo nazvali te mnogokute?

Peterokuti.

Pazite, nisu petokuti ni petkuti.

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

tri vrha

n

kutova

n

stranica

n

vrhova

trokut

peterokut

$n$ -terokut (čitaj: enterokut)

null

Mnogokut

Zanimljivost

Mnogokut još nazivamo i poligon. Riječ poligon dolazi iz grčkog jezika, a složena je od dviju riječi: polys, što znači mnogo ili više, i gonos, što znači kut. Dakle, više kutova ili mnogo kutova.

Upamtite, predmetak (prefiks) poli u složenicama uvijek znači više nečega; npr. politeizam (višeboštvo).

Istražite značenja riječi: poliglot, poligamija, polinom.

Mnogokut je dio ravnine omeđen dužinama koje imaju zajedničke krajnje točke.

Zadatak 1.

Likovi na slici označeni su velikim slovima.

Koji od navedenih likova nisu, a koji jesu mnogokuti?

Svakako provjerite svoje odgovore!

Slika prikazuje likove od kojih su samo neki mnogokuti.

NISU mnogokuti:

Mnogokut je omeđen dužinama!

, , i .
JESU mnogokuti: , i

Pokušaj ponovo!

null

Osnovni elementi mnogokuta

Osnovni elementi svakog mnogokuta su njegovi vrhovi, stranice i unutarnji kutovi.

Primjer 1.

Želimo li skicirati neki mnogokut ili ga želimo nacrtati, najbolje je početi isticanjem točaka u ravnini. Pri isticanju točaka vodimo računa da tri uzastopne točke ne leže na istom pravcu. Te će točke biti vrhovi našeg mnogokuta.

Vrhove mnogokuta najčešće označavamo velikim tiskanim slovima abecede (zapisujući ih u smjeru suprotnom od smjera kazaljke sata). Katkad primjenjujemo i zapis s indeksima, npr. $A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}, .$ ..

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Jesu li sve istaknute točke vrhovi istog mnogokuta?

Slika prikazuje 5 točaka istaknutih u kvadratnoj mreži.

Da.

Ne.

Pomoć:

Točke $A_{1},$ $A_{2}$ i $A_{3}$ pripadaju istom pravcu. Točka $A_{2}$ pripada dužini $\bar{A_{1} A_{3}}$ pa nije vrh mnogokuta.

null

Zadatak 3.

Prethodni zadatak pokušajte riješiti koristeći se GeoGebrinim predloškom za crtanje mnogokuta. Upotrebljavajući ponuđene alate, istaknite točke (u zadanom položaju) pa nacrtajte mnogokut.

Što uočavate?

Prije rješavanja zadatka dobro je znati:

odabirom pojedinog alata pojavljuje se polje s opisom alata,
za pomicanje bilo kojeg objekta koristite alat Pomicanje,
za povratak na početno stanje odaberite alat Početno stanje konstrukcije koji se nalazi u gornjem desnom kutu interakcije.

Istaknuli smo u početku pet točaka koje bi trebale biti vrhovi mnogokuta, a nakon crtanja mnogokuta vidimo da je nacrtani lik zapravo četverokut. Dakle, sve istaknute točke nisu vrhovi istog mnogokuta.

Zatvori

Primjer 2.

Spojimo li dužinama susjedne točke (abecednim redom ili prema indeksima), dobit ćemo stranice mnogokuta. Stranice mnogokuta su dužine, stoga se pri zapisu koristimo uobičajenim oznakama: $\bar{A B},$ $\bar{B C},$ $\bar{C D} ...$

Želimo li istaknuti duljine stranica, koristimo se zapisom: $a = |A B|,$ $b = |B C|,$ $c = |C D|$ itd.

Stranice mnogokuta su dužine koje omeđuju mnogokut.

Vrh mnogokuta je točka zajednička dvjema susjednim stranicama mnogokuta.

Susjedni vrhovi mnogokuta su vrhovi koji pripadaju istoj stranici mnogokuta.

Susjedne stranice mnogokuta jesu stranice koje imaju jednu zajedničku točku (vrh mnogokuta).

Primjer 3.

Istaknutoj stranici $\bar{A B}$ zadanog peterokuta odredite nasuprotnu stranicu.

Slika prikazuje peterokut sa dvojbom određenja nasuprotne stranice zadanoj

Primjećujemo da ne možemo sa sigurnošću reći koja je od stranica peterokuta nasuprotna zadanoj stranici.

Upravo zato umjesto pojma nasuprotna stranica uvodimo pojam nesusjedna stranica. Zadana stranica mnogokuta može imati više nesusjednih stranica. U ovom primjeru, stranici $\bar{A B}$ nesusjedne stranice su $\bar{C D}$ i $\bar{D E} .$

Zadatak 4.

Promotrite zadani mnogokut i odgovorite na sljedeća pitanja.

Stranice $\bar{D E}$ i $\bar{E F}$ su susjedne stranice.

Da.
Odgovor je točan. :)

Ne.
Pripazite! Navedene stranice imaju zajednički vrh $E,$ dakle susjedne su.

null

null
Mnogokut $A B C D E F G H$ ima vrhova (kutova, stranica) i zovemo ga
Pokušajte još jedanput!
.

null

null
Vrh $H$ ima

susjedna vrha. Vrh $C$ ima

nesusjednih vrhova.

pet

dva

null

null

Osim stranica i vrhova, važni elementi mnogokuta su i unutarnji kutovi.

Mnogokut ima onoliko unutarnjih kutova koliko ima vrhova i stranica.

Unutarnje kutove označavamo uobičajenim oznakama: $∢ H A B$ ili $∢ A,$ $∢ A B C$ ili $∢ B,$ $∢ B C D$ ili $∢ C$ itd.

Dogovoreno je da se ako u zadatku piše samo kut, misli na unutarnji kut.

Nekonveksni mnogokuti

Primjer 4.

Jedan od mnogokuta bitno se razlikuje od preostala dva.

Možete li reći koji je to mnogokut i na koji se način izdvaja?

Mnogokut b) razlikuje se od preostala dva jer jedini ima unutarnji kut veći od $180 °,$ tj. ima jedan izbočeni kut. Mnogokuti pod a) i c) imaju sve unutarnje kutove manje od $180 ° .$

Konveksni mnogokut možemo prepoznati po unutarnjim kutovima - svaki je manji od $180 ° .$

Mnogokut koji ima barem jedan izbočeni kut naziva se nekonveksni mnogokut.

U ovoj ćemo jedinici proučavati isključivo konveksne mnogokute.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Dovucite pojam nekonveksni mnogokut na odgovarajući mnogokut.

Slika prikazuje tri mnogokuta od kojih je jedan nekonveksni.

nekonveksni mnogokut

Pomoć:

Dobro pogledajte unutarnje kutove prikazanih mnogokuta.

Postupak:

Nekonveksni mnogokut je onaj mnogokut koji ima barem jedan unutarnji kut veći od $180 ° .$

Zadatak 6.

Je li točna sljedeća tvrdnja?

Ovaj mnogokut je konveksni mnogokut.

Da.

Odgovor nije točan. Po čemu najjednostavnije prepoznajemo konveksni mnogokut?

Ne.

Bravo, odgovor je točan! :)

Pomoć:

Ovaj mnogokut ima jedan izbočeni kut (unutarnji kut pri vrhu $F$ ). Što to znači?

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Nekonveksni mnogokut nazivamo još i konkavni mnogokut.

Više o pojmovima konkavni i konveksni učit ćete u osmom razredu u dijelu fizike koji nazivamo optika. Optika je dio fizike koji proučava svjetlosne pojave.

Optičar izrađuje pomagala za vid upotrebljavajući leće. Leća je element od prozirnog materijala omeđen dvjema zakrivljenim plohama.

Za korekciju kratkovidnosti (negativna dioptrija) optičar u izradi pomagala upotrebljava konkavne leće, a za korekciju dalekovidnosti (pozitivna dioptrija) konveksne leće.

Uvježbajmo!

Pažljivo pročitajte svaki zadatak i pokušajte ga samostalno riješiti. Ako ne uspijete, možete se vratiti na prethodno riješene primjere ili zatražiti pomoć vršnjaka ili učitelja.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

U nekom $n$ -terokutu oznaka $n$ ima značenje:

broj vrhova

broj stranica

broj unutarnjih kutova.

Pomoć:

Oznaka n ima višestruko značenje.

Zadatak 8.

Mia je za potrebe svoje računalne igrice kreirala lik koji je nazvala Srećica. Kojim se mnogokutima koristila Mia pri crtanju Srećice?

Slika prikazuje lik čovječuljka koji je nacrtan pomoću mnogokuta.

Pridružite naziv mnogokuta zadanom dijelu tijela.

uho	peterokut
ruka	deseterokut
glava	trokut
noga	šesterokut

null

Navedi jedan dio tijela koji nije mnogokut: .

null

null

Zadatak 9.

Opisu mnogokuta pridružite odgovarajući naziv.

Mnogokut koji ima $9$ stranica zove se	deseterokut.
Mnogokut koji ima $4$ vrha zove se	deveterokut.
Mnogokut koji ima $10$ kutova zove se	četverokut.

Pomoć:

Naziv mnogokuta određujemo prema broju njegovih unutarnjih kutova, ali taj broj je jednak broju stranica mnogokuta i broju njegovih vrhova.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Na sljedeće pitanje odgovorite uz pomoć slike.

Zanimljivost

Pčele grade saće u obliku pravilnog šesterokuta. Pravilne šesterokute proučavat ćemo nešto kasnije, ali ako vas zanima zašto pčele grade saće u obliku pravilnog šesterokuta, pogledajte ovdje.

Vrijedne grade svoje saće u obliku

U obliku kojeg mnogokuta?

null

Zadatak 11.

U bilježnicu nacrtajte mnogokut $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} .$ Kako se zove nacrtani mnogokut? Pravilno označite duljine njegovih stranica $(a_{1}, a_{2}, a_{3} . . .)$ i veličine unutarnjih kutova $(α_{1}, α_{2}, α_{3} . . .) .$

Slika prikazuje pravilno označeni sedmerokut.

Istakni sedam točaka od kojih bilo koje tri nisu na istom pravcu. Kao vrh $A_{1}$ možeš odabrati bilo koju od točaka, ali preostale moraš nizati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Zadatak 12.

Pokušajte nacrtati zadani mnogokut koristeći se GeoGebrinim predloškom za crtanje mnogokuta.

Prije rješavanja zadatka dobro je znati:

za imenovanje objekta koristite alat Pokaži/sakrij oznaku
za preimenovanje objekta koristite desni klik miša uz odabir alata Preimenuj
želite li koristiti zapis pomoću indeksa ,npr. $A_{1},$ zapišite A_1.

Zadatak 13.

Za koji mnogokut vrijedi da njegov odabrani vrh nema nesusjednih vrhova?

četverokut

Odgovor nije točan. Ako skiciramo četverokut i istaknemo jedan od vrhova, lako se možemo uvjeriti da taj vrh ima dva susjedna vrha i još jedan nesusjedni vrh.

trokut

Bravo! Odgovor je točan!

peterokut

Odgovor nije točan. Ako skiciramo četverokut i istaknemo jedan od vrhova, lako se možemo uvjeriti da taj vrh ima dva susjedna vrha i još dva nesusjedna vrha.

null

Zatvori

Zanimljivost

GeoGebra je računalni program dinamičke geometrije koji ima izuzetno veliku primjenu u učenju i poučavanju matematike. GeoGebra je ujedno i nekomercijalni program, što znači da se slobodno može preuzeti na osobno računalo i upotrebljavati izvanmrežno.

Praktična vježba

Nacrtajte mnogokut iz 10. zadatka, koristeći se programom dinamičke geometrije GeoGebra. Nemate li iskustva s GeoGebrom, pogledajte poučni videozapis autora Damira Belavića, a zatim prionite na posao. Vjerujemo da ćete biti zadovoljni učinjenim.

Na zadane mnogokute dovucite odgovarajući naziv.

deveterokut

šesterokut

sedmerokut

null

Zadan je mnogokut $A B C D E F .$

Stranice $\bar{A B}$ i $\bar{C D}$ su

nasuprotne stranice

susjedne stranice

nesusjedne stranice.

Upišite naziv mnogokuta za koji vrijedi da jedan njegov vrh ima

5

nesusjednih vrhova.

Pomoć:

Odredite ukupan broj vrhova mnogokuta.

Postupak:

Prebrojimo vrhove: zadani vrh (1), susjedni vrhovi (2) i nesusjedni vrhovi (zadano 5). Ukupno je to 8 vrhova.

Zadanom n-terokutu pridružite odgovarajući naziv:

$n = 9$
$n = 12$
$n = 19$

Ako su svi unutarnji kutovi manji od $180 °,$ kažemo da je to nekonveksni mnogokut.

Da.

Ne.

null

ZAVRŠITE PROCJENU

7.1 Osnovno o mnogokutima