x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Kolika je cijena jedna olovke?

    Jednadžbe
    3 x + 2 y = 18 4 x + y = 19  
    dobivene u animaciji čine

     
    dviju
     
    jednadžbi s
     
    nepoznanice.

    dvije
    linearnih
    sustav

    Pomoć:

    Zapisane jednadžbe su oblika a x + b y = c d x + e y = f

    null

    Cijenu jedne olovke označili smo nepoznanicom , a cijenu jedne gumice nepoznanicom .

    Pomoć:

    U sustavu dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice a x + b y = c d x + e y = f nepoznanice su označene slovima x i y .

    null

    Da bismo saznali cijenu olovke i gumice, moramo riješiti sustav.

    null
    Rješenje sustava iz animacije je uređeni par ( , ).

    Pomoć:

    Riješiti sustav znači izračunati vrijednost nepoznanice x i y .

    Postupak:

    Sustav riješite metodom suprotnih koeficijenata tako da pomnožite drugu jednadžbu s - 2 .

    Cijena jedne olovke iz animacije je kn .

    Pomoć:

    Cijena olovke označena je nepoznanicom x koju pišemo u prvom članu uređenog para.

    Riješite, provjerite i podijelite

    Za uvježbavanje postavljanja i rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice predlažemo nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom elementu. Posljednjih nekoliko zadataka je za one koji žele znati više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak težak.

    Zadatak 1.

    Provjerite je li uređeni par 4 , 5 rješenje sustava

    - 2 x + 5 y = 17 8 x + 2 y = 42

    Uređeni par 4 , 5 je rješenje sustava ako ga uvrstimo u jednadžbe i dobijemo točnu jednakost za obje jednadžbe.

    - 2 x + 5 y = 17 - 2 · 4 + 5 · 5 = 17 - 8 + 25 = 17 17 = 17

    8 x + 2 y = 42 8 · 4 + 2 · 5 = 42 32 + 10 = 42 42 = 42

    Uređeni par 4 , 5 je rješenje sustava.


    Zadatak 2.

    Provjerite je li uređeni par - 2 , 7 rješenje sustava

    5 x + 3 y = 11 9 x + 6 y = 23

    Uređeni par - 2 , 7 rješenje sustava.

    Pomoć:

    Uređeni par je rješenje sustava ako je rješenje obiju jednadžbi.

    null

    Zadatak 3.

    Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

    2 x - 3 y = 11 x + 2 y = - 19  

    Iz druge linearne jednadžbe izrazimo nepoznanicu​ x :

    x = - 2 y - 19

    Dobiveni izraz uvrstimo u prvu jednadžbu:

    2 · - 2 y - 19 - 3 y = 11 - 4 y - 38 - 3 y = 11 - 4 y - 3 y = 38 + 11 - 7 y = 49 / : - 7 y = - 7

    Dobivenu vrijednost nepoznanice y uvrstimo u x = - 2 y - 19 .

    x = - 2 · ( - 7 ) - 19 x = 14 - 19 x = - 5

    Rješenje je uređeni par - 5 , - 7 .


    Zadatak 4.

    Metodom suprotnih koeficijenata riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

    2 x + 6 y = - 24 7 x - 6 y = 51  

    Uočimo suprotne koeficijente uz nepoznanice y :

    2 x + 6 y = - 24 7 x - 6 y = 51 _ +

    9 x = 27

    x = 3

    Uvrstimo x u prvu jednadžbu:

    2 x + 6 y = - 24 2 · 3 + 6 y = - 24 6 + 6 y = - 24 6 y = - 24 - 6 6 y = - 30 / : 6 y = - 5

    Rješenje sustava je uređeni par 3 , - 5 .


    Zadatak 5.

    Na slici je prikazana četverokrevetna soba. Zidovi su narančasti, a kreveti bijeli. Dva kreveta su kreveti na kat.

    162 učenika Osnovne škole Smiljane išla su na izlet u Zagreb. Smješteni su u 46 trokrevetnih i četverokrevetnih soba. Dječaci su smješteni u četverokrevetne, a djevojčice u trokrevetne sobe. Zapišite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice s pomoću kojih možemo saznati koliko je učenika, a koliko učenica na izletu u Zagrebu.

    Odaberite točan odgovor.

    Pomoć:

    Označimo s x broj učenika, a s y broj učenica. Njihov zbroj je 162 .

    Učenike treba podijeliti u četverokrevetne sobe i tome pribrojiti učenice podijeljene u trokrevetne sobe. Kad zbrojimo broj soba u kojima su učenici s brojem soba u kojima su učenice, dobijemo ukupan broj soba.

     

    Zadatak 6.

    Melita i Andreja zajedno imaju 62 godine. Melita je četiri godine starija od Andreje. Koliko je godina Meliti, a koliko Andreji?

    Označimo s x broj Melitinih godina, a s y broj Andrejinih godina. Kad podatke zapišemo u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, vidimo da je:

    x + y = 62 x = y + 4

    Pri rješavanju sustava metodom supstitucije, uvrstimo izraz za nepoznanicu x iz druge jednadžbe u prvu i dobijemo

    y + 4 + y = 62 2 y + 4 = 62 2 y = 62 - 4 2 y = 58 / : 2 y = 29

    Uvrstimo y u drugu jednadžbu i dobijemo vrijednost nepoznanice x .

    x = 29 + 4 x = 33

    Meliti su 33 godine, a Andreji 29 godina.


    Projekt

    Na slici je prikazan QR kod. On je u bijeloj i crnoj boji.

    Osmislite nekoliko problemskih zadataka. Pretvorite ih u QR kodove. To možete učiniti  vrlo jednostavno kopirajući svoje zadatke u prazno polje na ovoj stranici, a preuzeti ih na svoje računalo klikom na gumb Download. Ispišite QR kodove i rasporedite ih po učionici, školskom hodniku, školskom igralištu ili na nekom drugom prostoru. Pronađite jednu od besplatnih aplikacija za čitanje QR kodova i preuzmite je na mobitele. Podijelite se u skupine tako da u svakoj skupini bude jedan mobitel ili tablet s čitačem QR kodova. Organizirajte natjecanje u kojem će učenici tražiti QR kodove koje je sakrila nastavnica ili protivnička skupina. Nagradite skupinu koja je najbrže pronašla i riješila sve zadatke.

    Zadatak 7.

    Na jednom natjecanju bilo je 30 zadataka. Za svaki točan odgovor dobivalo se 5 bodova, a za svaki netočan odgovor gubila su se 3 boda. Ana je osvojila 94 boda.

    Koliko je zadataka Ana riješila točno, a koliko netočno, ako je riješila sve zadatke?

    Ana je na ispitu točno riješila  zadatka, a netočno  zadataka.

    Pomoć:

    x + y = 30 5 x - 3 y = 94

    null

    Zadatak 8.

    Opseg pravokutnika je 60 cm . Ako duljinu jedne stranice pravokutnika povećamo za 5 cm , a duljinu druge stranice smanjimo za 3 cm , pravokutnik će postati kvadrat. Kolike su početne stranice pravokutnika?

    Skica pravokutnika i kvadrata. Na njima su prikazani podaci iz zadatka.
    Skica

    Označimo s x i y duljine stranica pravokutnika.

    Iz formule za opseg vrijedi:

    2 · ( x + y ) = 60 

    Ako duljinu jedne stranice povećamo za 5 cm , a drugu smanjimo za 3 cm , pravokutnik postaje kvadrat, odnosno duljine stranica bit će mu jednake. Zapišemo li to jednadžbom, dobijemo:

    x + 5 = y - 3

    Zapišimo te dvije jednadžbe u sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i riješimo sustav:

    2 · ( x + y ) = 60 / : 2 x + 5 = y - 3 _ x + y = 30 x - y = - 3 - 5 _ x + y = 30 x - y = - 8 + _ 2 x = 22 / : 2 x = 11

    Uvrstimo dobiveni ​ x u jednu od jednadžbi:

    x + y = 30 11 + y = 30 y = 30 - 11 y = 19

    Duljine stranica pravokutnika su 11 cm i 19 cm .


    Zadatak 9.

    Pomičući elemente mišem i spajajući sustave  s rješenjima, složite tangram. Elemente možete i rotirati mišem, pomičući točku označenu na svakom elementu.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Primjer 1.

    Riješimo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice​

    1 x + 1 y = 5 6 1 x - 1 y = 1 6

    uz uvjet da su x 0 i y 0 .

    Ovaj sustav jednadžbi nije jednostavno riješiti uobičajenim metodama. Da bismo pojednostavnili ovaj sustav, jednadžbi uvodimo nove nepoznanice a i b , takve da je a = 1 x   i b = 1 y .

    Sada riješimo pomoćni sustav

    a + b = 5 6 a - b = 1 6  

    s nepoznanicama a i b bilo kojom metodom.

    a + b = 5 6 a - b = 1 6   +

    2 a = 1   / : 2

    a = 1 2

    1 2 + b = 5 6

    b = 5 6 - 1 2

    b = 1 3

    Kako je a = 1 x i b = 1 y , uvrstimo dobivena rješenja za a i b i dobijemo

    1 2 = 1 x     x = 2

    1 3 = 1 y     y = 3

    Rješenje sustava je uređeni par 2 , 3 .


    Zadatak 10.

    Provjerimo je li uređeni par 2 , 3 rješenje sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: 1 x + 1 y = 5 6 1 x - 1 y = 1 6

    Uvrstimo vrijednosti nepoznanica x i y u prvu jednadžbu.

    1 2 + 1 3 = 5 6 3 + 2 6 = 5 6 5 6 = 5 6

    Zatim uvrstimo te vrijednosti u drugu jednadžbu.

    1 2 - 1 3 = 1 6 3 - 2 6 = 1 6 1 6 = 1 6

    Uređeni par je rješenje sustava.


    Ovakav način rješavanja sustava dviju jednadžbi nazivamo metodom uvođenja nove nepoznanice. Ako uočimo pravilnost u obje jednadžbe, na taj način možemo pojednostavniti rješavanje sustava.  

    Zadatak 11.

    Riješite sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice:

    4 x - 5 y = 1 6 x + 5 y = 4

    uz uvjet da su x 0 i y 0 . Dobiveno rješenje provjerite.

    Prisjetimo se da je

    4 x = 4 · 1 x , 5 y = 5 · 1 y i 6 x = 6 · 1 x

    Pojednostavnimo rješavanje sustava tako da uvedemo nove nepoznanice:

    a = 1 x i b = 1 y .

    Dobijemo pomoćni sustav

    4 a - 5 b = 1 6 a + 5 b = 4

    koji možemo riješiti bilo kojom metodom.

    Rješenje pomoćnog sustava je a = 1 2 i b = 1 5 .

    Iz toga slijedi x = 2 i y = 5 , odnosno rješenje početnog sustava je uređeni par 2 , 5 .

    Za provjeru, uvrstimo vrijednosti nepoznanica najprije u prvu jednadžbu, pa u drugu jednadžbu.

    4 2 - 5 5 = 1 1 = 1

    6 2 + 5 5 = 4 4 = 4

    Uređeni par je rješenje sustava.


    ...i na kraju

    Za kraj, odigrajte igru u razredu. Podijelite se u parove. Svaki učenik neka smisli jednu linearnu jednadžbu s dvije nepoznanice i zapiše je na papirić. Zamijenite papiriće s drugim učenicima u razredu. U paru zapišite dvije dobivene jednadžbe u sustav i riješite ga metodom po želji. Provjerite dobiveno rješenje. Izložite sustave i rješenja svih parova na panou u učionici. Sva rješenja ucrtajte u isti koordinatni sustav u ravnini.