9.1 Obujam tijela. Cavalierijev princip

Cavalierijev princip za likove

U geometriji između ostalog računamo i površine likova. Površine nekih likova računali smo "preslagivanjem". Podsjetimo se kako smo računali površinu paralelograma.

Računamo površinu paralelograma $ABCD.$ Prvo spuštamo okomicu iz vrha $D$ na stranicu $a$. Time smo dobili pravokutni trokut $ADF,$ koji možemo "odsjeći" od paralelograma. Zamislimo dalje da taj dio premještamo na mjesto trokuta $BCE.$

Na taj smo način paralelogram $ABCD$ zamijenili pravokutnikom $FECD.$ Vidimo da su površine obaju likova jednake. Primijetimo da su osnovice i visine obaju likova jednake.

Rastaviti i presložiti likove kako bismo utvrdili imaju li istu površinu možemo i na drugi način: presijecajući ih poprečno na više dijelova. Pogledajmo likove na sljedećoj slici.

Jesu li površine ovih likova jednake? Prvi lik je pravokutnik "rasječen" na $10$ jednakih dijelova (pravokutnika). Što je drugi lik? Ako bismo povećali broj dijelova na npr. $50,$ na koji lik bi vas podsjećao tada?

Nakošeni lik ima istu osnovicu, visinu i površinu kao i paravokutnik, ali nije pravokutnik. Lik podsjeća na parlelogram, a s povećanjem broja dijelova približava se pravokutniku.

Cavalieri opisuje odnos između dvaju likova koristeći se paralelnim pravcima koji sijeku oba lika. Paralelne linije su jednako udaljene, pa su visine svih dijelova jednake.

Cavalierijev princip za likove:

Uvjeti:

• ​dva paralelna pravca $p$ i $q$
• dva lika između paralelnih pravaca
• svaki novi pravac paralelan s $p$ i $q$ odsijeca dužine iste duljine na oba lika.

Zaključak:

Površine obaju likova su jednake.

Primjer 1.

Jedan od najčešćih primjera Cavalierijeva principa za likove su trokuti smješteni između dvaju paralelnih pravaca, čija je baza jednake duljine.

U sljedećoj interakciji pogledajte upravo takav primjer. Uz pomoć klizača a mijenjate duljinu osnovice, a možete mijenjati i visinu trokuta. Na samim trokutima ispisuje se i njihova površina.

Primjer 2.

Još jedan od primjera su paralelogrami između dvaju paralelnih pravaca s osnovicom iste duljine. Ova dva paralelograma imaju istu površinu.

Zadatak 1.

Trokuti na slici imaju istu površinu od ​ $15{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

Također vrijedi:

• pravci $AB,$ $EF$ i $C{C}_1$ su paraleleni
• točke $A,$ $B,$ $A_1$ i ​ $B_1$ leže na istom pravcu
• $BC$ je okomita na $A\mathrm{B.}$

Udaljenost između dužine $\stackrel{-}{EF}$ i $\stackrel{-}{C{C}_1}$ iznosi $3\mathrm{cm}.$ Izračunajte duljinu dužina $\stackrel{-}{EF}$ i $\stackrel{-}{E_1{F}_1}.$

Rješenje

---

Primjer 3.

Ana tvrdi da ako dva lika imaju istu visinu i površinu, tada su im duljine dužina koje ih presijecaju jednake. Je li Ana u pravu? Možete li nacrtati primjer koji pokazuje da Ana nije u pravu?

Trokuti na slici su očit primjer da obrat Cavalierieva principa ne vrijedi. Oba trokuta imaju istu površinu, tj. iste osnovice i visinu, ali duljine dužina koje ih presijecaju nisu iste.

Primjer 4.

Pogledajte u sljedećoj animaciji kako možemo s pomoću Cavalierijeva principa izračunati površinu između dvaju cikloida.

Cavalierijev princip za tijela

Promotrite $18$ žetona složenih u dva različita niza iste visine. Je li volumen tih dvaju stupaca jednak?

Bez obzira na to što je oblik različit, volumen obaju stupaca je jednak.

Ideja za određivanje volumena slična je ideji za određivanje površina. Geometrijsko tijelo "režemo" na tanke vodoravne dijelove, poput žetona u prethodnom primjeru. Presjek je u ovom slučaju krug. Površina kruga dana je formulom:

$P=r^2·\pi$

Ako je broj vodoravnih dijelova $n$, a visina svakog dijela $1,$ tada je ukupni volumen jednak:

$V=n·r^2·\pi$

Slično računamo volumen za bilo koji presjek, tj. bazu.

Cavalierijev princip za tijela:

Ako se dva geometrijska tijela nalaze između dviju paralelnih ravnina i svaka ravnina paralelna tim ravninama siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu, tada tijela imaju jednake volumene.

Uvjeti:

• ​dvije paralelne ravnine $p$ i $q$
  
• dva tijela između paralenih ravnina
• svaka ravnina paralelnim ravninama $p$i $q$ siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu.

Zaključak:

Tijela imaju isti volumen.

Praktična vježba

Cavalieriev princip za tijela možemo predočiti na razne načine. Od dvaju stupaca papira možemo složiti različite prizme. Isto je novčićima.

Pokušajte pronaći još primjera koji zorno prikazuju Cavalieriev princip.

Primjer 5.

Između dviju paralelnih ravnina nalaze se dva tijela. Kad presiječemo ta dva tijela novom ravninom, koja je paralelna bazama tih tijela, jedan presjek je trokut, a drugi pravokutnik. Udaljenost između presjeka i baze je $3.$

Izračunajmo:

1. Površinu presjeka za oba tijela

   $P=\frac{a·v_a}{2}=\frac{10·3.3}{2}=16.5$

   $P=a·b=4·4.125=16.5$

   Površine presjeka obaju tijela su jednake i visine su jednake.

2. Volumen drugog tijela ako je volumen prvog $82.5$

   Volumen drugog tijela je $82.5,$ uz primjenu Cavalierieva principa.

Primjer 6.

Zadana su dva tijela. Prvom tijelu baza je pravokutni jednakokračni trokut hipotenuze $\sqrt{32},$ a visina je $15.$ Drugo tijelo ima istu visinu i volumen jednak prvom tijelu. Kolika je površina baze drugog tijela? Ako je baza kvadrat, kolika je duljina stranice?

Ako je visina tijela jednaka i volumen je jednak, onda su površine presjeka (baze) jednake.

Ako je baza prvog tijela pravokutan trokut hipotenuze $\sqrt{32},$ onda s pomoću Pitagorinog poučka računamo katete.

${\sqrt{32}}^2=a^2+a^2=2a^2,$ iz čega slijedi da je kateta jednaka $4.$

Sada računamo bazu:

$B=\frac{1}{2}·4·4=8$

$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$