8.5 Kut pravca i ravnine. Kut dviju ravnina

Ponovimo

Prisjetimo se kako određujemo kut između dvaju pravaca. Kut između dvaju pravaca koji se sijeku manji je od kutova koje ta dva pravca zatvaraju.

Zadatak 1.

Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na

 

pravac koji leži u toj ravnini i prolazi sjecištem pravca i ravnine.
Ortogonalna projekcija točke na ravninu je sjecište

 

na ravninu kroz tu točku.

svaki

okomice

null

null

Udaljenost

Svakom paru točaka $A$ i $B$ u prostoru možemo pridružiti realan broj $d(A,B)$ ili kraće  $\left|AB\right|$    koji označava udaljenost tih točaka. Udaljenost ima sljedeća svojstva:

1. Ako je $A$ različito od $B,$ onda je $d(A,B)=d(B,A)>0.$ Inače $d(A,A)=0.$
2. $d(A,B)+d(B,C)\ge d(A,C).$ Jednakost vrijedi samo u slučaju kada $B$ leži na pravcu $AC$ između točaka $A$ i $C.$​

Mimosmjerni pravci leže u dvjema paralelnim ravninama. Udaljenost tih dviju ravnina je $\left|T{T}_1\right|.$

Primjer 1.

U kvadru sa slike izračunajmo duljine dijagonala $e$ i $s.$

Ortogonalna projekcija dijagonale $s$ na ravninu $PMO$ je $MO.$ Kako je $s$ hipotenuza pravokutnog trokuta $MON,$ a katete su duljine $\mathrm{3}\mathrm{cm}$ i $\mathrm{5}\mathrm{cm},$ dobivamo da je $s$ duljine $\sqrt{34}\mathrm{cm}.$

Prostornu dijagonalu $e$ možemo odrediti izračunamo li najprije duljinu njezine ortogonalne projekcije ​ $e_1.$ Iz pravokutnog trokuta $PMO$ zaključujemo da je $e_1$ hipotenuza, katete su duljine $7\mathrm{cm}$ i $3\mathrm{cm},$ te je njezina duljina ​ $\sqrt{58}\mathrm{cm}.$ Dijagonala $e$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $PON$ pa je po Pitagorinom teoremu njezina duljina $\sqrt{92}\mathrm{cm}.$

Zadatak 2.

Zadana je kocka $ABCDEFGH$ s bridovima duljine $\mathrm{4}\mathrm{cm}.$

Kolika je udaljenost vrha $H$ od ravnine:

1. $ABC$
2. $ABG$
3. $AEG$

Primjer 2.

Točka $A$ od ravnine​ $\pi$ udaljena je za $8\mathrm{cm},$ a točka $B$ za $2\mathrm{cm}.$ Koliko je od ravnine $\pi$ udaljeno polovište dužine $\overline{AB}$ ako su točke s iste strane ravnine?

Pogledamo li prikaz zadatka u dvije dimenzije, ravninu možemo predočiti kao pravac $r.$ Udaljenost točke $A$ do ravnine udaljenost je točke $A$ do njezine ortogonalne projekcije $A_1,$ a udaljenost točke $B$ do ravnine duljina je dužine $\overline{B{B}_1}.$ Uočimo trapez ​ $AB{A}_1{B}_1.$

Osnovice su mu duljine $\mathrm{8}\mathrm{cm}$ i $\mathrm{2}\mathrm{cm},$ a srednjica je upravo udaljenost polovišta dužine ​ $\overline{AB}$ do ravnine. Duljina srednjice je $\frac{a+c}{2}=\frac{8+2}{2}=5.$

Točka $A$ od ravnine $\pi$ udaljena je za $8 \mathrm{cm},$ a točka $B$ za $2 \mathrm{cm}.$ Koliko je od ravnine $\pi$ udaljeno polovište dužine $\stackrel{-}{AB}$ ako su točke s različitih strana ravnine?

Povučemo li dužinu $\stackrel{-}{FB}$ paralelnu s dužinom $\stackrel{-}{A_1{B}_1},$ dobit ćemo trokut $AFB.$ Stranica $\stackrel{-}{AF}$ je tada dugačka $10 \mathrm{cm},$ a srednjica tog trokuta $\mathrm{5}\mathrm{cm}.$ Budući da je udaljenost polovišta dužine $\stackrel{-}{AB}$ do ravnine jednaka srednjici umanjenoj za $\mathrm{2}\mathrm{cm},$ dobivamo da je $\left|G{G}_1\right|=\mathrm{3}\mathrm{cm}.$

Zadatak 3.

Točka $A$ od ravnine​ $\pi$ udaljena je za $5 \mathrm{cm},$ a točka $B$ za $3 \mathrm{cm}.$

1. Ako je duljina dužine $\overline{AB}=10 \mathrm{cm},$ kolika je duljina ortogonalne projekcije te dužine na ravninu $\pi$ ako su točke $A$ i $B$ s iste strane ravnine?  ​
2. Ako je duljina dužine $\overline{AB}=10 \mathrm{cm},$ kolika je duljina ortogonalne projekcije te dužine na ravninu $\pi$ ako su točke $A$ i $B$ s različitih strana ravnine?
   

Kut pravca i ravnine

Vratimo se na uvodni primjer kosog tornja iz Pise. Pogledajmo grafički prikaz kosog tornja. Pomičite pravac i pokušajte odgovoriti koliki kut zatvara toranj s tlom.

Na grafičkom prikazu mogli ste uočiti da, kad spustimo ortogonalnu projekciju iz vrha tornja na tlo, dobivamo pravokutni trokut. Kut između tornja i tla upravo je jedan od šiljastih kutova tog pravokutnog trokuta. Taj kut možemo lako izračunati upotrebom trigonometrije pravokutnog trokuta. U trokutu su nam poznate kateta uz kut i hipotenuza pa ćemo se za određivanje kuta koristiti kosinusom šiljastog kuta

$\cos \alpha =\frac{4}{55}$

​Kut između pravca i ravnine najmanji je od svih kutova koje pravac zatvara s raznim pravcima ravnine. Pogledajmo na slici.

Iz pravokutnog trokuta $ISJ,$ $\sin \alpha =\frac{\overline{IJ}}{\overline{SA}},$ a iz pravokutnog trokuta $ISK,$ $\sin \beta =\frac{\overline{IK}}{\overline{SA}}.$ Budući da su nazivnici isti, a ​ $\overline{IK}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $IJK$ i veća je od katete ​ $\overline{IJ},$ slijedi da je ​ $\sin \beta >\sin \alpha .$ U pravokutnom trokutu tada vrijedi da je ​ $\beta >\alpha .$

Primjer 3.

Odredimo kut koji zatvara prostorna dijagonala kocke duljine brida $1$ centimetar s ravninom osnovice.

Da bismo odredili kut $\alpha ,$ uočimo trokut $BDH.$ Dužina  $\overline{BD}$ ortogonalna je projekcija prostorne dijagonale  $\overline{BH}.$ Trokut $BDH$ pravokutni je trokut s pravim kutom kod vrha $D.$ Duljina dužine  $\overline{DH}$ iznosi $1\mathrm{cm}.$ Dužina $\overline{BD}$ dijagonala je strane $ABCD$ te se računa po formuli  $a\sqrt{2}$ i iznosi $\sqrt{2}\mathrm{cm}.$ Da bismo odredili kut $\alpha$ koristeći se tim dvjema katetama, možemo upotrijebiti tangens šiljastog kuta  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Slijedi $\alpha =35°15\text{'}52\text{'}\text{'}.$

Zadatak 4.

U kvadru $ABCDEFGH$ odredite kut $\alpha$  koji zatvara dužina​ $\overline{AI}$ s ravninom baze kvadra $ABC,$ ako je baza kvadrat stranice $3$ centimetara, a $I$ polovište brida $\overline{DH}$ čija je duljina $5$ centimetara.

Primjer 4.

Odredimo kut koji zatvara bočni brid pravilne četverostrane piramide s ravninom baze ako je visina piramide $10$ centimetara, a baza je kvadrat s duljinom stranice $5$ centimetara.

Označimo li vrhove piramide kao na slici, možemo uočiti da je potrebno odrediti kut kod vrha $C$ koji zatvaraju pravac koji sadrži pobočni brid i njegova ortogonalna projekcija na ravninu baze. To je kut pravokutnog trokuta $CV{V}_1.$ Kako je baza piramide kvadrat, pobočni bridovi su jednakih duljina, pa ortogonalna projekcija vrha piramide pada u središte bazi opisane kružnice (sjecište dijagonala). Duljina visine piramide, koja iznosi $10\mathrm{cm},$ kateta je trokuta $V{V}_{1}C,$ a duljina druge katete iznosi polovinu dijagonale baze, $\left|\overline{C{V}_1}\right|=5\sqrt{2}\mathrm{cm}.$

Budući da su nam poznate obje katete, kut možemo odrediti koristeći se tangensom šiljastog kuta ​ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{10}{\frac{5}{2}\sqrt{2}}$ iz čega dobivamo kut ​ $\alpha =70°31\text{'}44\text{'}\text{'}.$

Zadatak 5.

Odredite kut koji zatvara bočni brid pravilne trostrane piramide s ravninom baze ako je duljina pobočnog brida piramide $10$ centimetara, a baza je jednakostranični trokut s duljinom stranice $6$ centimetara.  

Potrebno je odrediti kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu. To je kut kod vrha $C$ u pravokutnom trokutu $CV{V}_1.$

Kateta $\overline{C{V}_1}$ tog pravokutnog trokuta jednaka je $\frac{2}{3}$ visine jednakostraničnog trokuta baze $6$ centimetra (prisjetite se karakterističnih točaka jednakostraničnog trokuta $DOS-a1,$ modul 8.3, i činjenice da su središte opisane kružnice, ortocentar i težište jednakostraničnog trokuta u istoj točki koja težišnicu dijeli u omjeru $2:1$ od vrha).

$\left|\overline{C{V}_1}\right|=\frac{2}{3}·\frac{6\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Kut možemo odrediti koristeći se kosinusom šiljastog kuta ​ $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{10}$ iz čega dobivamo da je kut ​ $\alpha =69°43\text{'}56\text{'}\text{'}.$

Kut dviju ravnina

Primjer 5.

Odredimo kut pod kojim ravnina $BDG$ siječe ravninu $ABCD$ u kocki $ABCDEFGH$ duljine stranice $1$ centimetar. Odredimo površinu trokuta koji nastaje kao presjek tih dviju ravnina.

Da bismo odredili kut pod kojim ravnina $BDG$ siječe ravninu osnovice, uočimo pravokutni trokut $GSC.$ Pravi kut je kod vrha $C,$ a katete tog trokuta iznose $\left|\overline{GC}\right|=1$ i polovina dijagonale $\left|\overline{SC}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Kut $CSG$ možemo izračunati koristeći se trigonometrijom pravokutnog trokuta, ​ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.$ Pa je kut ​ $\alpha =54°44\text{'}8\text{'}\text{'}.$

Da bismo odredili površinu trokuta $BD\mathrm{G,}$ možemo odrediti duljinu stranice $\overline{BD}$  koja je dijagonala kvadrata $\left|\overline{BD}\right|=\sqrt{2}$ ​i duljinu dužine $\overline{SG}.$ Dužinu $\overline{SG}$ možemo dobiti koristeći se Pitagorinim poučkom.

$\left|\overline{SG}\right|=\sqrt{1^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ Površina presjeka tada je jednaka $P=\frac{\sqrt{2}·\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Primjer 6.

Odredimo kut koji zatvara pobočka pravilne trostrane piramide s ravninom baze ako je duljina pobočnog brida piramide $10$ centimetara, a baza je jednakostranični trokut s duljinom stranice $6$ centimetara.    

Da bismo odredili kut između pobočke i ravnine baze, pronađimo dva pravca iz svake ravnine okomita na presječnicu tih ravnina. To su pravci $p$ i $q.$

Uočimo sada trokut $HV{V}_1.$

Točka $V_1$ ortogonalna je projekcija točke $V$ na ravninu baze. Trokut $HV{V}_1$ je pravokutan s katetom uz kut  $\overline{H{V}_1}$ i hipotenuzom  $v_1$ (visina pobočke). $\overline{H{V}_1}$  je jednak polumjeru upisane kružnice baze (baza je jednakostranični trokut čije sve četiri karakteristične točke se podudaraju pa je tako polumjer upisane kružnice jednakostraničnog trokuta $\rho$ jednak jednoj trećini težišnice, a težišnica je jednaka visini).

Dakle, polumjer upisane kružnice baze iznosi ​ $\rho =\frac{1}{3}·\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$ a visina pobočke je visina jednakokračnog trokuta s osnovnim bridom $6$ i krakom $10$ ​ $v_1=\sqrt{{10}^2-3^2}=\sqrt{91}.$

Pomoću trigonometrije šiljastog kuta imamo ​ $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{91}},$ tj. ​ $\alpha =79°32\text{'}20\text{'}\text{'}.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Odredite kut koji zatvara pobočka pravilne četverostrane piramide s ravninom baze ako je visina piramide $10$ centimetara, a baza je kvadrat s duljinom stranice $6$ centimetara.

Rješenje

Potrebno je odrediti kut kod vrha $G$ trokuta $GV{V}_1.$

Budući da je $tg\alpha =\frac{10}{3}$ $,$ dobivamo ​ $\alpha =73°18\text{'}3\text{'}\text{'}$

---

Zadatak 7.

Na slici je kvadar duljina bridova $4$ centimetra, $3$ centimetra i $2$ centimetra. Točka $I$ je polovište brida $GH.$ Odredite:

1. duljinu dužine $BI$
2. kut pravca $BI$ i ravnine $CDG$
3. kut između ravnine $BCI$ i $ABC.$

Rješenje

1. Prvo odredimo​ $\left|\overline{BJ}\right|$ iz pravokutnog trokuta $BCJ.$

   $\left|\overline{BJ}\right|=\sqrt{4^2+{1.5}^2}=\frac{\sqrt{73}}{2}$
   

   Iz pravokutnog trokuta $BJI$ dobijemo ​ $\left|\overline{BI}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{\sqrt{73}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{89}}{2}.$

2. Iz pravokutnog trokuta $CDI$ dobijemo ​ $\left|\overline{CI}\right|=\sqrt{2^2+{1.5}^2}=\frac{5}{2}.$

   U pravokutnom trokutu $BCI$ vrijedi ​ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{\frac{5}{2}},$ $\alpha =57°59\text{'}41.$

3. U pravokutnom trokutu $CIJ$  $\mathrm{tg}\beta =\frac{2}{1.5},$ $\beta =53°7\text{'}48\text{'}\text{'}.$

---

Zatvori

Površina projiciranog lika

Pogledajmo ortogonalnu projekciju dužine $\overline{IJ}$ na ravninu $\pi .$

Vrijedi ​ $\left|\overline{I_1{J}_1}\right|\le \left|\overline{IJ}\right|.$ Znak jednakosti vrijedio bi kada bi točke $I$ i $J$ pripadale pravcu paralelnom s ravninom.

Neka je ​ $\alpha$ kut koji zatvara pravac kroz točke $I$ i $J$ s ravninom $\pi .$

Tada je ​ $\cos \alpha =\frac{\left|T{J}_1\right|}{\left|TJ\right|}=\frac{\left|IH\right|}{\left|IJ\right|}$

Odnosno, duljina ortogonalne projekcije jednaka je $\left|I_1{J}_1\right|=\left|IJ\right|\cos \alpha .$

Kao što se pri ortogonalnom projiciranju mijenjaju duljine dužina, jednako se mijenjaju i površine projiciranih likova.

Primjer 7.

Presječemo li kocku duljine brida $1$ centimetar ravninom kroz dijagonalne kao na slici, kao presjek ćemo dobiti pravokutnik.

Odredimo površinu tog pravokutnika i površinu njegove ortogonalne projekcije. Možemo li povezati te površine s kutom između tih ravnina?

Površina presjeka $ABGH$ iznosi $P=1·\sqrt{2}=\sqrt{2}{\mathrm{cm}}^2$ dok površina ortogonalne projekcije kvadrata $ABCD$ iznosi $P_1=1·1=1{\mathrm{cm}}^2.$

Budući da je kut između ovih dviju ravnina $45°,$ zaključujemo da je $\left|AG\right|=\left|AB\right|\cos 45°.$ Tada je površina ​ $P=\left|AB\right|·\left|AG\right|=\left|AB\right|·\left|AB\right|·\cos 45°=P_1·\cos 45°.$

Primjer 8.

Presječemo li kocku duljine brida $1$ centimetar ravninom kroz polovišta nasuprotnih bridova (kao na slici), kao presjek ćemo dobiti pravokutnik.

Odredimo površinu tog pravokutnika i površinu njegove ortogonalne projekcije. Možemo li povezati te površine s kutom između tih ravnina?  

Da bismo odredili kut pod kojim se sijeku ravnina $ABJ$ i $ABC,$ uočimo trokut $BCJ.$

Njegove katete su $1$ i $0.5$ centimetara pa je $\mathrm{tg}\alpha =\frac{0.5}{1}=0.5,$ odnosno $\alpha =26°33\text{'}54",$ a ​ $\left|BJ\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Stoga je površina $P=1·\frac{\sqrt{5}}{2}=1·1·\cos 26°33\text{'}55"=\frac{\sqrt{5}}{2}{\mathrm{cm}}^2.$

Kutak za znatiželjne

Tvrdnju da je površina ortogonalne projekcije mnogokuta na ravninu jednaka  $P_1=P·\cos \alpha$ možemo dokazati koristeći se trokutom (svaki mnogokut može se rastaviti na trokute). Pokušajte sami.

Zadatak 8.

Presječemo li kocku duljine brida $1$ centimetar ravninom koja prolazi kroz vrh $A,$ polovišta bridova $BF$ i $DH$ te kroz vrh $G,$ dobit ćemo četverokut. Odredite površinu tog četverokuta.