8.6 Preslikavanja prostora

Što je simetrija?

Promatrajući pažljivije oko sebe, očima matematičara, uočavamo bezbroj jednostavnih, lijepih i pravilnih oblika. Osim u arhitekturi i umjetnosti, i u prirodi susrećemo najrazličitije oblike, od pravilnih geometrijskih tijela do najčudnijih nepravilnih oblika, uvjetovanih načinom života biljnog i životinjskog svijeta. Možemo uočiti niz oblika s većom ili manjom simetrijom, važnom karakteristikom svih živih bića.

U matematici je simetrija preslikavanje točaka ravnine, odnosno prostora.

Simetrije možemo svrstati u tri osnovna područja:

• zrcalna (planarna) simetrija je simetrija u odnosu na ravninu
• osna (aksijalna) simetrija je simetrija u odnosu na pravac
• centralna (središnja) simetrija je simetrija u odnosu na točku.

To su primjeri izometrije, preslikavanja koje čuva udaljenosti.

S obzirom na pravilo po kojem se vrši preslikavanje točaka ravnine, odnosno prostora, razlikujemo tri vrste elementarnih geometrijskih preslikavanja:

• simetrije
• pomak (translacija)
• vrtnja (rotacija).

U osnovnoj školi upoznali ste se s elementarnim geometrijskim preslikavanjima ravnine. Ponovimo.

Zadatak 1.

1. Povežite sliku s vrstom preslikavanja.
   

   	TranslacijaOsna simetrijaRotacijaCentralna simetrija
   	TranslacijaOsna simetrijaRotacijaCentralna simetrija
   	TranslacijaOsna simetrijaRotacijaCentralna simetrija
   	TranslacijaOsna simetrijaRotacijaCentralna simetrija

   

   null

   null

2. Povežite naziv preslikavanja s elementima potrebnim za preslikavanje zadanog geometrijskog lika.
   

   Osna simetrija	PravacTočkaTočka i kutVektor
   Centralna simetrija	PravacTočkaTočka i kutVektor
   Translacija	PravacTočkaTočka i kutVektor
   Rotacija	PravacTočkaTočka i kutVektor

   

   null

   null

Osnu i centralnu simetriju naučili ste kao preslikavanja ravnine. Zakoračimo sada u dimenziju više. Kako ih definirati u prostoru?

Potražimo i odgovor na pitanje kakva je simetrija prikazana na slici.

Osna simetrija

Osnu simetriju definiramo koristeći se ortogonalnom projekcijom točke na pravac $p.$

Primjer 1.

Preslikajmo dužinu $\stackrel{-}{AB}$ osnom simetrijom ako je os simetrije pravac koji:

1. ne siječe dužinu i nije paralelan s njom
2. okomit je na dužinu i prolazi jednim vrhom
3. siječe dužinu i nije okomit na nju.

Nacrtajmo svaki od tih triju slučajeva. Imamo ravninu u kojoj leži dužina i pravac koji probada ravninu:

1. pod nekim kutom i ne siječe dužinu
2. okomito i prolazi vrhom $B$
3. pod nekim kutom i siječe dužinu.

Rješenje

---

Zadatak 2.

U bilježnicu preslikajte paralelogram osnom simetrijom ako ga os simetrije probada okomito u sjecištu dijagonala. Je li osna simetrija izometrija?

Rješenje

---

Ovakav skup točaka iz prethodnog zadatka, koji se preslikava u samoga sebe, nazivamo osnosimetričan skup točaka.

Osna simetrija čuva udaljenosti što se lako može dokazati primjenom poučaka o sukladnosti trokuta pa kažemo da je osna simetrija izometrično preslikavanje.

Centralna simetrija

Centralna simetrija projekcija je točke s obzirom na istaknutu točku $O$ prostora.

Zadatak 3.

Odredite centralnu simetriju skupa točaka sa slike ako je centar simetrije sjecište dijagonala jedne strane prizme (pobočke).

Rješenje

---

Prizma iz rješenja 3. zadatka centralnosimetričan je skup s obzirom na centar simetrije u središtu dijagonalnog presjeka prizme. Postoji li još koje središte simetrije preko kojega će se prizma preslikati u samu sebe? Pronađite još neke skupove točaka s tim svojstvom.

Zrcalna simetrija

Znamo nacrtati zrcalno simetričnu točku točki $A.$ Što je zrcalna simetrija dužine $\overline{AB}?$
Dužinu zrcalimo tako da zrcalno preslikamo krajnje točke dužine $\overline{AB},$ $A\mapsto A\text{'}$ i $B\mapsto B\text{'}.$ Dobivena dužina $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ zrcalna je simetrija dužine $\overline{AB}$ i obje su jednakih duljina. Stoga je i zrcalna simetrija izometrija.

Kutak za znatiželjne

Dokažimo jednakost zrcalno simetričnih dužina, $\left|AB\right|=\left|A\text{'}B\text{'}\right|.$ Pogledajmo odozgo zrcalnu simetriju dužine $\overline{AB}.$

Uočimo trapeze $A{P}_A{P}_{B}B\mathrm{i}{P}_{A}A\text{'}B\text{'}{P}_B,$ odnosno pravokutnike ako je dužina $\overline{AB}$ usporedna sa simetralnom ravninom.

Tvrdimo da vrijedi: $A{P}_A{P}_{B}B\cong P_{A}A\text{'}B\text{'}{P}_B.$

Trapezi se podudaraju u dvije stranice (zbog svojstva simetralne ravnine koja raspolavlja dužinu točke i njezine zrcalno simetrične točke) te im je jedna stranica zajednička. Prisjetite se poučaka o sukladnosti iz prvog razreda te dokažite do kraja sukladnost četvrte stranice $\left|AB\right|=\left|A\text{'}B\text{'}\right|.$ (Uputa: možete povući visine iz vrha $B,$ odnosno $B\text{'}$ paralelne sa simetralnom ravninom. Dobiju se dva trokuta s istim kutovima. Iz poučka SKS slijedi tvrdnja.)

Kako biste dokazali tvrdnju ako je dužina $\overline{AB}$ okomita na simetralnu ravninu?

Primjer 2.

Nacrtajmo jednakostraničan trokut $ABC.$ Neka simetralna ravnina raspolavlja jednu stranicu i neka je okomita na nju. Pogledajte sliku.

Što je zrcalno simetrična slika trokuta?

Zrcalnu simetriju trokuta dobit ćemo tako da napravimo preslikavanje svih triju vrhova trokuta preko zadane simetralne ravnine, $A\mapsto A\text{'},B\mapsto B\text{'}\mathrm{i}C\mapsto C\text{'}.$ Dobiveni trokut $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ zrcalno je simetričan zadanom trokutu.

Koji je to trokut?

Rješenje

---

Ako postoji simetralna ravnina takva da se skup točaka preslika u samoga sebe, takav skup nazivamo zrcalnosimetričan skup. Tako je iz prethodnog primjera jednakostraničan trokut zrcalnosimetričan.

Homotetija

Preslikavanja koja smo dosada spominjali čuvaju udaljenost između točaka koje se preslikavaju. To su izometrična preslikavanja. Znate li neko preslikavanje točaka ravnine/prostora koje ne čuva udaljenosti?

Prisjetimo se Talesovog poučka, odnosno sličnosti trokuta.

Zadatak 6.

1. Pravci $p$  i $q$  sijeku krakove kuta $\measuredangle AOB.$ Ako su pravci $p$  i $q$  okomitiproizvoljno nacrtaniparalelni, tada vrijede sljedeće jednakosti.

   

   null

   null

2. Povežite jednake omjere.
   

   $\left|OA\right|:\left|AB\right|=$	$\left|OA\right|:\left|OB\right|$
   $\left|AA\text{'}\right|:\left|BB\text{'}\right|=$  ​	$\left|OA\text{'}\right|:\left|OB\text{'}\right|$  ​
   $\left|OA\right|:\left|OB\right|=$	$\left|OA\text{'}\right|:\left|A\text{'}B\text{'}\right|$  ​

   

   null

   null
3. Ovaj poučak naziva se Talesov poučakEuklidov poučakPitagorin poučak .

   

   null

   null

4. Vrijedi li obrat Talesovog poučka?
   

   (Ako vrijede jednakosti omjera iz prethodnog zadatka s omjerima, tada su pravci $p\mathrm{i}q$ paralelni.)
   

   Da

   Ne

   

   null

   null
5. Stranice trokuta $△OAB\mathrm{i}△OA\text{'}B\text{'}$  su proporcionalneokomitesukladne, a kut pri vrhu $O$ je zajednički pa su ti trokuti sličnipravokutnisukladni .

   

   null

   null

6. Neka su trokuti $△OAB$ i $△OA\text{'}B\text{'}$ slični s koeficijentom sličnosti $k.$ Što vrijedi za duljine njihovih stranica 

   ( $\left|OA\right|\mathrm{i}\left|OA\text{'}\right|$), opsege ( $o\mathrm{i}o\text{'}$) te površine ( $P\mathrm{i}P\text{'}$)?
   

   $o\text{'}:o=$	$k^2$  ​
   $\left|OA\text{'}\right|=$	$k$
   $P\text{'}:P=$  ​	$\left|k\right|·\left|OA\right|$  ​

   

   null

   null

Promotrimo sada prethodno preslikavanje koje točki $A$ pridružuje točku $A\text{'},$ točki $B$ točku $B\text{'}.$ ​

Točke $A$ i $B$ leže na pravcu $p,$ a točke $A\text{'}$ i $B\text{'}$ na pravcu $q.$ Budući da je pravac određen s dvije točke, dano preslikavanje je preslikavanje paralelnih pravaca. Možemo promatrati i preslikavanje dužina $\overline{AB}\mapsto \overline{A\text{'}B\text{'}}.$ ​

Dužine su paralelne, ali nisu sukladne. Ako je koeficijent proporcionalnosti $k,$ vrijedi $\left|A\text{'}B\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|AB\right|.$ ​

Ovo preslikavanje poznato nam je iz 1. razreda. Nazivamo ga homotetijom s koeficijentom homotetije $k.$ ​

Preselimo se u treću dimenziju i pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 3.

U ravnini $\pi$ (žuta ravnina) imamo homotetiju dužina $\overline{AB}\mapsto \overline{A\text{'}B\text{'}}$ s koeficijentom homotetije $k=2\Rightarrow \left|A\text{'}B\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|AB\right|=2·\left|AB\right|.$

Dakle, pravci kojima dužine pripadaju su paralelni (Talesov poučak).

Odaberimo točku $C$ takvu da su točke $A,B\mathrm{i}C$ nekolinearne. Trokut sa zadanim nekolinearnim točkama određuje ravninu $\sigma .$

Nacrtajmo ravninu paralelnu ravnini $\sigma$određenu pravcem $A\text{'}B\text{'}.$

Homotetična slika točke $C,C\text{'}$ leži u ravnini $\rho .$

Primjećujemo da analognim zaključivanjem vrijedi isto i za omjer ostalih stranica trokuta: $\left|A\text{'}C\text{'}\right|=2·\left|AC\right|i\left|B\text{'}C\text{'}\right|=2·\left|BC\right|.$

Koristeći se alatima GeoGebre pogledajte kako izgleda homotetija iz prethodnog primjera iz svih kutova prostora.

U primjeru je definirano preslikavanje točaka ravnina $A\in \sigma ,A\text{'}\in \rho ,\sigma \to \rho ,$ koje nazivamo homotetija ili centralna sličnost. Točka $S$ je središte homotetije. Broj $k$ nazivamo koeficijent homotetije (koeficijent sličnosti).

Kutak za znatiželjne

Dokažite da se površine trokuta $△ABC$ i njemu homotetičnog trokuta $△A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ odnose kao kvadrati koeficijenta homotetičnosti.

$\frac{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{P_{ABC}}=k^2$ 

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Uočite na slici trokut $ABC$ i vrh $V.$

Zrake $VA\mathrm{i}VB$ određuju dio ravnine, odnosno $\measuredangle AVB.$ Zrake $VB\mathrm{i}VC$ određuju $\measuredangle BVC$ te zrake $VC\mathrm{i}VA$ određuju $\measuredangle CVA.$ Dobili smo geometrijski lik u prostoru koji dijeli sve točke prostora na dva skupa. Jedan od njih su sve točke koje se nalaze s jedne strane (unutarnje) beskonačnog "trokutastog" lijevka kojemu pripada i trokut $ABC,$ a drugi skup točaka nalazi se s druge strane (vanjske) tog lijevka. Takav geometrijski oblik u prostoru zovemo trobrid.

Tri zrake u prostoru koje izlaze iz jedne točke, a nisu komplanarne, određuju u prostoru geometrijski oblik koji se zove trobrid. Oznaka: $V\left(ABC\right).$

• Po dva brida trobrida određuju kut koji se zove bridni kut.
• Po dva brida određuju dio ravnine koji se zove strana trobrida.
• Po dvije strane trobrida čine po jedan prostorni kut ili diedar.

Kaže se da je trobrid pravilan ako ima sve bridne kutove jednake.

Definirajmo homotetiju proizvoljnog lika ravnine $\sigma$ u njemu sličan lik ravnine $\rho$ sa središtem homotetije $S$ i koeficijentom homotetije $k.$ Površinu početnog lika označimo s $P$ , a njemu homotetičnog s $P\text{'}.$ Tada vrijedi:

$\frac{P\text{'}}{P}=k^2.$

Omjer površina homotetičnih likova jednak je kvadratu koeficijenta homotetije.

Homotetija u prostoru

Do sada smo promatrali preslikavanje točaka ravnina. Možemo li na sličan način definirati homotetiju proizvoljnih točaka prostora?

Ispitajmo najprije kako se ponašaju homotetične slike ovisno o koeficijentu homotetije $k.$ U sljedećoj interaktivnoj vježbi preslikajmo homotetijom pravilnu piramidu u odnosu na neku čvrstu točku $S.$ Mijenjajte koeficijent $k$ i promatrajte što se događa s homotetičnom slikom. O kakvom se preslikavanju radi ako je $k=1,$ odnosno $k=-1?$ Kakva je slika ako je $\left|k\right|>1,$ a kakva ako je $\left|k\right|<1.$ Istražite i zaključite.

Pomičite središte homotetije $S$ te mijenjajte visinu piramide pomicanjem vrha $V.$ Bazi piramide, jednakostraničnom trokutu, možete mijenjati veličinu pomicanjem točke $A$ ili točke $B.$

Uočite omjere duljine brida $\left|AB\right|$ i duljine homotetičnog brida $\left|A\text{'}B\text{'}\right|,$ zatim omjere površina baza te obujmova piramida.

Zadatak 7.

Odgovorite na sljedeća pitanja. Ako na neko pitanje ne znate odgovor, vratite se na interaktivnu vježbu te još malo istražite homotetiju u prostoru.

1. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je $k=-1?$
   

   O osnoj simetriji.

   O centralnoj simetriji.

   O identičnom preslikavanju.

   O sažimanju.

   O rastezanju.

   

   null

   null

2. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je $k=1?$
   

   O osnoj simetriji.

   O centralnoj simetriji.

   O identičnom preslikavanju.

   O sažimanju.

   O rastezanju.

   

   null

   null

3. Je li ovo preslikavanje za proizvoljni $k$  izometrija?
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je $\left|k\right|<1?$
   

   O osnoj simetriji.

   O centralnoj simetriji.

   O identičnom preslikavanju.

   O sažimanju.

   O rastezanju.

   

   null

   null

5. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je $\left|k\right|>1?$
   

   O osnoj simetriji.

   O centralnoj simetriji.

   O identičnom preslikavanju.

   O sažimanju.

   O rastezanju.

   

   null

   null
6. Koja je točka središte simetrije kada ovo preslikavanje postane centralna simetrija?

     $S$

   

   null

   null

7. O čemu ovisi veličina novonastale slike danim preslikavanjem?
   

   Povežite uvjet na koeficijent $k$ i veličinu slike.
   

   $\left|k\right|=1$	Slika se rasteže/povećava u odnosu na izvornik.Slika ostaje jednaka izvorniku.Slika se sažima/umanjuje u odnosu na izvornik.
   $\left|k\right|<1$	Slika se rasteže/povećava u odnosu na izvornik.Slika ostaje jednaka izvorniku.Slika se sažima/umanjuje u odnosu na izvornik.
   $\left|k\right|>1$	Slika se rasteže/povećava u odnosu na izvornik.Slika ostaje jednaka izvorniku.Slika se sažima/umanjuje u odnosu na izvornik.

   

   null

   null

8. Za koji $k$ točke i njihove slike nastale danim preslikavanjem leže na istom polupravcu određenom točkom $S?$
   

   $k<0$ 
    

   $\left|k\right|<1$ 

   $k>0$ 

   $\left|k\right|>1$ 
   

   $k=0$ 

   $\left|k\right|=1$ 

   

   null

   null

Zadatak 8.

Dobili ste dar. S mobitelom ste ga osvijetlili i pojavila se sjena na zidu (kao na slici). Sestra je uzela metar i izmjerila da je udaljenost mobitela od dara $4\mathrm{dm},$ a od zida $12\mathrm{dm}.$ Sjena na zidu kvadratnog je oblika stranice $3\mathrm{dm}.$ Znate izračunati koliku je površinu zida prekrila sjena. Koliki je obujam kutije koju ste dobili?

Rješenje

---

Povezani sadržaji

Primjene homotetije

Nacrtna geometrija ​matematička je disciplina koja se bavi metodama projiciranja. Postoji paralelno i centralno projiciranje.  Razvoj nacrtne ili deskriptivne geometrije kao samostalne matematičke grane usko je povezan s potrebama građevinarstva, arhitekture, industrije, tehnike, vojske i slikarstva. Želite li naučiti više o nacrtnoj geometriji, potražite pojam na internetu te u enciklopedijama.

Optika je grana fizike koja se bavi svojstvima i širenjem svjetlosti te međudjelovanjem svjetlosti i tvari. U geometrijskoj optici zanemaruje se valna priroda svjetlosti, a temeljni je pojam svjetlosna zraka.

Perspektiva je u likovnoj umjetnosti način prikazivanja volumena i prostora na plohi slike, stvaranje predodžbe o dubini prostora. Dolazi od latinske riječi prospicere, što znači vidjeti ili razabrati. Perspektiva je stajalište s kojeg se promatra, odnosno gledište, način gledanja, način razmatranja, poimanje. O vrstama perspektive istražite na internetu.

Osnove matematičke teorije perspektive prvi je razradio Désargues (17. stoljeće).

Na slici je najstariji primjer geometrijske perspektive u umjetnosti.