Matematika 2 - 9.7 Obujam piramide

Na početku...

izvor: http://cargocollective.com/anilsson/Package-design

Arhimedov zakon

Maji je savjet dao brat: "Odredi obujam Arhimedovom metodom." "Eureka!", odgovorila je Maja.

Može li Maja odrediti obujam Arhimedovom metodom?

null

Postupak:

Maja bi mogla uzeti posudu s menzurom, napuniti je vodom i označiti visinu vode na menzuri. Nakon što ubaci tetrapak u posudu s vodom, razina vode će se podići. Razlika obujma vode poslije uranjanja tetrapaka i prije uranjanja tetrapaka jest obujam tetrapaka soka.

Obujam piramide

Arhimedova metoda određivanja obujma tijela je empirijska metoda i prethodila je matematičkom definiranju obujma različitih geometrijskih tijela. Pogledajmo kako bi izgledala formula za određivanje obujma piramide.

Prisjetimo se kako smo došli do formule za obujam piramide u 8. razredu.

U idućoj animaciji pogledajte kako rastaviti trostranu prizmu na tri piramide jednakih volumena.

Sve tri piramide iz animacije imaju jednake obujme. Dokažimo.

Prisjetimo se Cavalierijeva principa.

Zadatak 1.

Ako se dva geometrijska tijela nalaze između dviju

ravnina i svaka ravnina paralelna tim ravninama siječe tijela tako da presjeci imaju

površinu, tada tijela imaju

volumene.

jednake

istu

paralelnih

null

Pokažimo da obujam piramide ovisi o površini baze i visini.

Pomičite ravninu koja siječe piramidu i pratite površine presjeka te ravnine s ovim dvjema piramidama. Što primjećujete?

Povučemo li ravninu paralelnu s bazama na udaljenosti $x$ od vrha piramide ( $h - x$ od baze piramide), možemo uočiti presjeke te ravnine s piramidama. Označimo ih s $P_{1}$ i $P_{2},$ kao i njihove površine. Pokažimo da će uvijek biti $P_{1} = P_{2} .$

Pogledajmo $P_{1}$ i $B_{1} .$

Ta dva lika su homotetična, sa središtem homotetije u vrhu $V .$ Koeficijent homotetije je $\frac{x}{h},$ pa su površine u omjeru $\frac{P_{1}}{B_{1}} = {(\frac{x}{h})}^{2} .$ Analogno vrijedi $\frac{P_{2}}{B_{2}} = {(\frac{x}{h})}^{2} .$ Kako su površine baza jednake, slijedi da su i površine presjeka ravnine paralelne s bazom uvijek jednake. Prema Cavalierijevu principu te dvije piramide imaju jednake obujme.

Dvije piramide koje imaju baze jednakih površina i jednake visine, imaju i jednak obujam.

Pogledajmo piramide određene vrhovima $A B C A_{1}$ i $A_{1} B_{1} C_{1} B .$ One imaju sukladne baze $A B C$ i $A_{1} B_{1} C_{1}$ i visine jednakih duljina $\bar{A A_{1}}$ i $\bar{B B_{1}} .$ Te su dvije piramide sukladne, pa imaju i jednake obujme.

Pogledajmo piramide $B C C_{1} A_{1}$ i $B B_{1} C_{1} A_{1} .$ Uzmimo da su baze $B C C_{1}$ i $B B_{1} C_{1} .$ One su očito sukladni trokuti ( $\bar{B C_{1}}$ je dijagonala paralelograma $B C C_{1} B_{1}$ ), pa su njihove površine jednake. Visine tih piramida su također jednakih duljina (to je udaljenost točke $A_{1}$ do ravnine paralelograma $B C C_{1} B_{1}$ ). I ove dvije piramide imaju jednake obujme. Dakle, obujmi svih triju piramida su jednaki te iznose trećinu obujma prizme baze $B$ i visine $h .$

Piramida s površinom baze $B$ i visinom $h$ ima obujam $V = \frac{B \cdot h}{3} .$

Primjer 1.

Odredimo obujam tetrapaka (tetraedra omeđenog jednakostraničnim trokutima) duljine stranice baze $10 cm .$

Baza tetraedra je jednakostranični trokut čija je površina $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{10^{2} \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} {cm}^{2} .$

U pravokutnom trokutu $F G H$ znamo da je $v_{1}$ visina jednakostraničnog trokuta, a $ρ$ trećina te visine.

Dakle, $v_{1} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} cm,$ $ρ = \frac{5}{3} \sqrt{3} cm .$

Tada je $h = \sqrt{(5 \sqrt{3})^{2} - (\frac{5}{3} \sqrt{3})^{2}} = \frac{10 \sqrt{3}}{6} cm .$

Obujam je jednak: $V = \frac{25 \sqrt{3} \times \frac{10 \sqrt{6}}{3}}{3} = \frac{250 \sqrt{18}}{9} = \frac{250 \sqrt{2}}{3} = 117.85 {cm}^{3} = 0.11785 {dm}^{3} = 0.11785 l$

U tetrapak tih dimenzija stalo bi malo više od $1$ decilitar soka.

Zadatak 2.

Odredite obujam trostrane piramide čija je baza trokut sa stranicama duljine $a = 6 cm,$ $b = 10 cm$ i $c = 14 cm,$ a pobočke s ravninom baze zatvaraju kut od $45 ° .$

$B = 15 \sqrt{3}$

$ρ = \sqrt{3}$

$v_{1} = 2 \sqrt{3}$

$tg 60 ° = \frac{h}{ρ} \Rightarrow h = ρ \cdot tg 60 ° = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 cm$

$V = \frac{15 \sqrt{3} \cdot 3}{3} = 15 \sqrt{3} {cm}^{3}$

Primjer 2.

Baza trostrane piramide je trokut duljina stranica $17,$ $25$ i $28$ centimetara, a visina piramide iznosi $30$ centimetara. Sve pobočke piramide nagnute su prema ravnini baze pod istim kutom. Odredimo obujam piramide.

$B = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = 210 {cm}^{2},$

$h = 30 cm$

$V = \frac{210 \cdot 30}{3} = 2100 {cm}^{3}$

Za istu piramidu odredimo kut koji zatvaraju pobočke prema ravnini baze.

Kako je $ρ$ polumjer upisane kružnice baze, možemo ga odrediti koristeći se formulom za površinu trokuta $B = ρ \cdot s .$ $ρ = \frac{B}{s} = \frac{210}{35} = 6 .$

Primjenom trigonometrije šiljastih kutova na pravokutni trokut $A_{1} V V_{1},$ dobivamo $tg α = \frac{30}{6},$ tj. $α = 78 ° 41' 24'' .$

Izradi vježbu

U prethodnom primjeru sve pobočke su s ravninom baze zatvarale jednake kutove. Tada i visina piramide zatvara jednake kutove s pobočkama piramide. Također možemo zaključiti da se bazi te piramide može upisati kružnica i da je središte te kružnice ujedno i nožište ortogonalne projekcije vrha piramide na ravninu baze. Dokažite!

Uputa: skicirajte na papiru trostranu piramidu i pronađite sukladne trokute određene visinom piramide, visinom pobočke i polumjerom upisane kružnice.

Primjer 3.

Baza trostrane piramide je trokut duljina stranica $17,$ $25$ i $28$ centimetara, a visina piramide iznosi $30$ centimetara. Svi bočni bridovi piramide nagnuti su prema ravnini baze pod istim kutom. Odredimo taj kut.

Upotrebom formule za površinu trokuta $B = \frac{a b c}{4 R}$ možemo odrediti polumjer opisane kružnice

$R = \frac{a b c}{4 B} = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} = \frac{85}{6} cm .$

U pravokutnom trokutu $A V V_{1}$ kut $β$ možemo odrediti s pomoću tangensa $tg β = \frac{30}{\frac{85}{6}} .$

Kut $β = 64 ° 43' 20'' .$

Izradi vježbu

U prethodnom primjeru svi pobočni bridovi s ravninom baze zatvaraju jednake kutove. Tada i visina piramide zatvara jednake kutove s pobočnim bridovima. Također možemo zaključiti da se bazi te piramide može opisati kružnica i da je središte te kružnice ujedno i nožište ortogonalne projekcije vrha piramide na ravninu baze. Dokažite!

Uputa: skicirajte na papiru trostranu piramidu i pronađite sukladne trokute određene visinom piramide, pobočnim bridom i polumjerom opisane kružnice.

Zadatak 3.

Oplošje pravilne četverostrane piramide jednako je $48 {cm}^{2},$ a kut između pobočke i baze je $60 ° .$ Koliki je obujam piramide?

$O = a^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot v_{1}}{2}$

$c o s 60 ° = \frac{\frac{a}{2}}{v_{1}} \Rightarrow v_{1} = a$

$a = 4 cm$

$h = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2 \sqrt{3} cm$

$V = \frac{16 \cdot 2 \sqrt{3}}{3} = \frac{32}{3} \sqrt{3} {cm}^{3}$

Primjer 4.

Odredimo obujam pravilne šesterostrane piramide ako je duljina stranice šesterokuta $4$ centimetra, a visina piramide iznosi $10$ centimetara.

Baza pravilne šesterostrane piramide iznosi $B = 6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 24 \sqrt{3} {cm}^{2},$ pa je obujam $V = \frac{24 \sqrt{3} \cdot 20}{3} = 80 \sqrt{3} {cm}^{3} .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Odredite obujam pravilne šesterostrane piramide ako je duljina stranice šesterokuta $4$ centimetra, a visina piramide iznosi $20$ centimetara.

$B = 6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 24 \sqrt{3} {cm}^{2}$

V = \frac{24 \sqrt{3} \cdot 20}{3} = 160 \sqrt{3} {cm}^{3}

Zadatak 5.

Odredite obujam pravilne šesterostrane piramide ako je duljina stranice šesterokuta $8$ centimetara, a visina piramide iznosi $10$ centimetara.

$B = 6 \cdot \frac{8^{2} \sqrt{3}}{4} = 96 \sqrt{3} {cm}^{2}$

V = \frac{96 \sqrt{3} \cdot 10}{3} = 320 \sqrt{3} {cm}^{3}

Zadatak 6.

Odredite obujam pravilne šesterostrane piramide ako je duljina stranice šesterokuta $8$ centimetara, a visina piramide iznosi $20$ centimetara.

$B = 6 \cdot \frac{8^{2} \sqrt{3}}{4} = 96 \sqrt{3} {cm}^{2}$

V = \frac{24 \sqrt{3} \cdot 20}{3} = 640 \sqrt{3} {cm}^{3}

Zatvori

$a = 4$	$h = 10$	$B = 24 \sqrt{3}$	$V = 80 \sqrt{3}$
$a = 4$	$h = 20$	$B = 24 \sqrt{3}$	$V = 160 \sqrt{3}$
$a = 8$	$h = 10$	$B = 96 \sqrt{3}$	$V = 320 \sqrt{3}$
$a = 8$	$h = 20$	$B = 96 \sqrt{3}$	$V = 640 \sqrt{3}$

Dimenzije piramida

U tablici pogledajte što se događa kad se duljina stranice baze ili visina udvostruče. U drugom retku možemo zaključiti da je za udvostručenu visinu obujam također udvostručen. U trećem retku tablice možemo uočiti da je kod udvostručavanja baze obujam četiri puta veći od početnog. U posljednjem retku udvostručile su se i duljina stranice baze i visina. Obujam je osam puta veći od početnog.

Ako su dva trokuta slična, s koeficijentom sličnosti $k,$ tada se njihove površine odnose kao kvadrati omjera odgovarajućih stranica, $\frac{p}{p_{1}} = k^{2} .$

Ako su dvije piramide slične, s koeficijenotom sličnosti $k,$ tada se njihovi volumeni odnose kao kubovi omjera odgovarajućih stranica, $\frac{V}{V_{1}} = k^{3} .$

Za kraj riješimo jedan zadatak.

...i na kraju

Krov kuće ima oblik uspravne četverostrane piramide visine

6

metara i baze oblika pravokutnika dimenzija

10

puta

20

metara.

Jesu li svi pobočni bridovi nagnuti pod istim kutom u odnosu na ravninu baze? Odredimo kutove pod kojima su pobočni bridovi nagnuti prema ravnini baze.

Jesu li sve pobočke nagnute pod istim kutom u odnosu na ravninu baze? Odredimo kutove pod kojima su pobočke nagnute prema ravnini baze.

Odredimo koliko paketa materijala za pokrivanje krova treba kupiti ako se u jednom paketu nalazi

10 m^{2}

materijala.

Odredimo obujam potkrovlja.

Svi pobočni bridovi nagnuti su pod istim kutom na ravninu baze (pravokutniku se može opisati kružnica). Taj kut možemo odrediti iz pravokutnog trokuta prikazanog na slici.

$\frac{d}{2} = \frac{\sqrt{20^{2} + 10^{2}}}{2} = \frac{10 \sqrt{5}}{2},$

pa je $tg α = \frac{6}{5 \sqrt{5}},$ tj. $α = 28 ° 13' 14'' .$
Sve pobočke nisu pod istim kutom prema ravnini baze (pravokutniku ne možemo opisati kružnicu). Po dvije nasuprotne pobočke zatvaraju jednake kutove. Odredimo koliko iznose ti kutovi.

Kut $β$ možemo odrediti koristeći se tangensom kuta $t g β = \frac{6}{10}$ tj. $β = 30 ° 57' 50'' .$

Kut $γ$ također određujemo koristeći se tangensom $tg γ = \frac{6}{5},$ tj. $γ = 50 ° 11' 40'' .$
Da bismo odredili koliko je paketa materijala potrebno kupiti, izračunajmo površinu plašta. Plašt se sastoji od dva para međusobno sukladnih trokuta. Visine pobočki iznose $v_{1} = \sqrt{10^{2} + 6^{2}} = \sqrt{136} = 2 \sqrt{34} m$ i $v_{2} = \sqrt{5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{61} m .$

Stoga je površina plašta $P = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{34} \cdot 10}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{61} \cdot 20}{2} = 272.82 m^{2} .$ Kako se u jednom paketu nalazi $10 m^{2}$ materijala, potrebno je $28$ paketa.
Obujam krova jednak je $V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{10 \cdot 20 \cdot 6}{3} = 400 m^{3} .$

9.7 Obujam piramide

Na početku...

Povezani sadržaji

Obujam piramide

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Izradi vježbu

Izradi vježbu

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

...i na kraju

9.8 Krnje piramide