7.1 Eksponencijalne jednadžbe

Riješimo zadatak

Pokušajmo najprije odgovoriti na drugo pitanje. Uvrstimo $d=2$ u modeliranu funkciju broja pogleda i dobijemo $P\left(2\right)=4^{1.25·2}=4^{2.5}=4^{\frac{5}{2}}=\sqrt{4^5}={\left(\sqrt{4}\right)}^5=2^5=32.$

Za ovaj dio zadatka bilo je dovoljno poznavanje računa s potencijama.

Dakle, nakon $2$ dana Antonijev video je pogledan $32$ puta.

Sada uvrstimo za $P=1024.$ Dobijemo jednadžbu s jednom nepoznanicom $1024=4^{1.25d}.$ Nepoznanica nam je u eksponentu. Kako riješiti takvu jednadžbu?

Je li to jedini oblik eksponencijalne jednadžbe?

Jednadžbu u kojoj je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Zadatak 1.

Ponovimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Riješimo zadatak do kraja.

Eksponencijalni oblik $1024=4^{1.25d}$ zapišimo u logaritamskom obliku $1.25d={\log }_{4}1024/:1.25\Rightarrow d=\frac{{\log }_4{4}^5}{1.25}=\frac{5}{1.25}=4.$

Video je pogledan $1024$ puta u $4$ dana.

Jednadžbu smo riješili primjenom inverznosti.

Primjena inverznosti kod eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 1.

Riješimo jednadžbe:

1. ${10}^{x-2}=5$
2. $5·2^{3t}=320$
3. $4·3^y=20$

1. U ovom zadatku je baza $a=10.$ Prikažimo jednadžbu pripadajućim inverzom, dekadskim logaritmom i s pomoću džepnog računala izračunajmo $x.$

   $\begin{array}{l}x-2=\log 5\Rightarrow x=\log 5+2\approx 2.7\end{array}$

2. Da bismo ovaj zadatak sveli na poznati eksponencijalni oblik $a^x=y\Rightarrow {\log }_{a}y=x$ (čijim logaritmiranjem dobijemo nepoznanicu iz eksponenta), moramo jednadžbu podijeliti s $5.$

   $\begin{array}{l}{2}^{3t}=\frac{320}{5}=64\Rightarrow 3t={\log }_{2}64={\log }_2{2}^6=6·{\log }_{2}2=6/:3\Rightarrow t=2\end{array}$

   Koja pravila logaritma smo ovdje primijenili?

3. Kao i u 2. primjeru, podijelimo s $4$ te primjenom inverznosti dobivamo rješenje.

   $\begin{array}{l}{3}^y=5\Rightarrow y={\log }_{3}5=\frac{\log 5}{\log 3}\approx 1.465\end{array}$

   Koje pravilo logaritma smo ovdje primijenili?
   

Za rješavanje primjera potrebno je bilo znati izračunati logaritme s pomoću džepnog računala.

Ponovite pravila kojima smo se koristili da bismo riješili primjer.

${\log }_a{x}^r=r{\log }_{a}x$

${\log }_{a}a=1$

${\log }_{a}b=\frac{\log b}{\log a}$

Eksponencijalne jednadžbe oblika $a·b^{f\left(x\right)}=c,$ gdje je $b>0,b\ne 1,$ te su $a$ i $c$ istog predznaka, rješavamo uporabom svojstva inverznosti, tj. pretvaranjem u logaritamski oblik.

$\begin{array}{l}a·b^{f\left(x\right)}=c/:a\Rightarrow b^{f\left(x\right)}=\frac{c}{a}\Rightarrow f\left(x\right)={\log }_b\frac{c}{a}\end{array}$

Zadatak 2.

Riješite jednadžbe.

Zanimljivost

Najraniji zapisi matematičkih problema potječu iz drevnog Egipta i pisani su na papirusu, između 1850. i 1600. g. pr. Kr. Dva najpoznatija matematička papirusa su Ahmesov ili Rhindov i Moskovski papirus. Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je svitak duljine $6\mathrm{m},$ širine $30\mathrm{cm}.$ Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650. g. pr. Kr. i vjerojatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star $200$ godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu. Sadrži $87$ matematičkih problema.

Kutak za znatiželjne

Jedan od posljednjih problema Rhindovog papirusa glasi: "U jednom selu bilo je $7$ kuća; svaka od njih je imala $7$ mačaka; svaka mačka uhvati po $7$ miševa; svaki miš (da nije bilo mačaka) pojeo bi $7$ zrna pšenice, a svako posijano zrno pšenice daje $7$ mjerica žita. Koliko je mjerica žita spašeno zbog prisutnosti mačaka?"

Egipćani nisu poznavali notaciju eksponenta kao mi danas, ali su im bili bliski problemi eksponencijalnog rasta. Zapisi na papirusu koristili su se, između ostalog, za rješavanje preraspodjele hrane po gradovima.

Projekt

Istražite, pogotovo ljubitelji povijesti, uz pomoć predmetnih nastavnika iz matematike, povijesti i umjetnosti, što je to papirus. Kakvo povijesno značenje ima? Postoje li još neki matematički papirusi osim Rhindovog i Moskovskog papirusa? Što sadrže ti papirusi, gdje i kako su nastali te tko ih je otkrio? Koliko se matematika razvila u jednoj od najnaprednijih i najstarijih civilizacija, staroegipatskoj? Kako su računali stari Egipćani?

Svoja saznanja prezentirajte učenicima i nastavnicima u školi.

Zadatak 3.

Riješite eksponencijalnu jednadžbu ​ $3^{2x-1}=27.$

Jesmo li ovaj zadatak mogli riješiti na drugi način?

Uočimo da se desna strana jednakosti može napisati kao potencija broja $3.$

​ $3^{2x-1}=3^3$

Na obje strane jednakosti imamo potenciju iste baze.

Prisjetimo se svojstva injektivnosti: $a^x=a^y\Rightarrow x=y.$

Dakle, izjednačimo eksponente i dobijemo traženo rješenje.

$2x-1=3\Rightarrow x=2$

Primjena injektivnosti kod eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 2.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu ​ $4^{2x^2+2x}=8.$

Kad bismo primijenili svojstvo inverznosti, dobili bismo kvadratnu jednadžbu s logaritmom $\left(2x^2+2x={\log }_{4}8\right).$ ​Pokušajte je riješiti sami primjenom temeljnog svojstva logaritma.

Uočimo da su baze, na obje strane jednadžbe, potencije broja $2.$

${\left(2^2\right)}^{2x^2+2x}=2^3\Rightarrow 2^{2\left(2x^2+2x\right)}=2^3$

Sad možemo primijeniti svojstvo injektivnosti te izjednačiti eksponente.

$4x^2+4x=3\Rightarrow 4x^2+4x-3=0$

Riješimo kvadratnu jednadžbu prema formuli za rješenja.

$a=4, b=4, c=-3$  i $x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4·4·\left(-3\right)}}{2·4}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm 8}{8}$

$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{2}$ 

Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na jednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstva injektivnosti, tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.

$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right),a>0,a\ne 1$

Primjer 3.

Riješimo eksponencijalne jednadžbe.

1. ${12}^{7x+5}=1$
2. ${0.5}^{x-3}-\sqrt{32}=0$
3. $2^{4x-5}·{32}^{x+1}=2^{6x-7}$

1. Iskoristimo svojstvo potencije $a^0=1,a>0$ te $1$ prikažimo kao potenciju broja $12$ pa izjednačimo eksponente.

   ${12}^{7x+5}={12}^0\Rightarrow 7x+5=0\Rightarrow x=-\frac{5}{7}$

2. Radili smo pravila potenciranja (prisjetite se). Neka od njih primijenit ćemo u ovom zadatku. Prebacimo korijen na desnu stranu te prikažimo sve kao potenciju broja $2.$

   ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-3}=2^{\frac{5}{2}}\Rightarrow 2^{-x+3}=2^{\frac{5}{2}}$

   $-x+3=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

3. Prikažimo sve potencije s bazom $2$ te primijenimo pravilo umnoška potencija.

   $2^{4x-5}·2^{5\left(x+1\right)}=2^{6x-7}\Rightarrow 2^{4x-5+5x+5}=2^{6x-7}$

   $9x=6x-7\Rightarrow x=-\frac{7}{3}$

Zadatak 4.

Riješite eksponencijalne jednadžbe primjenom injektivnosti.

Primjer 4.

Riješimo jednadžbu $4^x-3^{x-2}=5·3^{x-1}+4^{x-1}.$

Presložimo na jednu stranu potencije iste baze.

$4^x-4^{x-1}=5·3^{x-1}+3^{x-2}$

Izlučimo zajednički faktor (odaberimo iste eksponente za obje baze).

$4^{x-1}\left(4-1\right)=3^{x-1}\left(5+3^{-1}\right)$

Kad imamo dvije baze koje ne možemo svesti na jednu, nova baza nam je kvocijent zadanih dviju (s istim eksponentom).

Stoga podijelimo jednadžbu s $3^{x-1}$ i sredimo je tako da nepoznanica ostane na jednoj strani.

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{x-1}=\frac{5+3^{-1}}{3}$

Nakon sređivanja desne strane imamo

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{x-1}=\frac{16}{9}\Rightarrow {\left(\frac{4}{3}\right)}^{x-1}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2\Rightarrow x-1=2\Rightarrow x=3.$

Kutak za znatiželjne

Pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe u kojima je i u bazi nepoznanica.

Riješimo jednadžbu ${\left(x-1\right)}^{x^2+x-2}={\left(x-1\right)}^{2x+4}.$

Općenito, rješavanje jednadžbi oblika ${\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}={\left(f\left(x\right)\right)}^{h\left(x\right)},$ gdje su $f,g\mathrm{i}h$ neke algebarske funkcije, svodi se na četiri slučaja. Označimo s $x_0$ rješenje jednadžbe.

1. $f\left(x\right)=0$ Ako je $x_0$ rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet: $g\left(x_0\right)>0,h\left(x_0\right)>0.$
2. $f\left(x\right)=1$ Ako je $x_0$ rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da su $g\mathrm{i}h$ definirane za $x_0.$
3. $f\left(x\right)=-1$ Ako je $x_0$ rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da su $g\left(x_0\right)\mathrm{i}h\left(x_0\right)$ cijeli brojevi jednake parnosti ili razlomci kojima je nazivnik neparan.
4. $g\left(x\right)\mathrm{=}h\left(x\right)$ Ako je $x_0$ rješenje ove jednadžbe, tada je i rješenje početne jednadžbe, uz uvjet da za $x_0$ početna jednadžba ima smisla.

U zadatku imamo $f\left(x\right)=x-1,$ $g\left(x\right)=x^2+x-2$ i $h\left(x\right)=2x+4.$

a. $x-1=0\Rightarrow x=1,$ ali zbog ​ $g\left(1\right)=1^2+1-2=0,$ $1$ nije rješenje.

b. ​ $x-1=1\Rightarrow x=2,$ to jest rješenje, jer su kvadratna i linearna funkcija definirane za sve realne brojeve pa tako i za $2.$

c. ​ $x-1=-1\Rightarrow x=0,$ brojevi $g\left(0\right)=0+0-2=-2\mathrm{i}h\left(0\right)=0+4=4$ su iste parnosti, pa $0$ jest rješenje početne jednadžbe.

d. Izjednačimo eksponente i dobijemo $x^2+x-2=2x+4\Rightarrow x^2-x-6=0.$ Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su $3$ i $-2.$

Dakle, $x_1=-2,x_2=0,x_3=2,x_4=3.$

Pokušajte sami riješiti sljedeći zadatak: ${\left(x^2-x-1\right)}^{x^2-1}=1.$

Kako je $h\left(x\right)=0,$ zadatak se svodi na rješavanje tri slučaja (bez prvog), s uvjetima kako su prethodno navedeni.

1. $f\left(x\right)=1$
   
2. $f\left(x\right)=-1$
   
3. $g\left(x\right)\mathrm{=}0$
   

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi supstitucijom

Primjer 5.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu $3^{2x}-2·3^x-8=0.$

Primijenimo pravilo potenciranja potencije i zapišimo potenciju $3^{2x}={\left(3^x\right)}^2$ Supstitucijom $3^x=y$ početna eksponencijalna jednadžba prelazi u kvadratnu jednadžbu. Riješimo je.

$y^2-2y-8=0\Rightarrow y_{\mathrm{1,2}}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}$

$y_1=4,y_2=-2$

Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju. Dobijemo dvije eksponencijalne jednadžbe.

$3^x=4\Rightarrow x={\log }_{3}4=\frac{\log 4}{\log 3}\approx 1.262$

Jednadžba $3^x=-2$ nema realna rješenja (potencija ne može biti negativan broj, odnosno pripadajući logaritam nije definiran za negativne brojeve).

Dakle, jednadžba ima samo jedno rješenje: $x={\log }_{3}4.$

Eksponencijalnu jednadžbu oblika $A·a^{2x}+B·a^x+C=0,a>0,a\ne 1,A,B,C\in \mathbb{R},A\ne 0$ rješavamo supstitucijom $a^x=y,$ tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika $A·y^2+B·y+C=0.$

Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije eksponencijalne jednadžbe.
Pazite! Ako je rješenje kvadratne jednadžbe $y_0<0,$ pripadajuća eksponencijalna jednadžba $a^x=y_0$ nema rješenja.

Zadatak 10.

Riješite sustav jednadžbi.

$3^x+4^y=265$

$3^x·4^y=2304$