Processing math: 100%
x
Učitavanje

10.3 Krnji stožac

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Stolna lampica sa sjenilom oblika krnjeg stošca.
Izvor: Pixabay.com

Ivana je dobila noćnu svjetiljku. Visina sjenila za svjetiljku jednaka je promjeru donjeg kruga i iznosi 16cm. Promjer donjeg kruga je dvostruko veći od promjera gornjeg kruga.

Međutim, Ivani se ne sviđa boja. Htjela bi promijeniti crveno sjenilo. Koliko materijala mora kupiti da bi obložila postojeću svjetiljku novim sjenilom?

Pomognimo Ivani izračunati površinu sjenila. Kakvog je oblika sjenilo za noćnu svjetiljku? Podsjeća na stožac, ali nedostaje vrh. Istražimo najprije novo geometrijsko tijelo, stožac kojem nedostaje vrh krnji stožac.

Pogledajte u maloj galeriji slika gdje se može pronaći krnji stožac. Znadete li još neki primjer?

Primjeri predmeta u stvarnom životu oblika krnjeg stošca.

Pojam i elementi uspravnoga krnjeg stošca

Pogledajte sljedeću animaciju presjeka stošca ravninom usporednom s ravninom baze.

Nastajanje krnjeg stošca

Krnji stožac je geometrijsko tijelo koje nastaje presjecanjem stošca ravninom usporednom s ravninom osnovke i odbacivanjem manjeg stošca.

Elementi krnjeg stošca

Uspravni krnji stožac je dio ravnine omeđen dvjema

 
i
 
.  Bazu čine dva
 
, a plašt je
 
. Udaljenost između dviju baza je
 
 krnjeg stošca.

 dio kružnog vijenca
kruga
 bazama
visina
plaštom

null
null

Koji geometrijski lik dobijemo kao presjek krnjeg stošca s ravninom koja prolazi promjerima baza okomito na ravninu osnovke?  

null
null

Ako je krnji stožac uspravan, tada govorimo o karakterističnom presjeku krnjeg stošca koji je okomit na baze.

Koji je geometrijski lik karakterističan presjek krnjeg stošca?

null

 

Zadatak 1.

Uočite na slici trokute: ASvV i BSmV.

Razmislite i odgovorite na sljedeća pitanja.

Dopunjena krnja piramida s istaknutim sličnim trokutima

  1. Trokuti ASvV i BSmV su:

    null
    null
  2. Trokuti su slični jer:

    Pomoć:

    O kojem je poučku sličnosti riječ ako imamo pravokutni trokut i usporedne stranice trokuta?

    null
  3. S obzirom na to da su trokuti slični, njihove su stranice proporcionalne. Čemu je jednak omjer polumjera, rv:rm?

    null

Mreža uspravnog krnjeg stošca

Mreža krnjeg stošca

Mreža uspravnog krnjeg stošca sastoji se od

 
dijela:
 
kruga i dijela
 
.
Krug polumjera rv je
 
s površinom
 
.

Krug polumjera rm je
 
 s površinom
 
.
Površina dijela kružnog vijenca dobije se
 
površine kružnog isječka manjeg stošca
 
od površine kružnog isječka većeg stošca
 
.

donja baza
dva
rmπsm
tri
Bv=rv2π 
Bm=rm2π  ​
kružnog vijenca
rvπ(s+sm) 
gornja baza
oduzimanjem

 

null

Oplošje krnjeg stošca

Oplošje krnjeg stošca dobijemo zbrajanjem svih površina koje ga omeđuju.

O=Bv+Bm+P 

Kutak za znatiželjne

Izvedite formulu za oplošje krnjeg stošca koristeći se oznakama s pomoću kojih smo definirali mrežu krnjeg stošca.

Uputa: Uočite na slici još jedan par sličnih trokuta: ACBBSmV, te primijenite proporciju tako da se iz formule „riješite” veličine koja ne pripada krnjem stošcu, sm.

O=Bv+Bm+P=rv2π+rm2π+rvπ(s+sm)-rmπsm

O=rv2π+rm2π+rvπs+πsm(rv-rm)

Uvrstimo sm iz proporcije sm:s=rm:(rv-rm).

O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm)


Oplošje uspravnoga krnjeg stošca s polumjerima baza rvirm te izvodnicom s dano je formulom: O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm).

Zadatak 2.

Izračunajte oplošje uspravnoga krnjeg stošca kojemu su polumjeri baza 6cmi2cm.

Visina je za 1cm manja od promjera gornje baze.

Skica krnjeg stošca s istaknutim trokutom za računanje izvodnice.

h=3s=5  ​

O=80πcm2 


Obujam krnjeg stošca

Obujam krnjeg stošca možemo dobiti oduzimanjem obujma manjeg stošca (dopunjka) od obujma cijelog stošca.

V=Vv-Vm=13Bv·(h+hm)-13Bm·hm

Iz proporcije koju dobijemo iz sličnih trokuta moramo prikazati hm s pomoću elemenata krnjeg stošca.

Međutim, formulu lakše i brže možemo dokazati koristeći se Cavalierijevim principom ako znamo obujam krnje piramide kojoj su jednake površine baza te visina jednaka kao i kod krnjeg stošca. Na slici vidite primjer s jednakim površinama baza i jednakim visinama.

Obujam krnje piramide je V=13h(Bv+BvBm+Bm).

Uvrstimo formule za površinu kruga (Bv=rv2πiBm=rm2π) i dobijemo formulu za obujam krnjeg stošca.

Usporedba krnje piramide i krnjeg stošca, Cavalieriv princip, jednaki volumeni.

Obujam krnjeg stošca s polumjerima baza rvirm te visinom h  dan je formulom V=hπ3(rv2+rvrm+rm2).

Zadatak 3.

Odredite obujam krnjeg stošca (i krnje piramide) sa zadanim elementima kao na gornjoj slici. Izračunajte polumjere donje i gornje baze te oplošje uspravnoga krnjeg stošca. Imamo li dovoljno podataka za izračun oplošja pravilne šesterostrane krnje piramide? Izračunajte.

Skica krnjeg stošca s istaknutim trokutom sa izvodnicom.

V=13h(Bv+BvBm+Bm)=23(8.5+18.0625+2.125)=9.9

rv=1.6,rm=0.8

Na slici je istaknut trokut iz kojeg možemo izračunati izvodnicu.

s=2.15

Iskoristimo zadane površine baza za oplošje: O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm)=8.5+2.125+2.15π·2.4=26.8.

Krnjoj piramidi možemo izračunati duljinu osnovnog brida donje i gornje baze s pomoću formule: B=6·a234. Izračunajmo stranicu donje baze te uočimo omjere sličnih trokuta. Prisjetimo se čemu je jednak omjer površina baza. Iskoristimo to i izračunajmo preostale elemente krnje piramide.

av=1.81

BvBm=(avam)2am2=0.82am=0.905

O=Bv+Bm+6·av+am2·h=26.9


Kutak za znatiželjne

Dokažite formulu za obujam krnjeg stošca oduzimanjem manjeg od većeg obujma stošca. Nastavite dokaz:

V=Vv-Vm=13Bv·(h+hm)-13Bm·hm.

Uputa: primijenite proporciju sličnih trokuta da biste se u izrazu riješili veličine hm.

Puni stožac s pripadajućim oznakama sličnih trokuta.

ASvVBSmVrv:rm=(h+hm):hm

hm=h·rmrv-rmh+hm=h·rvrv-rm

V=Vv-Vm=13rv2π·h·rvrv-rm-13rm2π·h·rmrv-rm=hπ3·rv3-rm3rv-rm

Uvršavanjem formule za razliku kubova te kraćenjem dobivamo traženu formulu.


Računajmo s krnjim stošcem

Zadatak 4.

Izračunajte oplošje i obujam uspravnoga krnjeg stošca ako mu je visina 4cm, izvodnica 5cm i površina plašta 85πcm2.

Iz sustava jednadžbi za površinu plašta i Pitagorina poučka dobijemo polumjere.

P=(rv+rm)sπ(rv-rm)2=s2-h2}rv=10cm,rm=7cm

O=234πcm2,V=292πcm3


Zadatak 5.

Izračunajte obujam uspravnoga krnjeg stošca u kojem je rv=2rm,P=Bv+Bm, a površina osnog presjeka 36m2.

V=84πcm3  ​


U sljedećoj su interakciji prikazani uspravni krnji stožac i njegov dopunjak. Pomicanjem triju crvenih točaka možete mijenjati polumjer donje baze, visinu krnjeg stošca te visinu cijelog stošca.

Poigrajte se i istražite kako tražene veličine ovise o zadanim elementima.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

Izračunajte obujam kosoga krnjeg stošca s polumjerima 10cmi3cm. Najveća izvodnica iznosi 15cm, a najmanja 13cm.

Uputa: Iz trapeza se dobije trokut s poznatim stranicama. Visinu možete dobiti metodom površina. Izjednačite Heronovu formulu s formulom za površinu s pomoću stranice i pripadajuće visine.

h=12cm,V=556πcm3  ​


...i na kraju

Pogledajmo konačno koliko Ivani treba platna za svjetiljku.

h=16cm,rv=8cm,rm=4cm

Izračunajte duljinu izvodnice te uvrstite u formulu za oplošje.

Rješenje provjerite s pomoću prethodne interakcije.

s=16.5cm,O873cm2  ​

Idemo na sljedeću jedinicu

10.4 Kugla