Ivana je dobila noćnu svjetiljku. Visina sjenila za svjetiljku jednaka je promjeru donjeg kruga i iznosi
16cm. Promjer donjeg kruga je dvostruko veći od promjera gornjeg kruga.
Međutim, Ivani se ne sviđa boja. Htjela bi promijeniti crveno sjenilo. Koliko materijala mora kupiti da bi obložila postojeću svjetiljku novim sjenilom?
Pomognimo Ivani izračunati površinu sjenila. Kakvog je oblika sjenilo za noćnu svjetiljku? Podsjeća na stožac, ali nedostaje vrh. Istražimo najprije novo geometrijsko tijelo, stožac kojem nedostaje vrh – krnji stožac.
Pogledajte u maloj galeriji slika gdje se može pronaći krnji stožac. Znadete li još neki primjer?
Pogledajte sljedeću animaciju presjeka stošca ravninom usporednom s ravninom baze.
Krnji stožac je geometrijsko tijelo koje nastaje presjecanjem stošca ravninom usporednom s ravninom osnovke i odbacivanjem manjeg stošca.
Uspravni krnji stožac je dio ravnine omeđen dvjema
Koji geometrijski lik dobijemo kao presjek krnjeg stošca s ravninom koja prolazi promjerima baza okomito na ravninu osnovke?
Ako je krnji stožac uspravan, tada govorimo o karakterističnom presjeku krnjeg stošca koji je okomit na baze.
Koji je geometrijski lik karakterističan presjek krnjeg stošca?
Uočite na slici trokute: △ASvV i △BSmV.
Razmislite i odgovorite na sljedeća pitanja.
Trokuti
△ASvV i
△BSmV su:
Trokuti su slični jer:
Pomoć:
O kojem je poučku sličnosti riječ ako imamo pravokutni trokut i usporedne stranice trokuta?
S obzirom na to da su trokuti slični, njihove su stranice proporcionalne. Čemu je jednak omjer polumjera,
rv:rm?
Mreža uspravnog krnjeg stošca sastoji se od
Oplošje krnjeg stošca dobijemo zbrajanjem svih površina koje ga omeđuju.
O=Bv+Bm+P
Izvedite formulu za oplošje krnjeg stošca koristeći se oznakama s pomoću kojih smo definirali mrežu krnjeg stošca.
Uputa: Uočite na slici još jedan par sličnih trokuta: △ACB∼△BSmV, te primijenite proporciju tako da se iz formule „riješite” veličine koja ne pripada krnjem stošcu, sm.
O=Bv+Bm+P=rv2π+rm2π+rvπ(s+sm)-rmπsm
O=rv2π+rm2π+rvπs+πsm(rv-rm)
Uvrstimo sm iz proporcije sm:s=rm:(rv-rm).
O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm)
Oplošje uspravnoga krnjeg stošca s polumjerima baza rvirm te izvodnicom s dano je formulom: O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm).
Izračunajte oplošje uspravnoga krnjeg stošca kojemu su polumjeri baza 6cmi2cm.
Visina je za 1cm manja od promjera gornje baze.
h=3⇒s=5
O=80πcm2
Obujam krnjeg stošca možemo dobiti oduzimanjem obujma manjeg stošca (dopunjka) od obujma cijelog stošca.
V=Vv-Vm=13Bv·(h+hm)-13Bm·hm
Iz proporcije koju dobijemo iz sličnih trokuta moramo prikazati
hm s pomoću elemenata krnjeg stošca.
Međutim, formulu lakše i brže možemo dokazati koristeći se Cavalierijevim principom ako znamo obujam krnje piramide kojoj su jednake površine baza te visina jednaka kao i kod krnjeg stošca. Na slici vidite primjer s jednakim površinama baza i jednakim visinama.
Obujam krnje piramide je V=13h(Bv+√BvBm+Bm).
Uvrstimo formule za površinu kruga
(Bv=rv2πiBm=rm2π) i dobijemo formulu za obujam krnjeg stošca.
Obujam krnjeg stošca s polumjerima baza rvirm te visinom h dan je formulom V=hπ3(rv2+rvrm+rm2).
Odredite obujam krnjeg stošca (i krnje piramide) sa zadanim elementima kao na gornjoj slici. Izračunajte polumjere donje i gornje baze te oplošje uspravnoga krnjeg stošca. Imamo li dovoljno podataka za izračun oplošja pravilne šesterostrane krnje piramide? Izračunajte.
V=13h(Bv+√BvBm+Bm)=23(8.5+√18.0625+2.125)=9.9
rv=1.6,rm=0.8
Na slici je istaknut trokut iz kojeg možemo izračunati izvodnicu.
s=2.15
Iskoristimo zadane površine baza za oplošje: O=rv2π+rm2π+sπ(rv+rm)=8.5+2.125+2.15π·2.4=26.8.
Krnjoj piramidi možemo izračunati duljinu osnovnog brida donje i gornje baze s pomoću formule:
B=6·a2√34. Izračunajmo stranicu donje baze te uočimo omjere sličnih trokuta. Prisjetimo se čemu je jednak omjer površina baza. Iskoristimo to i izračunajmo preostale elemente krnje piramide.
av=1.81
BvBm=(avam)2⇒am2=0.82⇒am=0.905
O=Bv+Bm+6·av+am2·h=26.9
Dokažite formulu za obujam krnjeg stošca oduzimanjem manjeg od većeg obujma stošca. Nastavite dokaz:
V=Vv-Vm=13Bv·(h+hm)-13Bm·hm.
Uputa: primijenite proporciju sličnih trokuta da biste se u izrazu riješili veličine hm.
△ASvV∼△BSmV⇒rv:rm=(h+hm):hm
hm=h·rmrv-rm⇒h+hm=h·rvrv-rm
V=Vv-Vm=13rv2π·h·rvrv-rm-13rm2π·h·rmrv-rm=hπ3·rv3-rm3rv-rm
Uvršavanjem formule za razliku kubova te kraćenjem dobivamo traženu formulu.
Izračunajte oplošje i obujam uspravnoga krnjeg stošca ako mu je visina
4cm, izvodnica
5cm i površina plašta
85πcm2.
Iz sustava jednadžbi za površinu plašta i Pitagorina poučka dobijemo polumjere.
P=(rv+rm)sπ(rv-rm)2=s2-h2}rv=10cm,rm=7cm
O=234πcm2,V=292πcm3
Izračunajte obujam uspravnoga krnjeg stošca u kojem je
rv=2rm,P=Bv+Bm, a površina osnog presjeka
36m2.
V=84πcm3
U sljedećoj su interakciji prikazani uspravni krnji stožac i njegov dopunjak. Pomicanjem triju crvenih točaka možete mijenjati polumjer donje baze, visinu krnjeg stošca te visinu cijelog stošca.
Poigrajte se i istražite kako tražene veličine ovise o zadanim elementima.
Izračunajte obujam kosoga krnjeg stošca s polumjerima 10cmi3cm. Najveća izvodnica iznosi 15cm, a najmanja 13cm.
Uputa: Iz trapeza se dobije trokut s poznatim stranicama. Visinu možete dobiti metodom površina. Izjednačite Heronovu formulu s formulom za površinu s pomoću stranice i pripadajuće visine.
h=12cm,V=556πcm3
Pogledajmo konačno koliko Ivani treba platna za svjetiljku.
h=16cm,rv=8cm,rm=4cm
Izračunajte duljinu izvodnice te uvrstite u formulu za oplošje.
Rješenje provjerite s pomoću prethodne interakcije.
s=16.5cm,O≈873cm2