Prodaja videoigrice objavljene 2005. godine naglo je krenula, ali kako je vrijeme odmicalo, prodaja se smanjivala. Na slici je prikazan broj prodanih igrica u milijunima od 2005., kad je izišla na tržište, pa do 2015. godine. Na osi
x je prva godina, 2005., u točki
(1,0), a 2015. u točki
(11,0). Funkcija,
f(x)=141.9+10.5lnx je modelirana s pomoću GeoGebre na temelju ovih 11 podataka, naredbom PrilagodbaLogaritamska(<lista točaka>). Podaci su zaokruženi na jednu decimalu.
Tvrtka koja je izdala igricu planirala je poboljšati je nakon prodanih 170 milijuna primjeraka. Možemo li pretpostaviti kad će to biti, ako se trend prodaje nastavi ovom brzinom?
Uvrštavanjem u
f(x)=170 dobijemo
170=141.9+10.5lnx⇒10.5lnx=28.1/:10.5⇒lnx=2.676.
Problem smo sveli na rješavanje jednadžbe u kojoj je nepoznanica unutar logaritma. S takvim logaritamskim oblikom upoznali ste se u 6. modulu Logaritamske funkcije. Prateći analogiju s eksponencijalnim jednadžbama ovaj zadatak možemo svesti na eksponencijalni oblik, pa nam je rješenje
x=e2.676≈14.5.
Novu verziju igrice možemo očekivati u drugoj polovici 2018. godine.
Zanimljivost
Kad se radi s podacima koji u početku naglo rastu, a zatim se rast brzo smanjuje, obično se za modeliranje koristi logaritamska funkcija oblika f(x)=a+blnx.
Ako se radi o podacima s financijskog tržišta, kao što je prodaja igrica iz našeg uvoda,
u ekonomiji
se kaže da su prinosi opadajući.
Ponovimo logaritme
Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik
logax=b, gdje je
x nepoznanica.
Zadatak 1.
Ponovimo neka pravila logaritma koja će nam pomoći pri rješavanju logaritamskih jednadžbi.
Čemu su jednaki sljedeći logaritmi, definirani za bazu a>0,a≠1 te argument x∈R+?
logaa
1
logex
logx
loga1
x
log10x
0
logaax
lnx
null
null
Povežite pravila logaritmiranja za baze a,b>0,a,b≠1.
logax,x∈R+
logax+logay
Za x,y∈R+,logaxy
logax-logay
Za x,y∈R+,loga(x·y)
logbxlogba
logab
1logba
Za x,y∈R+,logaxy
ylogax
null
null
Povežite dane tvrdnje sa svojstvima logaritama za danu bazu a>0,a≠1.
logay=x⇔ax=y
logax=logay⇒x=y
null
null
Za koje realne brojeve xjednadžba y=logax ima rješenja?
Ovisi li rješenje ove logaritamske jednadžbe o bazi?
null
Koje je rješenje logaritamske jednadžbe ln(x-3)+ln(x-2)=ln(2x+24)?
null
Povežite rješenja s pripadajućim logaritamskim jednadžbama.
logx+log(x-1)=1-log5
log√x-5+log√2x-3+1=log30
log3(x-2)=log3(3x+2)+1
log2(x2-6x)=3+log2(1-x)
Pomoć:
Kako dobiti logaritam uz realni broj?
Npr. 4-logx=4log10-logx=log104-logx=log104x
null
Metoda supstitucije ili svođenje na algebarsku jednadžbu
Primjer 5.
Riješimo jednadžbu
4-logx=3√logx.
Najprije ispitajmo kad je ova jednadžba definirana.
Kako pod korijenom mora biti pozitivan broj, imamo
logx>0. Vrijednost funkcije korijena uvijek je pozitivna, pa i lijeva strana jednakosti mora biti pozitivna, imamo
4-logx>0⇒logx<4. Ove logaritamske nejednadžbe nećemo rješavati do kraja (time ćete se baviti u sljedećim jedinicama). Provjerit ćemo samo
zadovoljava
li vrijednost logaritma dobivenog rješenja ove uvjete.
Jednadžbu u ovom obliku ne možemo riješiti niti inverzijom niti injektivnošću. Pokušajmo supstitucijom (kako smo to radili i s eksponencijalnim jednadžbama).
logx=t⇒4-t=3√t
Zadatak svodimo na rješavanje iracionalne jednadžbe. Prisjetimo se kako se rješavaju takve jednadžbe. Kad nam je korijen sam na jednoj strani, kvadriramo cijelu jednadžbu.
4-t=3√t/216-8t+t2=9tt2-17t+16=0
Rješenja ove kvadratne jednadžbe su
t1=1,t2=16. Međutim, uvrštavanjem ovih rješenja u početnu iracionalnu jednadžbu vidimo da 16 ne zadovoljava jednakost. Stoga je jedino moguće rješenje 1, odnosno vrijedi
logx=1
(što zadovoljava i početni uvjet zadatka).
Katkad je do rješenja nekih jednadžbi
lakše doći grafičkim putem. Grafička metoda nam može pomoći u provjeri točnosti rješenja.
Primjer 6.
Riješimo jednadžbu
log4x=x-2.
Uočimo da na lijevoj strani imamo logaritamsku jednadžbu
y=log4x, a na desnoj pravac
y=x-2. Nacrtajmo oba grafa u istom koordinatnom sustavu. U točki presjeka pročitamo rješenja jednadžbe.
II) Riješimo zadatak s pomoću programa dinamične geometrije.
Upotrijebit ćemo ponuđeni predložak u nastavku. U polje za unos upišimo ove dvije jednadžbe:
y=2+log4xiy=log4(x+15). Koristimo se naredbom Sjecište da bismo dobili zajedničku točku ovih krivulja.
Dobijemo rješenje kao na slici,
x=1.
Grafički smo provjerili i potvrdili dobiveno rješenje.
Zadatak 8.
Riješite logaritamske jednadžbe. Koristeći se predloškom dinamične geometrije provjerite dobivena rješenja.
log3(3x-8)=2-x
log2(x-1)2=9+log12(x-1)
log3(4·3x-1)=2x+1
x=2
x=9
x1=0,x2=-1
Sustavi logaritamskih jednadžbi
Primjer 8.
Riješimo sustav jednadžbi.
{log2x+log41y=3x2+16y2=17
Kako nam je logaritam definiran za pozitivne brojeve, ispišimo najprije uvjete na nepoznanice
xiy.
x>0
1y>0⇒y>0
Za rješavanje ovog zadatka primijenit ćemo još jedno pravilo logaritma:
loganx=1nlogax,x,a>0,a≠1,n≠0.
Pokušajte sada sami riješiti ovaj primjer.
Rješenje je uređeni par
(x,y)=(4,14).
Ako niste uspjeli dobiti rješenje, pogledajte sljedeći video, u kojem se opisuje postupak rješavanja.
Kutak za znatiželjne
Dokažite formulu koja se primjenjuje u prethodnom primjeru.
Tvrdnja:
loganx=1nlogax,x,a>0,a≠1,n≠0.
Dokaz:
Za dokaz primijenite pravilo promjene baze
logax=logbxlogba, tako da umjesto
a uvrstite
an i umjesto
b stavite
a.
Zadatak 9.
Riješite sustave jednadžbi i rješenja provjerite s pomoću predloška dinamične geometrije.
{logx+logy=3logx-logy=1
{logx+logy=2x-y=21
{x+logy=33x+logy2=8
{log2(x-y)=23x-2·2y=324
Uputa: riješite zadatak metodom suprotnih koeficijenata. Rješenje je (100,10).
Uputa: koristite se svojstvom umnoška logaritma. Dobije se sustav linearne i kvadratne jednadžbe koji ima dva rješenja. Samo jedno zadovoljava početnu logaritamsku jednadžbu. Zašto? Rješenje je
(25,4).
Uputa: primijenite pravilo prebacivanja eksponenta ispred logaritma. Rješenje je
(2,10).
Uputa: najprije se riješite logaritma primjenom inverznosti, a zatim metodom supstitucije (prikažite jednu nepoznanicu s pomoću druge) riješite zadatak do kraja. Rješenje je
(6,2).
Kutak za znatiželjne
Riješimo jednadžbu
5logx-3logx-1=3logx+1-5logx-1.
Dokažimo formulu koja će nam pomoći pri rješavanju zadatka.
Tvrdnja:
Za realne brojeve
a,x,y>0 vrijedixlogay=ylogax. Dokaz:
Zbog komutativnosti množenja vrijedi
logax·logay=logay·logax.
Prvi faktor (ispred drugog logaritma) na obje strane jednakosti dignemo u eksponent, zbog svojstva
y·logax=logaxy.
logaylogax=logaxlogay te zbog injektivnosti direktno slijedi tvrdnja.
Primijenimo tu jednakost u zadanoj jednadžbi.
xlog5-13·xlog3=3·xlog3-15·xlog5
Sređivanjem ove jednakosti dobijemo
65xlog5=103xlog3/·(310·x-log5)⇒925=xlog3-log5
(35)2=xlog35⇒(35)2=(35)logx. Primjenom injektivnosti eksponencijalne funkcije dobijemo rješenje. logx=2⇒x=100.
Zadatak 10.
Sljedeće zadatke pokušajte riješiti primjenom prethodne jednakosti koju smo dokazali i bez njezine primjene.
Riješite jednadžbu
4logx-32+xlog4=0.
Riješite sustav jednadžbi.
{5logx=3logy(3x)log3=(5y)log5
x=100
(x,y)=(13,15)
...i na kraju
Ponovimo.
Naučili smo tri načina rješavanja logaritamskih jednadžbi.
I) Jednadžbu oblika
logay=x,a,y>0,a≠1 rješavamo primjenom inverznosti, tj. upotrebom definicije logaritma.
rješavamo supstitucijom logaf(x)=t, tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika
A·t2+B·t+C=0. Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije logaritamske jednadžbe.
Idemo na sljedeću jedinicu
7.3 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi