x
Učitavanje
  1. Matematika 2
  2. 1. Kompleksni brojevi
  3. 1.2 Zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva

1.2 Zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Autor glazbe: Richard Strauss. Izvođač glazbe: Kevin MacLeod. Licencija: Creative Commons By Attribution 3.0 Izvor glazbe: https://incompetech.com

U ovoj ćemo jedinici pokušati barem djelomično odgovoriti na pitanje o povezanosti ovih fascinantnih prizora s matematikom i kompleksnim brojevima.  

Ponovimo!

Prisjetimo se:

  1. Imaginarnu jedinicu označavamo slovom . Njezin je kvadrat jednak broju .
    Uobičajeni prikaz kompleksnog broja (s pomoću x i y ) je z = , gdje x nazivamo  , a y   .
    null
    null

  2. Povežite zadatak s točnim rješenjem.

    x - 3 x + 5  
    		2 x + 2  
    ( 2 x + 5 ) 2
    		4 x 2 + 20 x + 25  
    x - 3 - x + 5  
    		- 8  
    ( x - 3 ) + ( x + 5 )  
    		x 2 + 2 x - 15  
    null
    null

  3. Koje se svojstvo računskih radnji u skupu R koristilo u sljedećim jednakostima?

    x - 3 + 2 x = x + 2 x - 3  
    		asocijativnost
    x + 5 · x = x · x + 5 · x
    		distributivnost
    ( x + 5 ) + 3 = x + ( 5 + 3 )
    		komutativnost
    null
    null

Ako kompleksni broj z = x + y i promatramo kao binom, prema analogiji sa skupom R možemo primijeniti svojstva računskih radnji zbrajanja i množenja na skupu C .

Zbrajanje kompleksnih brojeva

Zbroj dvaju kompleksnih brojeva z 1  i z 2 je kompleksni broj kojemu je realni dio jednak zbroju realnih dijelova kompleksnih brojeva z 1  i z 2 , a imaginarni dio jednak je zbroju imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva z 1  i z 2 .

Primjer 1.

  1. z 1 = 3 , z 2 = - 5 + 2 i
  2. z 1 = 2 - 1 2 i , z 2 = 3 i
  3. z 1 = - 1 3 + i , z 2 = 3 - 2 5 i
  1. z 1 + z 2 = 3 + - 5 + 2 i = 3 - 5 + 2 i = 3 - 5 + 2 i = 2 + 2 i
  2. z 1 + z 2 = 2 - 1 2 i + 3 i = 2 - 1 2 i + 3 i = 2 + 1 2 + 3 i = 2 + 5 2 i
  3. z 1 + z 2 = - 1 3 + i + 3 - 2 5 i = - 1 3 + 3 + 1 - 2 5 i = 8 3 + 3 5 i

Za dva kompleksna broja z 1 = x 1 + y 1 i te z 2 = x 2 + y 2 i vrijedi:

z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 i .

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dopunite realni i imaginarni dio koji nedostaje u sljedećim zadatcima. (Ako je broj negativan, između minusa i broja ne stavljajte razmak.)

  1. ( 3   + i ) + ( 4 + 5 i ) = + 2 i
    null
    null
  2. ( 6 + 7 i ) + ( - 4 i ) = 9 + i
    null
    null
  3. ( 2 + i ) + ( - i 2 ) = 2 + ( 1 - 2 ) i

     

     

  4. ( + 5 i ) + ( 1 + i ) + ( - 2 i ) = - 1

Zadatak 2.

Zbrojite kompleksne brojeve.

  1. z 1 = 6 + 3 i , z 2 = 4 - i
  2. z 1 = 1 2 + i , z 2 = 3 2 - 1 2 i
  3. z 1 = - 2 - i 3 , z 2 = - 2 + i 3
  1. z 1 + z 2 = 6 + 3 i + 4 - i = 10 + 2 i
  2. z 1 + z 2 = 1 2 + i + 3 2 - 1 2 i = 2 + 1 2 i
  3.   z 1 + z 2 = - 2 - i 3 + - 2 + i 3 = - 4
Zatvori

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Razlika dvaju kompleksnih brojeva z 1  i z 2   je kompleksni broj kojemu je realni dio jednak razlici realnih dijelova kompleksnih brojeva z 1  i z 2 , a imaginarni dio jednak je razlici imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva z 1  i z 2 .

Primjer 2.

Oduzmimo kompleksne brojeve. ​

  1. ​ z 1 = 3 i , z 2 = 6 - 2 i
  2. z 1 = 2 + 5 3 i , z 2 = - 5 3
  3. z 1 = 3 2 + 1 2 i , z 2 = 3 2 - 1 2 i
  1. z 1 - z 2 = 3 i - 6 - 2 i = - 6 + 3 i + 2 i = - 6 + 5 i
  2. z 1 - z 2 = 2 + 5 3 i - - 5 3 = 2 + 5 3 + 5 3 i = 11 3 + 5 3 i
  3. z 1 - z 2 = 3 2 + 1 2 i - 3 2 - 1 2 i = 3 2 - 3 2 + 1 2 + 1 2 i = 0 + 1 · i = i

Za dva kompleksna broja z 1 = x 1 + y 1 i te z 2 = x 2 + y 2 i vrijedi: z 1 - z 2 = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 i .

Uočimo da oduzimanje možemo svesti na zbrajanje s kompleksnim brojem suprotnog predznaka.

z 1 - z 2 = z 1 + - z 2 = x 1 + y 1 i + - x 2 - y 2 i .

Zadatak 3.

Dopuni realni i imaginarni dio koji nedostaje u zadatcima.

  1. ( 3 +   i ) - ( 2 - 2 i ) = - 2 i
    null
    null
  2. 6 - (   - 2 i ) = 9 + i
    null
    null
  3. ( 3 -   ​ i ) - ( + i 3 ) = 3 + ( 1 - 3 ) i

     

    null
  4. ( + 5 i ) - ( 1 + i ) - 2 i = 1

     

     

Zadatak 4.

Oduzmite kompleksne brojeve.

  1. ​ z 1 = 7 - 3 i , z 2 = - i
  2. z 1 = 2 3 + i , z 2 = 5 3 - 1 2 i
  3. z 1 = - 2 - 2 i 2 , z 2 = - 2 + i 2
  1. z 1 - z 2 = 7 - 2 i
  2. z 1   - z 2   = 2 3 - 5 3 + 1 + 1 2 i = - 1 + 3 2 i
  3. z 1 - z 2 = - 2 + 2 + - 2 i 2 - i 2 = - 3 i 2

Množenje kompleksnih brojeva

Kompleksne brojeve množimo prema pravilu množenja binoma. Pritom se koristimo činjenicom da je i 2 = - 1 .

Umnožak dvaju kompleksnih brojeva z 1  i z 2   je kompleksni broj kojemu je realni dio jednak razlici umnožaka realnih i imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva z 1  te z 2 , a imaginarni dio jednak je zbroju umnožaka realnog dijela jednoga i imaginarnog dijela drugoga kompleksnog broja.

Primjer 3.

Pomnožimo kompleksne brojeve.

  1. z 1 = - 1 , z 2 = - 1 + 3 i
  2. z 1 = 2 - 2 i , z 2 = - i
  3. z 1 = - 3 + i , z 2 = - 3 + 5 i
  1. z 1   ·   z 2   =   - 1   ·   ( - 1   +   3 i )   =   - 1   ·   ( - 1 )   -   1   ·   3 i   =   1   -   3 i
  2. z 1 · z 2 = ( 2 - 2 i ) · ( - i ) = - 2 i + 2 i 2 = - 2 i + 2 · ( - 1 ) = - 2 - 2 i
  3. z 1 · z 2 = - 3 + i · - 3 + 5 i = 9 - 3 i - 15 i + 5 i 2 = 9 - 18 i - 5 = 4 - 18 i

Pomnožimo kompleksne brojeve. z 1 = x 1 + y 1 i i z 2 = x 2 + y 2 i :

z 1 · z 2 = ( x 1 + y 1 i ) · ( x 2 + y 2 i ) = x 1 · x 2 + x 1 · y 2 i + x 2 · y 1 i + y 1 · y 2 · i 2 =

= x 1 · x 2 + ( x 1 · y 2 + x 2 · y 1 ) i + y 1 · y 2 · - 1 = x 1 · x 2 - y 1 · y 2 + ( x 1 · y 2 + x 2 · y 1 ) i

Za dva kompleksna broja z 1 = x 1 + y 1 i te z 2 = x 2 + y 2 i vrijedi:

z 1 · z 2 = x 1 · x 2 - y 1 · y 2 + x 1 · y 2 + x 2 · y 1 i .

Zadatak 5.

Pomnožite kompleksne brojeve.

  1. z 1 = 3 , z 2 = 1 + i 3 3 ​
  2. z 1 = 2 - i , z 2 = - 3 i
  3. z 1 = 1 + i , z 2 = 1 - i
  1. z 1 · z 2   = 3   · 1 + i 3 3   = 3   + i
  2. z 1 · z 2 = 2 - i · - 3 i = - 3 - 6 i
  3. z 1 · z 2 = 1 + i · 1 - i = 2

Ponovimo računske radnje s kompleksnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva.

Pri proširivanju skupova brojeva vidjeli smo kako se svojstva zbrajanja i množenja prenose iz jednog skupa u drugi. Kako je R ⊂ C , zaključujemo da za kompleksne brojeve vrijede sva svojstva za računske radnje zbrajanja i množenja koja već poznajemo iz skupa R . Računajući s kompleksnim brojevima već smo se koristili nekim svojstvima računskih radnji. Zaključite što vrijedi za zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva tako što ćete, prema analogiji s realnim brojevima, uvrstiti ponuđene izraze na prava mjesta.

  1. Odaberite tvrdnju za koju vrijedi asocijativnost množenja.

    null

     

  2. Odaberite tvrdnju za koju vrijedi asocijativnost zbrajanja.

    null

  3. Odaberite tvrdnju za koju vrijedi komutativnost množenja.

    null

  4. Odaberite tvrdnju za koju vrijedi komutativnost zbrajanja.

    null

  5. Odaberite tvrdnju za koju vrijedi distributivnost množenja prema zbrajanju.

    null

Kutak za znatiželjne

Dokažimo sada neka svojstva zbrajanja i množenja kompleksnih brojeva. ​

Asocijativnost zbrajanja (koristimo se svojstvom asocijativnosti zbrajanja u skupu realnih brojeva jer vrijedi x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 ∈ R ):

z 1 + z 2 + z 3 = x 1 + y 1 i + x 2 + y 2 i + x 3 + y 3 i = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 i + x 3 + y 3 i =

= x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 i + y 3 i = x 1 + x 2 + x 3 + y 1 i + y 2 + y 3 i = z 1 + z 2 + z 3

Analogno dokažite svojstvo asocijativnosti množenja.

Komutativnost množenja (koristimo se svojstvom komutativnosti množenja u skupu realnih brojeva jer vrijedi x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ R ):

z 1 · z 2 = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i = x 1 x 1 + y 1 i + y 1 i x 2 + y 2 i = x 1 · x 2 + x 1 · y 2 i + x 2 · y 1 i + y 1 · y 2 i 2 =

x 2 · x 1 + x 2 · y 1 i + x 1 · y 2 i + y 2 · y 1 i 2 = x 2 x 1 + y 1 i + y 2 i x 1 + y 1 i = x 2 + y 2 i x 1 + y 1 i = z 2 · z 1

Analogno dokažite svojstvo komutativnosti zbrajanja te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Provjerite koliko ste svladali računske radnje s kompleksnim brojevima.

Savjet: Nastavite s učenjem kada ste sigurni da ste ovladali računom s kompleksnim brojevima.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Ako je z 1 = 2 + 3 i , z 2 = 3 - 4 i , izračunajte:

  1. z 1 2 - i · z 2
  2. z 1 · z 2 - i
  3. z 1 3
  4. z 1 2 + z 1 · z 2 + z 2
  5. z 1 2 - z 2 2
  1. - 9 + 9 i ​
  2. 18
  3. - 46 + 9 i
  4. 6 - 11 i
  5. 2 + 36 i

Zanimljivost

Izvor: en.wikipedia.org. Autor: Wolfgang Beyer. Licenca: CC BY-SA 3.0
Izvor: en.wikipedia.org. Autor: Wolfgang Beyer. Licenca: CC BY-SA 3.0

Mandelbrotov skup

Neka je c zadani kompleksni broj. Uzmemo neki kompleksni broj, kvadriramo ga i dobivenomu kvadratu dodamo početni kompleksni broj c . Tako dobiveni broj kvadriramo i dodamo mu početni kompleksni broj c . Postupak uzastopce ponavljamo. Na taj način dobivamo niz brojeva:

z 1 = z 0 2 + c  

z 2 = z 1 2 + c  

z 3 = z 2 2 + c  

z 4 = z 3 2 + c  

. . .

z n + 1 = z n 2 + c

gdje su c i z 0 = 0 kompleksni brojevi, a n predstavlja broj iteracija koji može biti po volji velik. Kada se dobiveni kompleksni brojevi ne udaljavaju mnogo od početne vrijednosti ili se ponavljaju, kažemo da točka c pripada Mandelbrotovu skupu, a ako vrijednosti imaju velik odmak od početnih, točka c ne pripada Mandelbrotovu skupu. Ako točke koje pripadaju Mandelbrotovu skupu označimo crnom bojom, a sve ostale bijelom (ili ih ne označimo), dobijemo sliku koja predstavlja Mandelbrotov skup. Što je veći n , dobijemo više točaka. Pokušajte to istražiti s pomoću GeoGebre, odnosno pročitajte više o Mandelbrotovu skupu u Hrvatskome matematičkom elektroničkom časopisu math.e.

Mandelbrotov skup je primjer fraktala.

Fraktal je skup koji je samosličan. Unutar sebe sadržava dijelove koji su slični početnom dijelu.

Projekt

Cvjetača kao primjer fraktala u prirodi
Licenca: public domain, Izvor: http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Romanesco_broccoli#/media/File:Fractal_Broccoli.jpg

Fraktali se koriste u računalnoj grafici, medicinskoj dijagnostici, umjetnosti. Istražite gdje sve možemo pronaći fraktalne slike i gdje se još koriste u znanosti. Jedan primjer fraktala u prirodi je cvjetača. Otkinuti, manji dio izgleda kao i cijela cvjetača. Svoja saznanja iznesite u razredu.

Zanimljivost

Riječ fraktal (lat. fractus - rastrgan, izlomljen) u matematiku 1975. uvodi francuski matematičar poljskog podrijetla Benoit Mandelbrot (1924. - 2010.) kao kraticu za oblike koji iskazuju jednake detalje u svim mjerilima.

...i na kraju

Ako vas je ova tema zainteresirala svojom ljepotom, istražite i Julijin skup. U kakvoj je vezi s Mandelbrotovim skupom? Pokušajte u razredu izraditi Trokut Sierpinskog, Sierpinskijevu piramidu ili možda Mengerovu spužvu.

Provjerite jeste li spremni za daljnje učenje kompleksnih brojeva.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Smjestite zadane brojeve u najveći skup kojem pripadaju.

3 7   ​

Z  

Q  

R  

C  

null
2

Povežite oznake s pripadajućim pojmovima.

 imaginarni dio
y   ​
imaginarna jedinica
y i
 imaginarni broj
x   +   y i   ​
 realni dio
x
kompleksni broj
i   ​

 

3
Odredite x i y tako da vrijedi:

1 - x + y - 3 i = - 2 - 3 i .
x = ,
y = .

 

 

4

Pronađite rješenje zadataka.

- 3 i i - 4
- 3

2 + 2 i · 2 - 2 i
6
- 6 + i - 1 - 2 i
3   +   12 i
2 + 3 i + - 5 + i
- 7  ​

5

Koji među kompleksnim brojevima imaju imaginarni dio jednak 3?

null

 

6
Ako je​ a   +   3   -   2   -   b i   =   3   +   4 i , tada je
a = ,
b = .
7
Odredite imaginarni dio umnoška z = 1 2 + i 3 2 · 1 2 - i 3 2 .
Im z = .

 

null
8
Dopunite.
( - 3   + 2 i ) + ( ) = 1 + i

 

9

U izrazu 3 + 4 i + - 3 - 2 i = 3 + - 3 + 4 i + - 2 i koristilo se svojstvo

null
10
Nakon provedenog zbrajanja u prethodnom zadatku, rješenje je .
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

1.3 Potenciranje kompleksnih brojeva