Pokušajmo riješiti sljedeći problem. Vlasnik želi ograditi svoj vrt oblika pravokutnika. Koliko metara ograde mu je potrebno ako je površina vrta
578m2, a duljina vrta je upola kraća od njegove širine?
Označimo li duljinu vrta s x, a širinu s y dobivamo: x·y=578 i x=y2. To je sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice. Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice rješavali smo u Matematika 1, modul Sustavi jednadžbi. Ipak, ovaj sustav je malo drukčiji od prijašnjih, ali primjenom sličnih načina rješavanja možemo doći do rješenja.
Uvrštavanjem x=y2 u x·y=578 dobijemo y22=578, tj. rješenje za y je y1=34,y2=-34. Kako duljina vrta može biti samo pozitivna, y=34m, a pripadna širina iznosi polovinu duljine, x=17m.
Prethodni sustav nije se sastojao od dviju linearnih jednadžbi. Prva jednadžba, x·y=578, je bila kvadratna jednadžba (uvrštavanjem x dobili smo kvadratnu jednadžbu po y), dok je druga jednadžba, x=y2, linearna jednadžba. U ovoj jedinici naučit ćemo rješavati sustave dviju jednadžbi od kojih je jedna linearna, a druga kvadratna.
Sustav kvadratne i linearne jednadžbe je sustav koji se sastoji od linearne jednadžbe oblika
kx+ly+m=0
i kvadratne jednadžbe oblika
ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0, gdje su
a,b,c,d,e,f,k,l,m realni brojevi.
Linearna jednadžba mora imati barem jedan linearan član ( k≠0 ili l≠0 ), a kvadratna jednadžba barem jedan kvadratni član ( a≠0 ili b≠0 ili c≠0).
Rješenje sustava je svaki uređeni par brojeva (x,y) koji zadovoljavaju obje jednadžbe.
Sustav kvadratne i linearne jednadžbe rješavamo metodom supstitucije i to tako da:
- iz linearne jednadžbe izrazimo jednu nepoznanicu
- taj izraz uvrstimo u kvadratnu jednadžbu i riješimo je po drugoj nepoznanici
- izračunatu vrijednost druge nepoznanice uvrstimo u nađeni izraz za prvu nepoznanicu i izračunamo odgovarajuću vrijednost.
Riješite sustav:
3x-y=83x2-y=26
(-2,-14),(3,1)
Sustave linearne i kvadratne jednadžbe uglavnom rješavamo metodom supstitucije, i to tako da iz linearne jednadžbe supstituiramo jednu nepoznanicu u kvadratnu jednadžbu. Pokažimo zašto ne primjenjujemo metodu suprotnih koeficijenata i zašto ne supstituiramo iz kvadratne jednadžbe u linearnu jednadžbu.
Primjer 1.
Riješimo sustav jednadžbi
x2+3xy+1=0x+y=2
Vidimo da zadani sustav nije moguće pomnožiti nekim od brojeva tako da dobijemo suprotne koeficijente, a pogledajmo što bi se dogodilo supstitucijom nepoznanice iz kvadratne jednadžbe.
Supstitucija nepoznanice x iz x2+3xy+1=0 prilično je komplicirana i svela bi se na rješavanje kvadratne jednadžbe.
Supstituciju nepoznanice y moguće je lako provesti, ali rješavanje neće biti baš jednostavno.
x2+3xy+1=0⇒y=-x2+13x
x-x2+13x=2 nakon množenja s 3x dobivamo: 3x2-x2-1=6x.
Rješenja te kvadratne jednadžbe su 3+√112,3-√112. Primijetimo da ta rješenja sada moramo uvrstiti u jednadžbu y=-x2+13xte ju riješiti, a to zbog brojeva nije jednostavno.
Jednostavniji put do rješenja vodi supstitucijom nepoznanice iz linearne jednadžbe.
x2+3xy+1=0x+y=2⇒x=2-y
nakon uvrštavanja dobivamo (2-y)2+3(2-y)y+1=0, čija su rješenja 1+√112,1-√112.
Pripadajuća rješenja za x dobivamo uvrštavanjem u jednostavnu jednadžbu x=2-y i dobivamo već prije spomenuta rješenja 3-√112,3+√112, tj. uređene parove brojeva
(3-√1121+√112),(3+√1121-√112).
Primjer 2.
Riješimo sustav:
x2+y2=5
x-2y=5_.
Kad bismo željeli supstituirati iz kvadratne jednadžbe, dobili bismo dvoznačnost izraza x=±√5-y2. Jednako bismo dobili i u slučaju da želimo uvrstiti y. Suprotne koeficijente ne možemo dobiti, stoga nam u ovom slučaju preostaje jedino supstitucija iz linearne jednadžbe u kvadratnu jednadžbu.
Uvrštavanjem x=5+2y u x2+y2=5 dobit ćemo kvadratnu jednadžbu s nepoznanicom y čije rješenje je samo y=-2, a vratimo li u x=5+2y, dobijemo x=1. Rješenje ovog sustava je uređeni par (1,-2).
Al Karaji je bio arapski matematičar i inženjer rođen 953. u Karaju, današnji Iran. Postavio je temelje današnje algebre te je odvojio algebru od geometrije.
Primjer 3.
Riješimo sustav jednadžbi iz Algebre Al-Karajija:
x=34y
xy+x+y-62=0.
Jednostavniju jednadžbu x=34y uvrstimo u drugu jednadžbu i dobivamo: 34y2+34y+y-62=0.
Riješimo kvadratnu jednadžbu 34y2+74y-62=0.
Rješenja te kvadratne jednadžbe su y1=-313 i y2=8. Za svako y rješenje imamo pripadajuće rješenje x.
Stoga dobivamo uređene parove rješenja (x1, i koji su i Prvu koordinatu dobili smo uvrštavanjem rješenja u
Sustave jednadžbi oblika nazivamo simetrični sustavi.
U simetričnim sustavima međusobnom zamjenom nepoznanica dobivamo iste jednadžbe.
Primijetimo da jednadžbe podsjećaju na Vietove formule.
Stoga slijedi
(prema formuli
[zbroj rješenja]
[umožak rješenja]
)
tj.
Ta kvadratna jednadžba ima rješenja -2 i 7. Slijedi da je
a
Kako je sustav simetričan, rješenje je i uređeni par
Starogrčki matematičar Diofant rješavao je sličan sustav. Imao je zadatak da odredi dva broja tako da njihov zbroj bude a umnožak
Danas lako riješimo zadatak postavimo li sljedeći sustav jednadžbi:
Nakon toga riješimo kvadratnu jednadžbu dobivenu supstitucijom. Rješenja su 8 i 12. Kako je Diofant riješio ovaj zadatak? Zaključio je da brojevi nisu jednaki, pa je zbog toga jedan veći od polovice, a drugi manji od polovice broja 20. Označio ih je s i Iz dobivene kvadratne jednadžbe lako je izračunao da je (jer je kvadratna jednadžba nepotpuna), pa su traženi brojevi 8 i 12.
Riješite sustav:
Rješavanje sustava linearne i kvadratne jednadžbe pomoći će nam u rješavanju jednog problema iz fizike.
Ukupan otpor paralenog spoja dvaju otpornika, s otporima dan je formulom
Koliki je otpor na otpornicima kod paralelnog spoja ako je na jednom otporniku izmjereno za manje nego na drugom, a ukupan otpor iznosi
Zapišimo matematičkim simbolima činjenice iz zadatka.
Upotrijebimo formulu za ukupan otpor i riješimo sustav.
Dobivamo
Sredimo dobivenu jednadžbu. Slijedi Rješenja te jednadžbe su i Međutim, nije rješenje jer bi tada bio negativan, a to ne može biti. Zaključujemo da su otpori na paralelno spojenim otpornicima i
Formate papira označavamo oznakama A5, A4, A3, A2, A1 i A0. A5 je format "male" bilježnice, A4 je uobičajena veličina papira za ispisivanje i fotokopiranje dokumenata. A0 je najveći format i njegova površina je
Vrijedi: ako prepolovimo papir većeg formata, npr. A2, dobijemo manji format, A3. To vrijedi za sve formate.
Pronađite omjer duljina stranica papira. Koliko je Kolike su dimenzije papira A0?
Sustav kvadratne i linearne jednadžbe je sustav koji se sastoji od linearne jednadžbe oblika
i kvadratne jednadžbe oblika
gdje su
Uočite da probleme iz svakodnevnog života vrlo često rješavamo jednadžbama. U ovoj jednici naučili smo kako riješiti sustav linearne i kvadratne jednadžbe.