Matematika 2 - 2.5 Vieteove formule

Na početku...

Naučili ste rješavati kvadratnu jednadžbu. Možete li bez rješavanja jednadžbe napisati njezina rješenja?

Pronađite vezu između koeficijenata i rješenja normirane kvadratne jednadžbe

x^{2} + b x + c = 0

tako da popunite sljedeću tablicu.

Što zaključujete iz tablice? Koliki su zbroj i umnožak rješenja kvadratne jednadžbe? Možete li generalizirati svoja zapažanja?

Za normiranu kvadratnu jednadžbu (jednadžbu gdje je vodeći koeficijent

a = 1

) lako je zaključiti da vrijedi

x_{1} + x_{2} = - b,

x_{1} \cdot x_{2} = c .

Provjerimo što vrijedi, općenito, u kvadratnim jednadžbama.

Vièteove formule

Zbroj rješenja kvadratne jednadžbe je:

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array} .$

Umnožak rješenja kvadratne jednadžbe je:

$\begin{array}{l} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{b^{2} - {(\sqrt{b^{2} - 4 a c})}^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array} .$

Uvjerimo se u istinitost formula popunjavanjem sljedeće tablice.

Za rješenja $x_{1}$ i $x_{2}$ kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0,$ $a, b, c \in R,$ $a \neq 0$ vrijedi da je:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a},$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} .$

Navedene formule nazivamo Vièteove formule.

Zanimljivost

Francoise Viète (1540. - 1603.) je francuski matematičar. Mnogi ga smatraju osnivačem moderne algebre. On je općim znakovima popularizirao označavanje nepoznanica i koeficijenata algebarskih jednadžbi. Najpoznatiji je po tome što je povezao rješenja algebarskih jednadžbi s koeficijentima jednadžbi. Surađivao je s hrvatskim matematičarom Marinom Getaldićem.

U jednom svojem članku napisao je: Ja, koji se ne bavim matematikom profesionalno već koji, kada god imam slobodnog vremena, uživam u matematičkim studijama.

Više o Vièteu pročitajte na wikipediji.

Primjer 1.

Odredimo kvadratnim jednadžbama zbroj i umnožak rješenja.

$3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x^{2} - 5 x + 1 = 0$

$4 x^{2} - x - 1 = 0$

$m x^{2} + m^{2} x + 1 = 0$

$(\begin{array}{l} n + 1 \end{array}) x^{2} - (\begin{array}{l} n^{2} - 1 \end{array}) x + n = 0$

Iz $a = 3, b = 2 c = 1$ i Vièteovih formula slijedi: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{3},$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} .$

Rješimo li zadanu kvadratnu jednadžbu, primijetit ćemo da je njezina diskriminanta negativan broj, pa su rješenja jednadžbe kompleksni brojevi $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 1 + i \sqrt{2}}{3}, x_{2} = \frac{- 1 - i \sqrt{2}}{3} \end{array} .$
Iz $a = 1, b = - 5, c = 1$ i Vièteovih formula slijedi: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5,$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 .$

Iz računa da je umnožak rješenja jednak $1$ zaključujemo da su rješenja $x_{1}$ i $x_{2}$ međusobno recipročni brojevi. Primijetimo da je pritom $a = c .$
Iz $a = 4, b = - 1, c = - 1$ i Vièteovih formula slijedi: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = \frac{1}{4},$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{1}{4} .$
Iz $a = m, b = m^{2}, c = 1$ i Vièteovih formula slijedi: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{m^{2}}{m} = - m,$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{m} .$

Ovdje ne zaboravimo uvjet na vodeći koeficijent, $m \neq 0 .$ Uvrštavanjem $m = 0 \Rightarrow 1 = 0,$ pa zaključujemo da ne postoji takva jednadžba.
Iz $\begin{array}{l} a = n + 1, b = - (n^{2} - 1), c = n \end{array}$ i Vièteovih formula slijedi: $\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- (n^{2} - 1)}{n + 1} = \frac{(\begin{array}{l} n - 1 \end{array}) (\begin{array}{l} n + 1 \end{array})}{n + 1} = n - 1 \end{array},$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{n}{n + 1},$ uz uvjet da je vodeći koeficijent različit od nule, odnosno $n \neq - 1 .$

Zadatak 1.

Riješite sljedeće zadatke.

Ne rješavajući jednadžbu $x^{2} + 4 x - 17 = 0$ odredite zbroj i umnožak njezinih rješenja.
$x_{1} + x_{2} =$ ,
$x_{1} \cdot x_{2} =$ .

null
Dopunite rečenice.
Zbroj rješenja kvadratne jednadžbe $3 x^{2} - 9 x + 33 = 0$ je
Točan odgovor je $3 .$
. Umnožak rješenja te jednadžbe je:
Točan odgovor je $11 .$
.

null

Primjer 2.

Ne računajući rješenja $x_{1}, x_{2}$ kvadratne jednadžbe $7 x^{2} - 5 x + 9 = 0$ izračunajmo:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} .$

Služeći se Vièteovim formulama imamo:

$\begin{array}{l} \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = - \frac{b}{c} \end{array} .$

Uvrštavanjem koeficijenata kvadratne jednadžbe u dobivenu formulu dobivamo:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{- 5}{9} = \frac{5}{9} .$
b) Iz jednakosti $\begin{array}{l} {(\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \end{array})}^{2} = {x_{1}}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2} \end{array}$ slijedi $\begin{array}{l} {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \end{array})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \end{array} .$

Tu možemo primijeniti Vièteove formule pa imamo:

$\begin{array}{l} {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a} = {(- \frac{- 5}{7})}^{2} - 2 \cdot \frac{9}{7} = \frac{25}{49} - \frac{18}{7} = - \frac{121}{49} \end{array} .$

Određivanje koeficijenata kvadratne jednadžbe

Primjer 3.

Ako je jedno rješenje jednadžbe $x^{2} + m x - 4 = 0$ jednako $2,$ odredimo drugo rješenje i broj $m .$

Zadatak rješavamo služeći se VIèteovim formulama.

Kako je $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 x_{2} = \frac{- 4}{1},$ slijedi da je $x_{2} = - 2 .$

Iz $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ dobivamo $2 - 2 = - \frac{m}{1} \Rightarrow m = 0 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Odredi koeficijente $p$ i $q$ normirane kvadratne jednadžbe $x^{2} + p x + q = 0$ za koje je razlika rješenja $6,$ a razlika kubova rješenja $54 .$

Zadatak 3.

Dana je kvadratna jednadžba ${(x - p)}^{2} = p (\begin{array}{l} x + p \end{array}),$ $p \in R .$

Za koje je vrijednosti parametra $p$ zbroj kvadrata rješenja dane jednadžbe veći od nule?
Odredi $p$ za koje je zbroj rješenja jednadžbe za dva veći od umnoška.

Sredite kvadratnu jednadžbu (kvadrirajte, izmnožite, sve prebacite na lijevu stranu jednadžbe).

Imamo

$x^{2} - 2 p x + p^{2} = p x + p^{2}$

$x^{2} - 2 p x - p x + p^{2} - p^{2} = 0$

$x^{2} - 3 p x = 0$

$a = 1,$ $b = - 3 p,$ $c = 0 .$

Primijenimo formulu za kvadrat binoma, $\begin{array}{l} {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \end{array} .$ Prema uvjetu zadatka treba vrijediti ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} > 0,$ pa iz toga slijedi ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} > 0,$ odnosno ${(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a} > 0 .$ Nakon uvrštavanja dobivamo $\begin{array}{l} {(\frac{3 p}{1})}^{2} - 2 \cdot \frac{0}{1} > 0 \Rightarrow 9 p^{2} > 0 \end{array} .$

Ta nejednakost vrijedi za sve realne brojeve različite od nule.

Stoga je rješenje zadatka $p \in R \ \{0\} .$
Zapišimo jednakost iz teksta zadatka matematičkim simbolima $x_{1} + x_{2} = 2 + x_{1} x_{2} .$ Iz nje slijedi $- \frac{b}{a} = 2 + \frac{c}{a} .$

Sređivanjem i uvrštavanjem koeficijenata dobivamo $3 p = 2 .$ Rješenje ove jednadžbe je $p = \frac{2}{3} .$

$2 p^{2} + p = 0$ uvijek pozitivan ili jednak nula.

Zadatak 4.

Riješite zadatke:

Odredite realni parametar $k$ tako da je jedno rješenje jednadžbe $x^{2} + x + k = 0$ dva puta veće od drugog rješenja.
Bez rješavanja kvadratne jednadžbe $2 x^{2} + x - 3 = 0$ izračunajte ${({x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2})}^{2} .$

$k = \frac{2}{9}$
$\frac{25}{16}$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Vièteove formule postoje i za jednadžbe višeg stupnja. Za kubnu jednadžbu $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ vrijede:

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$

$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a} .$

Ako želite naučiti nešto više o Vièteovim formulama, pročitajte tekst na poveznici.

...i na kraju

Ponovimo što smo naučili!

Za računanje zbroja i umnoška rješenja kvadratne jednadžbe služimo se Vièteovim formulama. Zbroj i umnožak rješenja ovise o koeficijentima kvadratne jednadžbe. Zapišimo kvadratnu jednadžbu uz pomoć Vièteovih formula:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 / : a \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \\ x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2} = 0 \end{array}$

Stoga, ponekad rješenje možemo pročitati izravno iz kvadratne jednadžbe, bez računanja.

Npr., $\begin{array}{l} x^{2} - 8 x + 15 = 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 8 i x_{1} \cdot x_{2} = 15 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = 5 \end{array}$ ili

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 5 = 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 4 i x_{1} \cdot x_{2} = - 5 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = - 5 \end{array} .$

Pokušajte sami pogoditi rješenja bez računa u jednadžbama:

$\begin{array}{l} x^{2} - 7 x + 6 = 0 \\ x^{2} + 14 x + 45 = 0 \end{array} .$

Možete se vratiti na onu tablicu iz uvoda i pokušati pogoditi rješenja bez računa. Treba pripaziti na predznake koeficijenata jednadžbe koji utječu na predznak rješenja.

${x_{1}}^{- 2} + {x_{2}}^{- 2}$	$- \frac{b}{a} \cdot (\begin{array}{l} \frac{b^{2}}{a^{2}} - 3 \cdot \frac{c}{a} \end{array})$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$	$\frac{b^{2} - 2 a c}{c^{2}}$

$x^{2} - 49 = 0$
$3 x^{2} + 27 = 0$
$4 x^{2} + x = 0$
$5 x^{2} - 30 x = 0$

2.5 Vieteove formule

Na početku...

Vièteove formule

Zanimljivost

Zadatak 1.

Određivanje koeficijenata kvadratne jednadžbe

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma

$x^{2} - 15 x + 56 = 0$
$6 x^{2} - 11 x - 2 = 0$
$x^{2} + 4 x + 20 = 0$