Kupujete novi automobil nakon godina štednje. Vaš automobil svake godine gubi
15.3%
svoje vrijednosti.
Zabrinuti ste? Razmišljate unaprijed?
Želite znati za koliko vremena će vrijednost vašeg novog automobila biti upola manja od početne cijene. To je trenutak kad ćete ga mijenjati i kupiti novi. Ali kako planirati? Možete li znati za koliko godina će se to dogoditi?
Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe.
Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.
Ponavljanje
Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam vrlo važna svojstva eksponencijalne funkcije. Ponovite svojstvo injektivnosti, kojim ste se već koristili prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.
Monotonost eksponencijalne funkcije vrlo je važna za ispravno rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.
Mijenjajući vrijednost
a klizačem na interakciji mijenjate vrijednost baze eksponencijalne funkcije. Ako je baza veća od
1, funkcija raste, a za bazu između
0 i
1 funkcija pada. Što to znači?
Promatrajte dvije točke na funkciji.
Ako je baza veća od
1, a
x1<x2, u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za
x1 i
x2?
Ako je baza između
0 i
1, a
x1<x2, u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za
x1 i
x2?
Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od 1, raste li funkcija ili pada?
null
null
Ako je baza eksponecijalne funkcije broj između 0 i 1, raste li funkcija ili pada?
null
null
Eksponencijalna funkcija ima bazu veću od 1.
Ako vrijedi x1<x2, koji znak nejednakosti stoji između ax1 i ax2
Ako vrijedi
x1>x2, koji znak nejednakosti je između
ax1 i
ax2
null
null
Eksponencijalna funkcija ima bazu između 0 i 1.
Ako vrijedi
x1<x2, koji znak nejednakosti ide između
ax1 i
ax2
Ako vrijedi
x1>x2, koji znak nejednakosti ide između
ax1 i
ax2
null
null
Zadatak 2.
Ako niste točno odgovorili na pitanja i pojam monotonosti još vam nije sasvim jasan, pogledajte rješenja koja slijede.
Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od
1, funkcija je rastuća.
Iz
x1<x2 slijedi
ax1<ax2.
Ako je baza eksponencijalne funkcije manja od
1, a veća od
0, funkcija je padajuća.
Imamo li nejednadžbu istih ili različitih baza? Ako
4xprikažemo kao
(2x)2, imamo iste baze, ali i broj
6. Ako
2x u nejedandžbi zamijenimo novom nepoznanicom
y, imamo novu nejednadžbu. Kojoj vrsti nejednadžbi pripada ta nejednadžba?
Prvi koji je upotrijebio simbole za strogo veće
> i strogo manje
< bio je matematičar Thomas Harriot. Prvi put su upotrijebljeni u knjizi "Analitička umjetnost primijenjena na rješavanje algebarskih jednadžbi", koja je objavljena 1631. godine, nakon njegove smrti.
Navodno je Harriot inspiraciju dobio putujući po Sjevernoj Americi, gdje je na rukama Indijanaca vidio simbol:
Kutak za znatiželjne
Riješimo jedan složeniji problem.
Ako su a i bminimum i maksimum skupa svih rješanja nejednadžbe2x·(2·2x+8)≤8x·(5-2x), koliko je
a+b?
Ako 2x zamijenimo s
t, dobit ćemo nejednadžbu:
t(2t+8)-t3(5-t)≤0
Tu nejednadžbu ćemo faktorizirati.
t(t+1)(t-2)(t-4)≤0
Vidimo da predznake sada trebamo ispitati u sljedećim intervalima:
⟨-∞,-1] ,
[-1,2] ,
[2,4] i
[4,∞⟩.
Nejednakost je zadovoljena u prvom i trećem intervalu, ali uz uvjet
t=2x>0 imamo za rješenje jedino treći interval.
Slijedi da je minimum
1, a maksimum
2, uz rješavanje
2x=2 i
2x=4, pa je
a+b=1+2=3.
...i na kraju
Za kraj riješimo vaš problem s automobilom.
Ako je godišnje opadanje vrijednosti
15.3%, onda vrijednost automobila nakon
x godina možemo izračunati sljedećom formulom:
v=v0(1-0.153)x, gdje je
v - vrijednost automobila nakon
x godina
v0 - početna vrijednost automobila
x - starost automobila.
Kad početnu jednadžbu sredimo, imamo:
v=v0·0.847x
Uvjet da je vrijednost automobila upola manja od početne cijene daje nam nejednakost:
v≥12v0
Kad u tu nejednakost uvrstimo početnu jednadžbu, imamo eksponencijalnu nejednadžbu.
v0·0.847x≥12v0, odnosno
0.847x≥12.
Kad riješimo nejednadžbu, dobit ćemo da je vrijednost automobila veća ili jednaka pola početne vrijednosti sve do
4.2 godine starosti. Nakon toga automobil treba mijenjati.