9.8 Krnje piramide

Dijelovi krnje piramide

Krnja piramida je omeđena s

 

baze. Baze su međusobno 

 

mnogokuti. Udaljenost ravnina u kojima leže baze nazivamo

 

krnje piramide. Plašt krnje piramide se sastoji od  n

 

.
Ako je krnja piramida pravilna, trapezi su međusobno

 

i krakovi su im 

 

 duljina.

sukladni

trapeza

dvije

 slični

visinom

jednakih

null

null

Sličnost

Pogledajte sliku. Ako je dužina  $\overline{AB}$ srednjica trokuta $CDV,$ odgovorite koje su od navedenih tvrdnji istinite.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Dužina $\overline{AV}$ je dvostruko kraća od dužine $\overline{CV}.$​

Da

Ne

null

null

Dužina  $C{V}_2$ je dvostruko dulja od dužine $\overline{A_{1}V}.$

Da

Ne

null

null

Dužina​ $\overline{AB}$ je dvostruko dulja od dužine $\overline{CD}.$

Da

Ne

 Dvostruko je kraća.

null

null

Površina trokuta ​ $VCD$ dvostruko je veća od površine trokuta $ABV.$

Da

Ne

Četiri puta je veća.

null

null

Na slici ste mogli uočiti dva slična (homotetična) trokuta. Koeficijent sličnosti između ta dva trokuta iznosio je $2.$ Stoga su sve duljine stranica i visine bile u omjeru $2,$ dok su površine tih trokuta u omjeru $4$ (površine sličnih trokuta su u omjeru​ $k^2$).

Zadatak 3.

Odredite duljine bočnih bridova, visine pobočki, površinu baza, oplošja i obujme piramida sa slike, ako je druga piramida dobivena kao presjek prve ravninom paralelnom bazi i na polovici visine. Neka je stranica baze velike piramide $10,$ a visina $20$ centimetara.

Zadatak 4.

Rješenje

$a_y=10$	$h_v=20$	$b_v=10\sqrt{6}$	$v_{1v}=5\sqrt{17}$	$B_v=100$	$O_v=512.32$	$V_v=666.67$
$a_m=5$	$h_m=10$	$b_m=5\sqrt{6}$	$v_{1m}=\frac{5}{2}\sqrt{17}$	$B_m=25$	$O_m=128.08$	$V_m=83.33$
$\frac{a_v}{a_m}=2$	$\frac{h_v}{h_m}=2$	$\frac{b_v}{b_m}=2$	$\frac{v_{1v}}{v_{1m}}=2$	$\frac{B_v}{B_m}=4$	$\frac{O_v}{O_m}=4$	$\frac{V_v}{V}=8$

---

Zatvori

Primjer 1.

Zadana je piramida površine baze ​ $20{\mathrm{cm}}^2$ i visine $8\mathrm{cm}.$ Na kojoj visini treba prerezati piramidu ravninom paralelnom bazi tako da dobivena manja piramida ima volumen koji iznosi ​ $\frac{1}{8}$ volumena velike piramide.

Kako manju piramidu dobijemo presijecanjem ravninom paralelnom s ravninom baze, te dvije piramide su slične. $V_m=\frac{1}{8}{V}_v,$ pa je koeficijent sličnosti ​ $\frac{1}{2}.$ Kako je baza velike piramide $20{\mathrm{cm}}^2,$ a koeficijent sličnosti površina je $k^2,$ površina baze manje piramide iznosi $5{\mathrm{cm}}^2,$ a visina male piramide $4\mathrm{cm}.$ Piramidu bi trebalo presjeći na polovini visine. Volumen velike piramide je $\frac{160}{3}{\mathrm{cm}}^3,$ a volumen male piramide iznosi $\frac{20}{3}{\mathrm{cm}}^3.$

Sad možemo odrediti i obujam krnje piramide, koja nastaje presijecanjem ravninom paralelnom s bazom, kao razliku obujma velike i male piramide: $V_k=V_v-V_m=\frac{160}{3}-\frac{20}{3}=\frac{140}{3}{\mathrm{cm}}^3.$

Zadatak 5.

Dvije paralelne ravnine sijeku piramidu. Presjeci su slični mnogokuti čiji je omjer površina $9:4.$ Odredite udaljenost vrha piramide do obiju ravnina ako je međusobna udaljenost tih dviju ravnina $5$ centimetara.

Obujam krnje piramide

Zadatak 6.

Obujam krnje piramide možemo odrediti kao razliku obujma početne piramide i odrezane piramide. Možemo li pojednostavniti računanje obujma krnje piramide? Postoji li formula za određivanje obujma krnje piramide?

Pogledajmo piramidu sa slike.

S $h$ smo označili visinu krnje piramide (udaljenost ravnina u kojima leže baze površina ${\mathrm{(B}}_v$ i $B_m$), $h_v$ je visina velike piramide, a $h_m$ visina male piramide /dopunjka/).

Velika piramida i mala piramida slične su, baze velike i male piramide slični su likovi, a koeficijent sličnosti možemo odrediti iz visina tih piramida, ​ $k=\frac{h_v}{h_m}=\frac{h+h_m}{h_m}.$

Tada su baze slične s koeficijentom ​ $k^2,$ tj. ​ $\frac{B_v}{B_m}=\frac{{\left(h+h_m\right)}^2}{{h_m}^2}.$

Iz ovog razmjera iskažimo visinu manje piramide: ​ $\frac{\sqrt{B_v}}{\sqrt{B_m}}=\frac{h+h_m}{h_m},$

​ $h_m\sqrt{B_v}=\left(h+h_m\right)\sqrt{B_m},$ tj. ​ $\begin{array}{l}{h}_m=\frac{h\sqrt{B_m}}{\sqrt{B_v-B_m}}=\frac{h\sqrt{B_m}\left(\sqrt{B_v}+\sqrt{B_m}\right)}{B_v-B_m}\end{array}.$

Kako je obujam krnje piramide jednak razlici obujmova velike i male piramide, dobivamo: ​

$V=V_v-V_m=\frac{1}{3}{B}_v{h}_v-\frac{1}{3}{B}_m{h}_m=\frac{1}{3}{B}_v\left(h+h_m\right)-\frac{1}{3}{B}_{m}h=\frac{1}{3}{B}_{v}h+\frac{h_m}{3}\left(B_v-B_m\right)$

Uvrstimo vrijednost za ​ $h_m=\frac{h\sqrt{B_m}\left(\sqrt{B_v}+\sqrt{B_m}\right)}{B_v-B_m}$ pa dobivamo:

$\begin{array}{l}V=\frac{B_v·h}{3}+\frac{h\sqrt{B_m}\left(\sqrt{B_v}+\sqrt{B_m}\right)}{3\left(B_v-B_m\right)}\left(B_v-B_m\right)\end{array}$

$V=\frac{B_{v}h}{3}+\frac{h}{3}\left(\sqrt{B_v{B}_m}+B_m\right)$

$V=\frac{h}{3}\left(B_v+\sqrt{B_v{B}_m}+B_m\right)$

Primjer 2.

Površine baza krnje piramide iznose $80$ i $245$ kvadratnih centimetara. Koliki je obujam krnje piramide ako je visina odgovarajuće velike piramide $35$ centimetara?

$B_m=80{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

$B_v=245{\mathrm{cm}}^2$

Uvrštavanjem $h_v=35\mathrm{cm}$ u omjer baza $B_v:B_m={h_v}^2:{h_m}^2$ dobivamo $h_m=20\mathrm{cm}.$

Kako je visina krnje piramide jednaka razlici visina velike i male piramide, dobivamo ​ $h=h_v-h_m=35-20=15\mathrm{cm}.$

Konačno imamo ​ $\begin{array}{l}V=\frac{15}{3}\left(80+\sqrt{80·245}+245\right)=2325{\mathrm{cm}}^3\end{array}.$

Zadatak 7.

Odredite obujam kutije za kokice sa slike ako je poznato da je baza kvadrat.

Zanimljivost

Moskovski papirus je artefakt iz vremena starih Egipćana, oko 1850. godine prije nove ere. Katkad se još naziva Goleniščevljevim papirusom, prema pronalazaču. Papirus je dug oko pola metra i širok oko $8$ centimetara. Sastoji se od $25$ zadataka, od kojih se jedan odnosi na određivanje obujma krnje piramide kojoj je donja baza duljine brida $4,$ gornja duljine brida $2,$ a visina krnje piramide je $6.$ Na papirusu nije navedena formula za određivanje obujma, ali se iz računa može uočiti da je računano prema formuli ​ $V=h\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$ Na papirusu je dobiven točan podatak za obujam. Možete li odrediti koji?

Oplošje krnje piramide

Mreža krnje piramide sastoji se od dviju baza, koje su međusobno slični $n$-terokuti, i $n$ trapeza.

Ako je piramida pravilna, trapezi su međusobno sukladni i jednakokračni.

Za oplošje krnje piramide ne daju se detaljnije formule. Oplošje se određuje tako da se zbroje sve plohe koje omeđuju krnju piramidu.

Primjer 3.

Visina pravilne četverostrane krnje piramide je $3$ centimetra, a obujam $38$ centimetara kubnih. Površine baza su u omjeru $9:4.$ Odredimo oplošje te piramide.

Kako je omjer baza $9:4,$ možemo veću bazu zapisati kao $\frac{9}{4}$ manje baze, $B_v=\frac{9}{4}{B}_m.$ ​

Uvrštavanjem podataka u formulu za obujam krnje piramide dobivamo

$38=\frac{3}{3}\left(\frac{9}{4}{B}_m+\sqrt{\frac{9}{4}{B}_m{B}_m}+B_m\right).$

Dobivamo da je ​ $B_m=8{\mathrm{cm}}^2$ i ​ $B_v=\frac{9}{4}·8=18{\mathrm{cm}}^2.$ Površinu jedne pobočke određujemo iz formule za površinu trapeza. Osnovice trapeza su bridovi baze. Kako je baza kvadrat, imamo ​ $a_v=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$ i ​ $a_m=2\sqrt{2}\mathrm{cm}.$

Razlika ​ $a_v-a_m=\sqrt{2},$ pa je $\left|\overline{U{A}_1}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Iz pravokutnog trokuta $L{A}_{1}U$ možemo odrediti visinu pobočke (trapeza).

$\left|A_{1}L\right|=\sqrt{h^2+{\left|A_{1}U\right|}^2}=\sqrt{3^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{19}{2}}$

Tada je površina pobočke ​ $P_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}·\sqrt{\frac{19}{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{19}{\mathrm{cm}}^2.$

Oplošje tada iznosi ​ $O=B_v+B_m+4P_1=8+18+4·\frac{5}{2}\sqrt{19}=26+10\sqrt{19}{\mathrm{cm}}^{2.}$

Zadatak 8.

Osnovni bridovi pravilne trostrane krnje piramide su $6$ centimetara i $2$ centimetra. Pobočke s ravninom baze zatvaraju kut od $60°.$ Odredite oplošje i obujam te piramide.