Processing math: 100%
x
Učitavanje

2.9 Primjena kvadratnih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Portret Carla Freidricha Gaussa
Carl Freidrich Gauss

Zbroj prvih n prirodnih brojeva možemo izračunati formulom​ n(n+1)2.

Ova formula je poznata kao Gaussova dosjetka. Jednom zgodom je Gaussov učitelj, želeći biti slobodan, razredu zadao zadatak da odrede zbroj prvih 100 prirodnih brojeva. Gauss je uočio da u tom nizu ima 50 parova brojeva, čiji je zbroj 101:

(1+100)+(2+99)+...+(50+51).

I za nekoliko trenutaka odredio je sumu prvih 100 prirodnih brojeva: 5050.

Detalje možete naći u članku o Gaussovoj dosjetki.

Gaussova dosjetka

Problemi drugog stupnja

Matematički prikaz raznih problema iz svakodnevnog života ili struke često se svodi na kvadratne jednadžbe ili sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi. Takvi problemi nazivaju se problemi drugog stupnja.

Da bismo riješili probleme drugog stupnja, najvažnije je problemski zadatak točno matematički interpretirati.

Postupak rješavanja problema drugog stupnja provodimo u nekoliko koraka:

  1. nekoliko puta pažljivo pročitati problem
  2. uočiti koji podaci su nam poznati, a što se očekuje da izračunamo
  3. imenovati poznate i nepoznate varijable
  4. ako je potrebno, grafički predočiti problem pomoću slika, tablica i sl.
  5. postaviti matematičke veze između poznatih i nepoznatih veličina
  6. napisati jednadžbe ili sustave jednadžbi
  7. riješiti matematički zapis problema
  8. interpretirati rješenje
  9. provjeriti točnost i smislenost rješenja.

Primjer 1.

Koliki je n ako je zbroj prvih n prirodnih brojeva 210?

Zbroj prvih n prirodnih brojeva računamo formulom n(n+1)2.

Ako znamo da je zbroj jednak 210, možemo postaviti jednadžbu n(n+1)2=210.

n(n+1)=420

n2+n-420=0

n1,2=-1±1+8412

n1,2=-1±292

n1=20

n2=-21

Kako n ne može biti negativan broj, uvjet zadatka da je zbroj 210 zadovoljava prvih 20 prirodnih brojeva.

Zadatak 1.

Koliki je n ako je zbroj prvih n prirodnih brojeva 861?

n=41


Problemi koji se svode na kvadratne jednadžbe

Primjer 2.

Odredimo prirodni broj čiji je kvadrat za 3 veći od prethodnika.

Ako taj broj označimo slovom n, uvjet da je kvadrat za 3 veći od prethodnika matematički bismo zapisali: n2=3+n-1.

Dobili smo kvadratnu jednadžbu n2-n-2=0 čija rješenja su n1=2,n2=-1. Kako se traži prirodan broj, rješenje je n=2.

Zadatak 2.

Odredite broj koji je za 2 manji od svog kvadrata.​

x1=2,x2=-1   ​


Zadatak 3.

Odredite prirodan broj ako je suma njegovih prethodnika i sljedbenika jednaka kvadratu toga broja.

2


Primjer 3.

Bazen
Bazen

Dvjema cijevima (širom i užom) bazen se napuni za 6 sati. Isti bazen bi se punio 5 sati dulje kad bi se punio samo užom cijevi. Za koliko vremena bi se napunio bazen uporabom samo uže cijevi? ​

Iz fizike znamo da je brzina jednaka kvocijentu puta i vremena, tj. vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini.

v=st

t=sv 

Neka je

x - vrijeme za koje uža cijev napuni bazen ​

x-5 - vrijeme za koje šira cijev napuni bazen.

Tada je brzina kojom uža cijev napuni 1 bazen jednaka vu=1x.

Brzina kojom šira cijev napuni bazen je vš=1x-5.

Brzina kojom zajedno napune 1 bazen (s=1it=6h) je vz=16.

Dakle, 1x+1x-5=16.

Množeći jednadžbu s nazivnicima i sređivanjem dolazimo do kvadratne jednadžbe:

x2-17x+30=0.

Rješenja te jednadžbe su :​ x1=15,x2=2.

Kako mora biti x>5, slijedi da je x=15.

Samo uža cijev napuni bazen za 15 sati, a samo šira za 10 sati.

Problemi koji se svode na sustav kvadratne i linearne jednadžbe

Matematička interpretacija nekih problema svodi se na sustav kvadratne i linearne jednadžbe.

Primjer 4.

Pravokutnik
Pravokutnik

Jedna stranica pravokutnika je za 5cm dulja od druge. Odredimo duljine stranica pravokutnika ako je njegova površina 24cm2.

Znamo da je jedna stranica pravokutnika za 5cm dulja od druge, a njegova površina je 24cm2.

Označimo stranice pravokutnika oznakama a i b. Iz uvjeta zadatka tada slijedi a=b+5.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku stranica, pa je a·b=24.

Sustav glasi: a=b+5 i a·b=24.

Supstitucijom linearne u kvadratnu jednadžbu imamo ​

(b+5)·b=24

b2+5b-24=0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su​ b1=3b2=-8. Kako duljina stranice ne može biti negativna, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje b=3cm. Tada je duljina stranice a za 5cm veća od b, 8cm.

Zadatak 4.

Ana i njen brat
Sofija i njezin brat

Sofijin brat rođen je kad je ona imala 3 godine. Koliko godina ima Sofija danas ako je umnožak njihovih godina 28?

Sofija ima 7 godina.


Zadatak 5.

Opseg pravokutnika iznosi 23cm, a njegova površina iznosi 30cm2. Kolike su duljine stranica pravokutnika?

a=4cm

b=7.5cm


Kutak za znatiželjne

vrt
Vrt

Baka Ana je kupila 16m žice. Kako može ograditi svoj vrt oblika pravokutnika, a da površina ograđenog dijala bude najveća?

Pogledajmo ovisnost površine o duljinama stranica pravokutnika

Povećaj ili smanji interakciju

Površina je najveća kada se radi o kvadratu. Kvadrat kojem je opseg 16m ima duljinu stranice 4m.


...i na kraju

Problemi čiji matematički zapis se svodi na kvadratnu jednadžbu ili na sustav linearne i kvadratne jednadžbe nazivaju se problemi drugog stupnja.