Zbroj prvih
n prirodnih brojeva možemo izračunati formulom
n(n+1)2.
Ova formula je poznata kao Gaussova dosjetka. Jednom zgodom je Gaussov učitelj, želeći biti slobodan, razredu zadao zadatak da odrede zbroj prvih
100 prirodnih brojeva. Gauss je uočio da u tom nizu ima
50 parova brojeva, čiji je zbroj
101:
(1+100)+(2+99)+...+(50+51).
I za nekoliko trenutaka odredio je sumu prvih
100 prirodnih brojeva:
5050.
Matematički prikaz raznih problema iz svakodnevnog života ili struke često se svodi na kvadratne jednadžbe ili sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi. Takvi problemi nazivaju se problemi drugog stupnja.
Da bismo riješili probleme drugog stupnja, najvažnije je problemski zadatak točno matematički interpretirati.
Postupak rješavanja problema drugog stupnja provodimo u nekoliko koraka:
nekoliko puta pažljivo pročitati problem
uočiti koji podaci su nam poznati, a što se očekuje da izračunamo
imenovati poznate i nepoznate varijable
ako je potrebno, grafički predočiti problem pomoću slika, tablica i sl.
postaviti matematičke veze između poznatih i nepoznatih veličina
napisati jednadžbe ili sustave jednadžbi
riješiti matematički zapis problema
interpretirati rješenje
provjeriti točnost i smislenost rješenja.
Primjer 1.
Koliki je
n ako je zbroj prvih
n prirodnih brojeva
210?
Zbroj prvih
n prirodnih brojeva računamo formulom
n(n+1)2.
Ako znamo da je zbroj jednak
210, možemo postaviti jednadžbu
n(n+1)2=210.
n(n+1)=420
n2+n-420=0
n1,2=-1±√1+8412
n1,2=-1±292
n1=20
n2=-21
Kako
n ne može biti negativan broj, uvjet zadatka da je zbroj
210 zadovoljava prvih
20 prirodnih brojeva.
Zadatak 1.
Koliki je n ako je zbroj prvih
n prirodnih brojeva
861?
n=41
Problemi koji se svode na kvadratne jednadžbe
Primjer 2.
Odredimo prirodni broj čiji je kvadrat za3 veći od prethodnika.
Ako taj broj označimo slovom n,uvjet da je kvadrat za3 veći od prethodnika matematički bismo zapisali: n2=3+n-1.
Dobili smo kvadratnu jednadžbu n2-n-2=0čija rješenja su n1=2,n2=-1. Kako se traži prirodan broj, rješenje je n=2.
Dvjema cijevima (širom i užom) bazen se napuni za
6 sati. Isti bazen bi se punio
5 sati dulje kad bi se punio samo užom cijevi. Za koliko vremena bi se napunio bazen uporabom samo uže cijevi?
Iz fizike znamo da je brzina jednaka kvocijentu puta i vremena, tj. vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini.
v=st
t=sv
Neka je
x - vrijeme za koje uža cijev napuni bazen
x-5 - vrijeme za koje šira cijev napuni bazen.
Tada je brzina kojom uža cijev napuni
1 bazen jednaka
vu=1x.
Brzina kojom šira cijev napuni bazen je
vš=1x-5.
Brzina kojom zajedno napune
1 bazen
(s=1it=6h) je
vz=16.
Dakle,
1x+1x-5=16.
Množeći jednadžbu s nazivnicima i sređivanjem dolazimo do kvadratne jednadžbe:
x2-17x+30=0.
Rješenja te jednadžbe su :
x1=15,x2=2.
Kako mora biti
x>5, slijedi da je
x=15.
Samo uža cijev napuni bazen za
15 sati, a samo šira za
10 sati.
Problemi koji se svode na sustav kvadratne i linearne jednadžbe
Matematička interpretacija nekih problema svodi se na sustav kvadratne i linearne jednadžbe.
Primjer 4.
Pravokutnik
Jedna stranica pravokutnika je za
5cm dulja od druge. Odredimo duljine stranica pravokutnika ako je njegova površina
24cm2.
Znamo da je jedna stranica pravokutnika za
5cm dulja od druge, a njegova površina je
24cm2.
Označimo stranice pravokutnika oznakama
a i
b. Iz uvjeta zadatka tada slijedi a=b+5.
Površina pravokutnika jednaka je umnošku stranica, pa je
a·b=24.
Sustav glasi:
a=b+5 i
a·b=24.
Supstitucijom linearne u kvadratnu jednadžbu imamo
(b+5)·b=24
b2+5b-24=0
Rješenja ove kvadratne jednadžbe su
b1=3b2=-8. Kako duljina stranice ne može biti negativna, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje
b=3cm. Tada je duljina stranice
a za
5cm veća od
b,8cm.