Matematika 2 - 2.1 Kvadratna jednadžba

Na početku...

Što je to kvadratna jednadžba?

U prvom razredu rješavali smo jednadžbe slične ovoj:

$(x + 2) (x - 3) = 0.$

Možete li pokušati pogoditi rješenje?

Tražimo dva faktora čiji je umnožak jedanak $0 .$

Što možemo reći o faktorima čiji je umnožak jedanak $0 ?$

Jedan od faktora mora biti $0 .$ Na taj način jednadžbu iz primjera svodimo na dvije jednadžbe:

$(x + 2) = 0$

$(x - 3) = 0$

Rješenja ovih dviju jednadžbi su $- 2$ i $3 .$

A što ćemo dobiti ako u gornjoj jednadžbi pomnožimo izraze u zagradama?

$x^{2} - x - 6 = 0$

Ovako zapisana jednadžba naziva se kvadratna jednadžba.

Povezani sadržaji

Kako je sve počelo?

Svaka jednadžba oblika $a x^{2} + b x + c = 0,$ gdje su $a,$ $b,$ $c$ realni brojevi i gdje je $a \neq 0,$ zove se kvadratna jednadžba.

Uvjet $a \neq 0$ osigurava da jednadžba sadrži $x^{2} .$

Za $a = 0$ jednadžba prelazi u linearnu jednadžbu.

Članovi kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba sadrži kvadratni član, linearni član i slobodni član.

Primjer 1.

Odredimo članove zadanih kvadratnih jednadžbi!

$- 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0,$

$3 x - x^{2} + 5 = 0,$

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{5}{2} = 0,$

$- 5 x^{2} + 7 x = 0 .$

$- 3 x^{2}$ je kvadratni član, $5 x$ je linearni član, $- 2$ je slobodni član
$- x^{2}$ je kvadratni član, $3 x$ je linearni član, $5$ je slobodni član
$\frac{7}{2} x^{2}$ je kvadratni član, $0$ je linearni član, $\frac{5}{2}$ je slobodni član
$- 5 x^{2}$ je kvadratni član, $7 x$ je linearni član, $0$ je slobodni član

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

U kvadratnoj jednadžbi $a x^{2} + b x + c = 0$ brojeve $a, b$ i $c$ zovemo:

KVADRATNI ILI VODEĆI KOEFICIJENT $a,$

LINEARNI KOEFICIJENT $b,$

SLOBODNI KOEFICIJENT $c .$

Primjer 2.

Odredimo koeficijente zadanih kvadratnih jednadžbi!

$- 7 x^{2} + 6 x - 2 = 0,$

$\frac{6}{5} x^{2} - x = 0,$

$x^{2} + 7 = 0,$

$- 7 + 4 x - 5 x^{2} = 0 .$

Kvadratni ili vodeći koeficijent jednak je $- 7,$ linearni koeficijent jednak je $6,$ slobodni koeficijent jednak je $- 2 .$
Kvadratni ili vodeći koeficijent jednak je $\frac{6}{5},$ linearni koeficijent jednak je $- 1,$ slobodni koeficijent jednak je $0 .$
Kvadratni ili vodeći koeficijent jednak je $1,$ linearni koeficijent jednak je $0,$ slobodni koeficijent jednak je $7 .$
Kvadratni ili vodeći koeficijent jednak je $- 5,$ linearni koeficijent jednak je $4,$ slobodni koeficijent jednak je $- 7 .$

Rješenja kvadratne jednadžbe

Kvadratnu jednadžbu $(x + 2) (x - 3) = 0$ rješavali smo u uvodu.

Izračunali smo rješenja $- 2$ i $3 .$ Kako ćemo provjeriti jesu li to zaista rješenja zadane jednadžbe?

Umjesto nepoznanice uvrstit ćemo brojeve koje smo izračunali:

$\begin{array}{l} (- 2 + 2) (- 2 - 3) = 0 \\ 0 \cdot (- 5) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (3 + 2) (3 - 3) = 0 \\ 5 \cdot 0 = 0 \end{array}$

Uvrštavanjem rješenja dobili smo ispravnu jednakost, dakle rješenja su točna.

Riješiti kvadratnu jednadžbu znači odrediti vrijednost nepoznanice koja će zadovoljavati tu jednadžbu. Uvrštavanjem rješenja u kvadratnu jednadžbu provjeravamo točnost rješenja.

Primjer 3.

Provjerimo jesu li zadani brojevi rješenja kvadratnih jednadžbi!

$x_{1} = - \frac{1}{2},$ $x_{2} = - 3,$ $x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{3}{2} = 0$ ;

$x_{1} = 2 + 3 i,$ $x_{2} = 2 - 3 i,$ $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ;

$x_{1} = \frac{7}{2},$ $x_{2} = - 5,$ $x^{2} - 2 x - 35 = 0 .$

$\begin{array}{l} {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{2} = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} = 0 \end{array}$

Prvi broj je rješenje zadane jednadžbe.

$\begin{array}{l} {(- 3)}^{2} - \frac{5}{2} \cdot (- 3) - \frac{3}{2} = 9 + \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = 9 + 6 = 15 \end{array}$

Drugi broj nije rješenje zadane jednadžbe.

Dobro je uvijek provjeriti i jedno i drugo rješenje.
$\begin{array}{l} (2 + 3 i)^{2} - 4 (2 + 3 i) + 4 = 4 + 12 i - 9 - 8 - 12 i + 4 = - 9 \end{array}$

Zadani brojevi nisu rješenje kvadratne jednadžbe. Provjerili smo za prvi, a vi provjerite i drugi.
$\begin{array}{l} {(\frac{7}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{7}{2} - 35 = \frac{49}{4} - 7 - 35 = - \frac{119}{4} \end{array}$

Prvi broj nije rješenje zadane jednadžbe. Pokušajte sami provjeriti drugo rješenje.

2.1 Kvadratna jednadžba

Na početku...

Povezani sadržaji

Članovi kvadratne jednadžbe

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Rješenja kvadratne jednadžbe

...i na kraju

2.2 Posebni oblici kvadratne jednadžbe

$(x + 2) (x - 5) = 0$
$(4 - x) (x + 7) = 0$
$(\frac{1}{2} - x) (x - 6) = 0$

$5 x^{2}$
$4$
$- 7 x$