Matematika 2 - 9.2 Prizme

Geometrijska tijela

Zadatak 1.

U 8. razredu ste učili o geometrijskim tijelima. U malom kvizu podsjetimo se što ste naučili.

Geometrijsko tijelo je dio

omeđen plohama. Plohe koje omeđuju

mogu biti ravne ili

.

prostora

zakrivljene

tijelo

null

null
Prizme su konkavna geometrijska tijela.

Da

Ne

null

null
Konveksna geometrijska tijela dijelimo na:

uglata

kružna

obla

trokutasta

okrugla

null

null
Odaberite uglata konveksna geometrijska tijela.

Valjak

Prizma

Kugla

Piramida

null

null
Poliedri su tijela koja su omeđena samo

plohama.

tijela su tijela koja su omeđena barem jednom zakrivljenom plohom.

ravnim

Obla

null

null

Definicija i elementi prizme

Prizma je geometrijsko tijelo omeđeno s dva međusobno sukladna $n$ –terokuta (koji pripadaju međusobno usporednim ravninama, a nazivamo ih bazama ili osnovkama prizme) te s $n$ paralelograma koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje prizme. Baze i pobočke jednim imenom nazivamo stranama prizme.

Baze ili osnovice prizme su mnogokuti. Zovemo ih donja i gornja baza.

Prema vrsti mnogokuta koji je baza prizme mogu biti trostrane (baza je trokut), četverostrane (baza je četverokut), ... $n$ -terostrane (baza je $n$ -terokut).

Stranice na bazama prizme zovu se osnovni bridovi. Spojnice vrhova gornje i donje baze su bočni bridovi prizme.

Pobočke su paralelogrami. Broj pobočki jednak je broju vrhova baze. Sve pobočke zajedno čine pobočje.

Visina prizme je udaljenost ravnina u kojima leže baze.

Ako su pobočke okomite na ravninu baze, kažemo da je prizma uspravna.

Nazive za dijelove prizme povucite na pravo mjesto.

baza

vrh

pobočka

osnovni brid

visina

null

Primjer 1.

Pauk se nalazi u sobi koja je oblikom kocka. Krenuo je iz gornjeg vrha sobe. Obišao gornju bazu po osnovnim bridovima. Zatim se spustio i obišao donju bazu (pod) po zidovima. Na kraju se vratio na mjesto (vrh) iz kojeg je krenuo. Ako su bridovi sobe $2$ metra, koliko je metara ukupno pauk prešao?

Možete nacrtati skicu.

Pauk je kod obilaska gornje baze prešao $8$ metara. Za spuštanje su mu bila potrebna $2$ metra. Obilazak donje baze još $8$ metara i vraćanje na početak $2$ metra.

Pauk je ukupno prešao $20$ metara.

Zadatak 2.

Kocka je uspravna prizma kojoj je baza kvadrat, a visina joj je jednaka duljini osnovnog brida.

Skicirajte kocku na papiru te odgovorite koliko vrhova, bridova i strana ima kocka.

Kocka ima

8

vrhova,

12

bridova i

6

strana.

Eulerova formula

Pogledajte trostranu, četverostranu i peterostranu prizmu i odgovorite koliko vrhova, strana (baze + pobočke) i bridova (osnovnih i bočnih) imaju. Možete li dovesti u vezu te brojeve s brojem koji nam kaže koja je to prizma? Imaju li svi ti brojevi nešto zajedničko? Možemo li na osnovi broja strana, vrhova ili bridova odrediti o kojoj prizmi se radi?

Zadatak 3.

Trostrana prizma ima:

Vrhova
Bridova
Strana

null

Četverostrana prizma ima:

Vrhova
Bridova
Strana

null

Peterostrana prizma ima:

Vrhova
Bridova
Strana

null

$n$ -terostrana prizma ima:

Vrhova
Bridova
Strana

null

Kad od zbroja vrhova i strana bilo koje prizme oduzmemo broj bridova, dobit ćemo:

$n$

$2$

$3$

null

null

Broj vrhova, bridova i strana prizme možemo izračunati ako znamo o kojoj se prizmi radi.

Za $n$ -terostranu prizmu je:

Broj vrhova = $2 n$

Broj bridova = $3 n$

Broj stranica = $n + 2$

Za vrhove, bridove i strane vrijedi Eulerova formula: $V - B + S = 2 .$

Zadatak 4.

Prizma ima $7$ strana i $10$ vrhova. Koliko bridova ima prizma? O kojoj prizmi je riječ?

$V - B + S = 2$

$10 - B + 7 = 2$

$B = 10 + 7 - 2 = 15$

Kako je broj vrhova $10,$ radi se o peterostranoj prizmi.

Nacrtajmo skicu prizme u prostoru

izometrični papir-pomoć kod crtanja prizmi u prostoru.

Dobro je znati skicirati prizmu. Skica nam često daje ideju kako riješiti zadani problem. No to nije uvijek i svima jednostavno. Uz pomoć papira s uzorkom trebalo bi biti lakše.

Primjer 2.

Prizme s pomoću ovog predloška možemo crtati u tri koraka:

nacrtamo donju bazu

iz svakog vrha baze povučemo jednako dugu visinu

spojimo krajeve u gornju bazu.

Zadatak 5.

Na papiru s predloškom nacrtajte prizmu čije su dimenzije: $2,$ $3$ i $5$ mjernih jedinica.

Na slici su prikazana tri rješenja.

Jesu li to sve mogućnosti?

Vrste prizmi

Kose prizme - primjer iz arhitekture. — Kose prizme

Pogledajte zgrade na slici. Obje su prizme, ali se razlikuju od prizmi koje smo do sada crtali. Zgrade su u obliku kosih prizmi. Razlikujemo kose i uspravne prizme.

Prizma je uspravna ako su pobočke prizme okomite na ravninu baze. Pobočke uspravne prizme su pravokutnici.

Pobočke uspravne prizme su pravokutnici. Jesu li i pobočke kose prizme pravokutnici?

Pogledajte u sljedećoj interakciji kosu prizmu. Možete ovu prizmu promotriti iz raznih kutova. Uz upotrebu opcija sa slike također možete vidjeti pogled na prizmu odozgo, sa strane ili sprijeda.

Kosa prizma-upute za korištenje interakciije

Promotrite sliku. Po čemu se pravilne prizme razlikuju od nepravilnih? Pažljivo pogledajte baze pravilnih prizmi.

Koje geometrijske likove uočavate?

Baze su jednakostranični trokut i kvadrat.

Uspravna prizma je pravilna ako su njezine baze pravilni mnogokuti.

Povežite prizmu s vrstom prizme

null

Prizma i njezina mreža

Razrežemo li $n$ -terostranu prizmu duž jednog pobočnog brida i duž $n - 1$ brida gornje i donje baze pa sve nastale likove razvijemo u ravninu, dobit ćemo mrežu prizme.

Pogledajte četvrostranu uspravnu prizmu i njezinu mrežu.

Primjer 3.

Možemo li na osnovi mreže odrediti o kakvoj prizmi se radi?

Pogledajte mrežu na slici.

Koji geometrijski likovi su baze tog tijela? Jednakostranični trokuti.

Koja je to prizma? Pravilna trostrana prizma.