Processing math: 56%
x
Učitavanje

6.4 Računanje s logaritmima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Umnožak logaritama

Prema pisanju matematičara i pisca Iana Stewarta u knjizi "U potrazi za nepoznatim: 17 jednadžbi koje su promijenile svijet", među tih 17 veličanstvenih nalazi se i jednadžba:

Što je razlog toj izjavi? Kako je jedna jednadžba mogla promijeniti svijet?

Ako bolje pogledate, na jednoj strani je množenje, a na drugoj zbrajanje. S pomoću te jednadžbe množenje se svodi na zbrajanje. Do razvoja računala to je bio jedan od uobičajenih načina množenja velikih brojeva.

Primjena je ubrzala izračune u astronomiji, fizici i inženjeringu.

William Oughtred - izumitelj logaritamskog računala
William Oughtred

Tko je i kada izumio prvo pomagalo za računanje? Govorimo o prvom "kalkulatoru".

Nakon što je John Napier objavio koncept o logaritmima, Edmund Gunter (matematičar, geometar, svećenik i astronom) razmišlja o mehaničkom pomagalu za računanje. Oko 1620. on izrađuje Gunterovu ljestvicu, na kojoj se s pomoću šestara moglo množiti i dijeliti. Iz te sprave kasnije se razvilo logaritamsko računalo.

1632. William Oughtred konstruirao je prvo logaritamsko računalo, zapravo dvije vrste: linijsko i kružno. Opisao ih je u knjizi "Krugovi proporcija i vodoravna sprava".

Svojstva logaritamske funkcije

Svojstva koja ćemo navesti posljedica su svojstava eksponencijalne funkcije koja ste već istraživali. Za početak imamo dva jednostavna pravila koja proizlaze iz veze eksponencijalne i logaritamske funkcije, a koja ste već spominjali.

(1)logaa=1 zato što je a1=a

(2)loga1=0 zato što je a0=1

Tim svojstvima često ćemo se koristiti u idućim primjerima i zadacima, kao i jednostavnijim izračunima vrijednosti logaritamske funkcije preko definicije.

Često se koristimo:

lne=1

log10=1

Logaritam umnoška

Prvo svojstvo ili pravilo je ono koje smo naveli u uvodu, pravilo umnoška, koje je posljedica pravila am·an=am+n.

Za bilo koja dva pozitivna broja m i n i bazu a vrijedi pravilo:

(3)loga(m·n)=logam+logan

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

Dokažimo ovo pravilo.

logam=Xm=aX

logan=Yn=aY

Sada imamo:

m·n=aX·aY=aX+Yloga(m·n)=X+Y=logam+logan

Primjer 1.

  1. Izraz log2(32) izrazimo kao sumu logaritama.

    log2(32)=log2(2·16)=log22+log216=1+4=5

  2. Izraz logap3+logaq napišimo kao jedan logaritam.

    logap3+logaq=loga(p3·q)

Zadatak 1.

Izraze prikažite kao zbroj logaritama.

  1. log5(5·25)
  2. log(0.2·x)
  3. ln(2e)
  1. log5(5·25)=log55+log525=1+2=3
  2. log(0.2·x)=log210+logx=log15+logx
  3. ln(2e)=ln2+lne=ln2+1

Logaritam potencije

Za svaki pozitivni broj m, bazu logaritma a, i svaki relani broj p vrijedi pravilo:

(4)logamp=p·logam

Logaritam potencije s bazom m i eksponentom p jednak je umnošku eksponenta p i logaritma od m.

Dokažimo!

Neka je X=logam.

X=logamaX=m

Potencirajmo obje strane eksponentom p.

(aX)p=mpaXp=mp

Prikažimo sada kao logaritam.

logamp=Xp, što uz X=logam daje:

logamp=(logam)·p=p·logam

Primjer 2.

Na izraze primijenimo pravilo logaritma potencije.

  1. log1111-3
  2. log7449
  3. lnx5

Rješenje:

  1. log1111-3=-3·log1111=-3
  2. log7449=14log749=14·2=12
  3. lnx5=5·lnx

Zadatak 2.

Izraze napišite kao umnožak.

  1. logay5
  2. log1003
  3. ln3e
  1. logay5=5logay
  2. log1003=3log100=3·2=6
  3. ln3e=lne13=13lne=13

Logaritam kvocijenta

Za svaki pozitivan broj m i n i svaku bazu logaritma a vrijedi:

(5)logamn=logam-logan

Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama djeljenika i djelitelja.

Dokaz tog pravila izvest ćemo koristeći se pravilom za logaritam produkta i potencije.

logamn= loga(m·n-1)=logam+logan-1=logam+(-1)·logan=logam-logan

Primjer 3.

  1. Prikažimo kao razliku logaritama izraz log24b

    log2(4b)=log24-log2b=2-log2b

  2. Izraz prikažimo kao jedan logaritam.

    logb64-logb16=logb(6416)=logb4

Zadatak 3.

Primijenite pravilo za logaritam kvocijenta u sljedećim zadacima.

  1. Prikažite kao razliku logaritama

    logb754

  2. Prikažite kao jedan logaritam i pojednostavnite.

    log0.01-log100

  1. logb754=logb75-logb4
  2. log0.01-log100=log(0.01100)=log(1100100)=log(110000)=log10000-1=-1log10000=-4

 Primijenite pravila za računanje s logaritmima i spojite izraze.

logam-logan 
logamn  ​
logam+logan 
logamp  ​
plogam  ​
loga(m·n)  ​
null
null

Primjena pravila

Primjer 4.

Izraz logaby3x2y4 napišimo u obliku sume ili razlike logaritama.

logaby3x2y4=loga(by3)-loga(x2y4) pravilo za logaritam kvocijenta

logaby3x2y4=logab+logay3-(logax2+logay4) pravilo za logaritam umnoška

logaby3x2y4=logab-logay-2logax pravilo za logaritam potencije

Pojednostavnimo izraz.

5logax-logab+13logay

5logax-logab+13logay=logax5-logab+loga3y pravilo za logaritam potencije

5logax-logab+13logay=logax5b+loga3y pravilo za logaritam kvocijenta

5logax-logab+13logay=loga(x53yb) pravilo za logaritam umnoška

Primjer 5.

Ako je zadano logb20.301 i logb30.477, izračunajte vrijednost izraza

  1. logb6
  2. logb23

Riješenje:

  1. logb6=logb(2·3)=logb2+logb3=0.301+0.4770.778
  2. logb23=logb2-logb3=0.301-0.477-0.176

Zadatak 4.

  1. Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao sumu ili razliku logaritama.

    • ln32x5
    • logx6p5q
    • logc3xyz5a2b4
  2. Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao jedan logaritam.

    • logn10 
    • ln 27 - ln 9
    • 1 2 log x a - log x 2
  3. Ako je zadano log a 3 1.099 i log a 5 1.609 , izračunajte vrijednost izraza.

    • log a 5 3
    • log a 3 a
    • log a 15 a
    1. ln 3 - ln 2 - 5 ln x
    2. 3 log x - 5 2 log p - 1 2 l o g q
    3. 1 3 log c x + 1 3 log c y + 5 3 log c z - 2 3 log c a - 4 3 log c b
    1. log n 100
    2. ln 3
    3. log a 2
    1. 0.510
    2. 0.099
    3. 3.708

Izrazi a log a x i log a a x

U prethodnim jedinicama kroz kompoziciju funkcija već ste vidjeli čemu su ova dva izraza jednaka. Dokažimo sada algebarski.

Ako je y = log a x , slijedi da je a y = x . Sad prvi izraz uvrstimo u drugi.

a log a x = x 6  

Drugo pravilo posljedica je logaritma produkta.

log a a x = x log a a = x · 1 = x 7  

Primjer 6.

Pojednostavnimo sljedeće izraze.

  1. log b b 4

    Primijetimo da ovdje izraz možemo pojednostavniti direktno primjenom pravila 6 ili koristeći se logaritmom potencije i log b b = 1 .

    U oba slučaja rješenje je jednako 4 .

    Sad već znate nekoliko postupaka koje možete primijeniti kod rješavanja zadataka. Većina zadataka može se riješiti na barem dva načina. Na vama je da izaberete brži ili zanimljiviji, ovisno o situaciji.

  2. ln e - 2 = - 2
  3. log 10 - 3 = - 3

Primjer 7.

Pojednostavnimo sljedeće izraze.

  1. 2 log 2 3 5 = 3 5
  2. e ln 7 = 7
  3. 10 log 5 = 5

Zadatak 5.

Pojednostavnite izraze koristeći se pravilima 6 i 7 .

  1. log c c 5
  2. ln e x - 3
  3. 5 log 5 3 - y
  4. e ln x - 2 2
  1. 5
  2. x - 3
  3. 3 - y
  4. x - 2 2

Pravilo za promjenu baze

Za promjenu baze logaritma koristimo se sljedećim pravilom:

log b m = log a m log a b

Dokažimo to pravilo.

Neka je x = log b m .

Slijedi da je b x = m, prema definiciji logaritma.

Logaritmirajmo obje strane:

log a b x = log a m

x log a b = log a m

x = log a m log a b

Slijedi x = log b m = log a m log a b

Primjer 8.

Na džepnom računalu imamo samo dekadski i prirodni logaritam. Izračunajmo džepnim računalom log 5 10 .

  1. Koristimo se dekadskim logaritmom i mijenjamo bazu 5 u bazu 10 , prema pravilu za promjenu baze.​

    log 5 10 = log 10 log 5 1 0.699 1.431

  2. Koristimo se prirodnim logaritmom.

    log 5 10 = ln 10 ln 5 2.303 1.609 1.431

Zadatak 6.

Koristeći se džepnim računalom izračunajte sljedeće logaritme s pomoću dekadskog ili prirodnog logaritma.

  1. log 3 1 5
  2. log 4 7  
  1. - 1.465    
  2. 1.404  

Ponovimo i primijenimo pravila.

log x a + log x b = log x a + b  

null
null

log x a - log x b = log x a b  

null
null

log x a p = log x a p  

null
null

log a a b m = m + m log a b   ​

null
null

Ako je log b y = 2 , koliko je log b 1 y

null
null

log a x + log a y - m n = 0  

Zapišite bez logaritama.

null
null

Kutak za znatiželjne

U uvodnom dijelu predstavljen vam je logaritam umnoška, s pomoću kojega množenje zamjenjujemo zbrajanjem i tako pojednostavnjujemo računanje s velikim brojevima. Danas nam to nije toliko važno, ali u prošlosti je bilo veoma bitno moći pomnožiti veliki broj velikim brojem, i to brzo.

Pogledajte video u kojem će vam Toni Milun objasniti kako s pomoću logaritama množiti velike brojeve.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Kreativnost ne znači samo proučavanje jednog područja u detalje. Kreativnost je povezivanje različitih područja.

Da bi se brže računalo matematičari su tražili alat. Pogledajte zašto je to trebalo pomorcima i kako su matematičari, astronomi i izumitelji instrumenata pomogli da plovidba bude sigurnija.

Idemo na sljedeću jedinicu

6.5 Modeliranje logaritamskom funkcijom