Prema pisanju matematičara i pisca Iana Stewarta u knjizi "U potrazi za nepoznatim: 17 jednadžbi koje su promijenile svijet", među tih 17 veličanstvenih nalazi se i jednadžba:
Što je razlog toj izjavi? Kako je jedna jednadžba mogla promijeniti svijet?
Ako bolje pogledate, na jednoj strani je množenje, a na drugoj zbrajanje. S pomoću te jednadžbe množenje se svodi na zbrajanje. Do razvoja računala to je bio jedan od uobičajenih načina množenja velikih brojeva.
Primjena je ubrzala izračune u astronomiji, fizici i inženjeringu.
Tko je i kada izumio prvo pomagalo za računanje? Govorimo o prvom "kalkulatoru".
Nakon što je John Napier objavio koncept o logaritmima, Edmund Gunter (matematičar, geometar, svećenik i astronom) razmišlja o mehaničkom pomagalu za računanje. Oko 1620. on izrađuje Gunterovu ljestvicu, na kojoj se s pomoću šestara moglo množiti i dijeliti. Iz te sprave kasnije se razvilo logaritamsko računalo.
1632. William Oughtred konstruirao je prvo logaritamsko računalo, zapravo dvije vrste: linijsko i kružno. Opisao ih je u knjizi "Krugovi proporcija i vodoravna sprava".
Svojstva koja ćemo navesti posljedica su svojstava eksponencijalne funkcije koja ste već istraživali. Za početak imamo dva jednostavna pravila koja proizlaze iz veze eksponencijalne i logaritamske funkcije, a koja ste već spominjali.
(1)logaa=1 zato što je
a1=a
(2)loga1=0 zato što je
a0=1
Tim svojstvima često ćemo se koristiti u idućim primjerima i zadacima, kao i jednostavnijim izračunima vrijednosti logaritamske funkcije preko definicije.
Često se koristimo:
lne=1
log10=1
Prvo svojstvo ili pravilo je ono koje smo naveli u uvodu, pravilo umnoška, koje je posljedica pravila am·an=am+n.
Za bilo koja dva pozitivna broja m i n i bazu a vrijedi pravilo:
(3)loga(m·n)=logam+logan
Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.
Dokažimo ovo pravilo.
logam=X⇒m=aX
logan=Y⇒n=aY
Sada imamo:
m·n=aX·aY=aX+Y⇒loga(m·n)=X+Y=logam+logan
Primjer 1.
Izraz log2(32) izrazimo kao sumu logaritama.
log2(32)=log2(2·16)=log22+log216=1+4=5
Izraz logap3+logaq napišimo kao jedan logaritam.
logap3+logaq=loga(p3·q)
Izraze prikažite kao zbroj logaritama.
Za svaki pozitivni broj m, bazu logaritma a, i svaki relani broj p vrijedi pravilo:
(4)logamp=p·logam
Logaritam potencije s bazom m i eksponentom p jednak je umnošku eksponenta p i logaritma od m.
Dokažimo!
Neka je
X=logam.
X=logam⇒aX=m
Potencirajmo obje strane eksponentom p.
(aX)p=mp⇒aXp=mp
Prikažimo sada kao logaritam.
logamp=Xp, što uz X=logam daje:
logamp=(logam)·p=p·logam
Primjer 2.
Na izraze primijenimo pravilo logaritma potencije.
- log1111-3
- log74√49
- lnx5
Rješenje:
- log1111-3=-3·log1111=-3
- log74√49=14log749=14·2=12
- lnx5=5·lnx
Izraze napišite kao umnožak.
Za svaki pozitivan broj m i n i svaku bazu logaritma a vrijedi:
(5)logamn=logam-logan
Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama djeljenika i djelitelja.
Dokaz tog pravila izvest ćemo koristeći se pravilom za logaritam produkta i potencije.
logamn= loga(m·n-1)=logam+logan-1=logam+(-1)·logan=logam-logan
Primjer 3.
Prikažimo kao razliku logaritama izraz log24b
log2(4b)=log24-log2b=2-log2b
Izraz prikažimo kao jedan logaritam.
logb64-logb16=logb(6416)=logb4
Primijenite pravilo za logaritam kvocijenta u sljedećim zadacima.
Prikažite kao razliku logaritama
logb754
Prikažite kao jedan logaritam i pojednostavnite.
log0.01-log100
Primijenite pravila za računanje s logaritmima i spojite izraze.
logam-logan
|
logamn |
logam+logan
|
logamp |
plogam
|
loga(m·n) |
Primjer 4.
Izraz logaby3x2y4 napišimo u obliku sume ili razlike logaritama.
logaby3x2y4=loga(by3)-loga(x2y4) pravilo za logaritam kvocijenta
logaby3x2y4=logab+logay3-(logax2+logay4) pravilo za logaritam umnoška
logaby3x2y4=logab-logay-2logax pravilo za logaritam potencije
Pojednostavnimo izraz.
5logax-logab+13logay
5logax-logab+13logay=logax5-logab+loga3√y pravilo za logaritam potencije
5logax-logab+13logay=logax5b+loga3√y pravilo za logaritam kvocijenta
5logax-logab+13logay=loga(x53√yb) pravilo za logaritam umnoška
Primjer 5.
Ako je zadano logb2≈0.301 i logb3≈0.477, izračunajte vrijednost izraza
- logb6
- logb23
Riješenje:
- logb6=logb(2·3)=logb2+logb3=0.301+0.477≈0.778
- logb23=logb2-logb3=0.301-0.477≈-0.176
Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao sumu ili razliku logaritama.
Primijenite pravila za računanje s logaritmima i napišite kao jedan logaritam.
Ako je zadano i izračunajte vrijednost izraza.
U prethodnim jedinicama kroz kompoziciju funkcija već ste vidjeli čemu su ova dva izraza jednaka. Dokažimo sada algebarski.
Ako je slijedi da je Sad prvi izraz uvrstimo u drugi.
Drugo pravilo posljedica je logaritma produkta.
Primjer 6.
Pojednostavnimo sljedeće izraze.
Primijetimo da ovdje izraz možemo pojednostavniti direktno primjenom pravila ili koristeći se logaritmom potencije i
U oba slučaja rješenje je jednako
Sad već znate nekoliko postupaka koje možete primijeniti kod rješavanja zadataka. Većina zadataka može se riješiti na barem dva načina. Na vama je da izaberete brži ili zanimljiviji, ovisno o situaciji.
Primjer 7.
Pojednostavnimo sljedeće izraze.
-
Pojednostavnite izraze koristeći se pravilima i
Za promjenu baze logaritma koristimo se sljedećim pravilom:
Dokažimo to pravilo.
Neka je
Slijedi da je prema definiciji logaritma.
Logaritmirajmo obje strane:
Slijedi
Primjer 8.
Na džepnom računalu imamo samo dekadski i prirodni logaritam. Izračunajmo džepnim računalom
Koristimo se dekadskim logaritmom i mijenjamo bazu u bazu prema pravilu za promjenu baze.
Koristimo se prirodnim logaritmom.
Koristeći se džepnim računalom izračunajte sljedeće logaritme s pomoću dekadskog ili prirodnog logaritma.
Ponovimo i primijenimo pravila.
Ako je koliko je
Zapišite bez logaritama.
U uvodnom dijelu predstavljen vam je logaritam umnoška, s pomoću kojega množenje zamjenjujemo zbrajanjem i tako pojednostavnjujemo računanje s velikim brojevima. Danas nam to nije toliko važno, ali u prošlosti je bilo veoma bitno moći pomnožiti veliki broj velikim brojem, i to brzo.
Pogledajte video u kojem će vam Toni Milun objasniti kako s pomoću logaritama množiti velike brojeve.
Kreativnost ne znači samo proučavanje jednog područja u detalje. Kreativnost je povezivanje različitih područja.
Da bi se brže računalo matematičari su tražili alat. Pogledajte zašto je to trebalo pomorcima i kako su matematičari, astronomi i izumitelji instrumenata pomogli da plovidba bude sigurnija.