2.3 Rješavanje kvadratne jednadžbe

Svođenje na potpun kvadrat

Primjer 1.

Katete pravokutnog trokuta razlikuju se za $7\mathrm{cm}.$ Hipotenuza pravokutnog trokuta za $2\mathrm{cm}$ je dulja od veće katete. Izračunajmo duljinu kateta i hipotenuze.

Označimo s $x$ duljinu kraće katete. Tada je duljina druge katete $x+7,$ a hipotenuza duljine $x+7+2.$

Kako za pravokutni trokut vrijedi Pitagorin poučak, možemo pisati: $x^2+{\left(\begin{array}{l}x+7\end{array}\right)}^2={\left(\begin{array}{l}x+7+2\end{array}\right)}^2,$ odnosno: $x^2+{\left(\begin{array}{l}x+7\end{array}\right)}^2={\left(\begin{array}{l}x+9\end{array}\right)}^2.$ U ovom trenutku rješenje se ne vidi odmah kao u prethodnom primjeru.

Kvadrirajmo i sredimo kvadratnu jednadžbu: $x^2-4x-32=0.$

Ovaj oblik nam i dalje ne daje naslutiti moguća rješenja.

Pokušajte kao u prethodnom primjeru faktorizacijom broja 32 doći do rješenja $\left(x\right(x-4)=32).$

Dok ste sređivali jednadžbu, koristili ste se sljedećom formulom:

$\underset{\mathrm{Kvadrat}\mathrm{zbroja}}{\underset{⏟}{(x+7{)}^2}}=\underset{\mathbf{Potpun}\mathbf{kvadrat}}{\underset{⏟}{x^2+2·7·x+7^2}}$

Svaki trinom koji se može zapisati u obliku ${\mathrm{I}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{·}{\mathrm{I·II+II}}^{\mathrm{2}}$ naziva se potpun kvadrat i kraće ga zapisujemo kao kvadrat binoma:​

$\underset{\mathrm{Kvadrat}\mathrm{binoma}}{\underset{⏟}{(\mathrm{I+II}{)}^2}}=\underset{\mathrm{Potpun}\mathrm{kvadrat}}{\underset{⏟}{{\mathrm{I}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{·}{\mathrm{I·II+II}}^{\mathrm{2}}}}.$

Primjer 2.

​Kod rješavanja linearnih jednadžbi naučili smo da nepoznanice idu na jednu stranu, a poznate veličine na drugu stranu jednakosti $x^2-4x=32.$ Dopunimo izraz $x^2-4x$ do potpunog kvadrata.

Rastavimo srednji član i dodajmo kvadrat drugog člana na obje strane jednakosti: $x^2-2·2·x\mathbf{+}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=32\mathrm{+}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}.$

Sada potpun kvadrat možemo zapisati kao kvadrat binoma: $(x-2{)}^2=36.$

Na desnoj strani je pozitivan broj, pa jednadžba ima dva realna i različita rješenja:

$\begin{array}{l}x-2=-6\\ x-2=6\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_1=-4\\ x_2=8\end{array}$

Zadatak 1.

Analogno, dopunjavanjem do potpunog kvadrata, riješite uvodni primjer s podjelom čokolade.

U oba primjera dobili smo dva rješenja. Jedno rješenje smo pogodili rastavljanjem slobodnog člana na faktore. Ali što je s negativnim rješenjem? Nisu nam sva rješenja uvijek očita.

Općenito, svaka kvadratna jednadžba ima dva rješenja. U našim primjerima odbacili smo negativna rješenja. Zašto?

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu $x^2-2x+10=0$ dopunjavanjem do potpunog kvadrata.

Izraz $x^2-2x$ dopunimo do potpunog kvadrata brojem

Uočimo u izrazu (dvostruki prvi puta drugi): $2x=2·x·$ 1 koji je drugi i kvadriramo ga.

.

Dodavanjem toga broja lijevoj i desnoj strani jednakosti, na desnoj strani nakon zbrajanja dobijemo: .

 

 

Na lijevoj strani jednakosti potpuni kvadrat zamijenimo binomom pa imamo $($

Koji binom kvadriramo? (Napišite izraz bez kvadrata i bez razmaka)

${)}^2=$ 

broju $-10$ dodamo drugi na kvadrat $\left(1\right)$

Kako je na desnoj strani jednakosti negativan broj, rješenja su imaginarni brojevi pa vrijedi:
$x-1=\pm$  

Koliki je korijen od $-9?$ Imaginarni broj!  

.
Rješenja jednadžbe su: $x_1=$ 

prebacimo $-1$ na desnu stranu i zapišemo rješenje u obliku $\mathrm{x+yi}$

 i $x_2=$  .

Kažemo da je rješenje par brojeva.

Kutak za znatiželjne

Vizualizirajmo dopunjavanje izraza $x^2+bx$ do potpunog kvadrata. Imamo kvadrat površine $x·x$ kojem dodajemo pravokutnik površine ​ $b·x.$

Podijelimo taj pravokutnik na dva dijela tako da dobijemo dva pravokutnika jednakih površina, $\frac{b}{2}·x.$

Dodamo ih susjednim stranicama kvadrata i dobijemo lik površine $\begin{array}{l}\left(x+\frac{b}{2}\right)·\left(x+\frac{b}{2}\right)-\frac{b}{2}·\frac{b}{2}=x^2+bx\end{array}.$ Dobiveni lik postaje kvadrat kada ga dopunimo kvadratom stranice $\frac{b}{2}.$

Dakle, izraz $x^2+bx$ dopunili smo do potpunog kvadrata $x^2+2·\frac{b}{2}·x+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2={\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2.$  

Pogledajmo kako to izgleda u GeoGebri. Pokušajte riješiti naša dva primjera određivanjem koeficijenta  $b$ (pomicanjem klizača) te upisivanjem slobodnog člana $c.$

Zadatak 3.

Vratimo se još malo na prethodni zadatak. Mijenjajte koeficijente $b$ i $c$ i pratite što se događa s površinom kvadrata $x·x$ i rješenjima kvadratne jednadžbe.

Odgovorite na sljedeća pitanja:

• Neka je $c$ stalno (npr. $c=4$), a mijenjate $b.$ Kada se površina kvadrata $x·x$ povećava, a kada smanjuje? Za koji $b$ su rješenja realna, a za koji kompleksna? Promijenite $c$ i ponovite postupak. Možete li generalizirati tvrdnju kako rješenja ovise o $b$ i $c$
• Neka je $b$ stalno. Mijenjate slobodni član $c.$ Za koji $c$ dobijete kompleksna rješenja? Možete li naći $c$ tako da jednadžba ima jednaka realna rješenja? Promijenite $b$ i ponovite postupak. Možete li generalizirati tvrdnju o ovisnosti rješenja o koeficijentima $b$ i $c?$

• Riješite pomoću GeoGebre sljedeća dva zadatka:

  1. $x^2+12x+20=0$
     
  2. $x^2-6x-16=0$

Uočimo da nam je u svim prethodnim primjerima vodeći koeficijent ​ $a=1$. Pogledajmo sljedeći primjer kvadratne jednadžbe kod koje je $a\ne 1.$

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu: $3x^2-8x-3=0.$

Pokušajmo dobiti kvadrat kod prvog pribrojnika tako da cijelu jednadžbu pomnožimo s 3. Sada imamo: $9x^2-24x-9=0.$ Izraz $(3x{)}^2-24x=(3x{)}^2-2·\left(3x\right)·4$ dopunimo do potpunog kvadrata tako da jednadžbi dodamo $4^2.$

$\begin{array}{l}{\left(3x\right)}^2-2·\left(3x\right)·4+4^2=9+4^2\Rightarrow {\left(3x-4\right)}^2=25.\end{array}$ 

$\begin{array}{l}3x-4=\pm 5\left\{\begin{array}{l}3x_1=9\\ 3x_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-\frac{1}{3}\end{array}\end{array}$

Formula za rješenja kvadratne jednadžbe

Zadatak 4.

Kvadratna jednadžba oblika ​ $a{x}^2+bx+c=0,$ gdje su $a,b,c\in \mathbb{R},a\ne \mathrm{0,}$ ima rješenja

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Primjer 4.

Riješimo jednadžbe uz pomoć formule za rješenja kvadratne jednadžbe:

1. $5x^2+6x+1=0$​

   $a=5,b=6,c=1$ 

   $\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·5·1}}{2·5}=\frac{-6\pm 4}{10}\end{array}$

   $\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-6+4}{10}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5},x_2=\frac{-6-4}{10}=\frac{-10}{10}=-1\end{array}$

   Rješenja jednadžbe su 2 realna i različita broja.

2. $5x^2-2x+1=0$​

   $a=5,b=-2,c=1$

   $\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·5·1}}{2·5}=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm 4i}{10}=\frac{2}{10}\pm \frac{4i}{10}\end{array}$

   $\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i,x_2=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\end{array}$

   Rješenja jednadžbe su konjugirano kompleksni brojevi.

3. $\frac{1}{2}{t}^2+t+\frac{1}{2}=0.$

   $a=\frac{1}{2},b=1,c=\frac{1}{2}$

   Kad su nam koeficijenti razlomci, najprije se riješimo razlomka množenjem sa zajedničkim nazivnikom. Množenjem s $2$ dobivamo: $t^2+2t+1=0$

   $\begin{array}{l}{t}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2·1}=\frac{-2\pm 0}{2}=-1\end{array}$

   Kažemo da smo dobili dvostruko realno rješenje.

   Uočimo da je izraz $t^2+2t+1$ potpun kvadrat, pa jednadžbu možemo pisati i u obliku kvadrata binoma. Koristeći se svojstvom da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako je barem jedan od njih jednak nuli, imamo:

   $\begin{array}{l}(t+1{)}^2=0\Rightarrow (t+1\left)\right(t+1)=0\Rightarrow t+1=0\Rightarrow t_1=-1,t_2=-1\end{array}.$

Zadatak 5.

Sada izvježbajte sami traženje rješenja kvadratne jednadžbe. Rješavajte u parovima, tako da jedan učenik rješava metodom svođenja na potpun kvadrat, a drugi služeći se formulom za rješenja kvadratne jednadžbe. Izmjenjujte se. Usporedite rješenja i provjerite ih uz pomoć GeoGebrinoga generatora zadataka.

Savjet: s učenjem nastavite tek kada dobro izvježbate ove zadatke.

Normirana kvadratna jednadžba

Do sada smo promatrali dva tipa kvadratnih jednadžbi, kada je ​ $a=1$ i kada $a\ne 1.$ Rješavanje kvadratnih jednadžbi svođenjem na potpun kvadrat bilo je jednostavnije za $a=1.$

Podijelimo opći oblik kvadratne jednadžbe s vodećim koeficijentom $a$ (kako je $a\ne 0$ dijeljenje je moguće).

Primjer 5.

Neka je zadana kvadratna jednadžba $4x^2+20x+25=0.$ Riješimo je svođenjem na potpun kvadrat, ali tako da nam vodeći koeficijent bude jednak $1.$ Podijelimo cijelu jednadžbu s $4:$

$x^2+5x+\frac{25}{4}=0.$

Uočimo da je ovaj kvadratni trinom ustvari potpun kvadrat: ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2=0$ iz kojeg možemo odmah pročitati rješenje kvadratne jednadžbe: $x=-\frac{5}{2}.$

Kutak za znatiželjne

Izvedite formulu za rješenja kvadratne jednadžbe pregrupiranjem sljedećih elemenata (teksta i formula).

Pojednostavnimo izraz $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ uvođenjem novih oznaka: $p=\frac{b}{a},q=\frac{c}{a}.$ Dobit ćemo novi zapis kvadratne jednadžbe.

Kvadratnu jednadžbu zapisanu u obliku $x^2+px+q=0$ nazivamo normirani oblik kvadratne jednadžbe.

Zadatak 6.

Normirajte sljedeće kvadratne jednadžbe.

1. $9x^2-3x+6=0$ ​
2. $0.2x^2-0.5x+0.2=0$
3. $\frac{4}{3}{x}^2-12x+1=0$
4. $-x^2+7x-12=0$

Formulu za rješenja kvadratne jednadžbe također možemo prilagoditi oznakama normirane kvadratne jednadžbe. Ako zamijenimo koeficijente kvadratne jednadžbe s $a=1,b=p\mathrm{i}c=q,$ rješenja normirane kvadratne jednadžbe dobijemo uz pomoć formule:

Rješenja normirane kvadratne jednadžbe: $x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\begin{array}{l}\frac{p}{2}\end{array}\right)}^2-\mathrm{q}}.$

Ova je formula posebno pogodna za korištenje kada je  $p$ paran broj.​

Kutak za znatiželjne

 Dokažite sami formulu za rješenja normirane kvadratne jednadžbe.

Zadatak 7.

Svakoj normiranoj kvadratnoj jednadžbi pridružite pripadna rješenja:

$x^2+11x-28=0$	$a\pm b$
$x^2-2ax+a^2-b^2=0$	$x_{\mathrm{1,2}}=2\pm i$
$x^2-6x+9=0$	$x_1=x_2=3$
$x^2-4x+1=0$	$x_1=-4x_2=7$
$x^2-4x+5=0$	$x_{\mathrm{1,2}}=2\pm \sqrt{3}$

null

null

Povezani sadržaji

Zlatni rez ili zlatni omjer dužine je ​dijeljenje dužine na dva dijela tako da se cijela dužina odnosi prema većem dijelu kao veći dio dužine prema manjem. Prisjetimo se kako konstruirati točku koja dijeli zadanu dužinu u zlatnom omjeru.

Povezani sadržaji

Nakon što smo ponovili zlatni rez, izračunajmo zlatni broj $x.$

$a:x=x:(a-x)\Rightarrow$ $a(a-x)=x^2\Rightarrow$ $x^2+ax-a^2=0$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su: $x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2.}$

Iz uvjeta: $x>0$ moguće je samo jedno rješenje: $x=\frac{a\sqrt{5}-a}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a=0.618a$

Odnosno: $x:a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

U GeoGebri smo dobili obrnuti omjer. Pokušajte sami iz omjera $x:a$ dobiti omjer $a:x$ (koji se isto tako naziva zlatni omjer), odnosno pripadajući zlatni broj.

Zadatak 8.

Konstruirajte u bilježnici zlatni rez dužini duljine $6.$ Izračunajte pripadajući $x.$​

Uputa: Neka je $a=6$. Izračunajte x uz pomoć prethodno dobivene formule. Konstrukciju (kao i rješenje) možete provjeriti i uz pomoć GeoGebre.

Projekt

Istražite gdje se sve susrećemo sa zlatnim rezom. Podijelite se u grupe i uz pomoć stručnih nastavnika (matematike, umjetnosti, biologije) pripremite i prezentirajte ljepotu i savršenstvo zlatnog reza učenicima i nastavnicima vaše škole.

Složenije jednadžbe

Primjer 6.

Riješimo sljedeća dva primjera:

1. $x·|x-4|=4$ ​

   U 1. razredu naučili smo rješavati jednadžbe s apsolutnim vrijednostima. Ponovite definiciju apsolutne vrijednosti.

   Imamo 2 slučaja:

   • $\mathrm{I)}x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4$

     $x·(x-4)=4$

     $x^2-4x-4=0$

     Uvrštavanjem u formulu za rješenja (normirane) kvadratne jednadžbe dobijemo: $x_{\mathrm{1,2}}=2\pm 2\sqrt{2},$ a zbog uvjeta rješenje je $2+2\sqrt{2}.$

   • $\mathrm{II)}x-4<0\Rightarrow x<4$

     $x·(-x+4)=4$

     $x^2-4x+4=0$

     Uočimo da je naša kvadratna jednadžba potpun kvadrat: $(x-2{)}^2=0\Rightarrow x=\mathrm{2,}$ što zadovoljava uvjet.

     Dakle, rješenja zadatka su: $x_1=2+2\sqrt{2}\mathrm{i}{x}_2=2.$

2. $\frac{11}{x^2-4}+\frac{x+3}{2-x}=\frac{2x-3}{x+2}$

   Prisjetimo se algebarskih razlomaka iz 1. razreda.

   Kako je $x^2-4=(x-2)(x+2)$ i $2-x=-(x-2),$ pomnožimo cijelu jednadžbu zajedničkim nazivnikom $(x-2)(x+2)$ pa imamo: $\begin{array}{l}11-\left(x+3\right)\left(x+2\right)=\left(2x-3\right)\left(x-2\right),\end{array}$

   uz uvjet da je broj s kojim množimo različit od nule, tj. $x\ne \pm 2.$

   Nakon sređivanja kvadratna jednadžba je: $3x^2-2x+1=0$ pa su rješenja:

   $\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{2\pm 2i\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{3}\pm i\frac{\sqrt{2}}{3.}\end{array}$

A sada pokušajte sami.

Zadatak 9.

Riješite u bilježnicu zadatke s lijeve strane i potražite pripadajuća rješenja na desnoj strani.

 Svakoj kvadratnoj jednadžbi pridružite pripadajuća rješenja:

$\frac{3}{x}-\frac{1}{2}=x$	$x_1=1,x_2=-1$
$x^2-\left|4x+5\right|=0$	$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$
$(x-3)(2-x)-(1+x{)}^2=0$	$x_1=p+2,x_2=p-2$
$x^2-2px+p^2-4=0$	$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{3}{4}\pm i\frac{\sqrt{47}}{4}$

Pomoć:

Najprije treba srediti izraze i dobiti opći oblik kvadratne jednadžbe; riješiti pomoću forumule za rješenja kvadratne jednadžbe te ispitati uvjete (kod razlomka i apsolutne vrijednosti).

null