Matematika 2 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Ilustracija fraktala - Zmajeva krivulja (Autor: Stefan Lew) Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve.png, Autor: Stefan Lew

Fraktal – Zmajeva krivulja, Autor: Stefan Lew, Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve.png

Naučili smo da kompleksni brojevi osim svoje primjene imaju i vizualnu ljepotu te privlače i one koji ne izučavaju matematičke pojmove. Pri tome mislimo na fraktale. Na internetu možemo pronaći mnogo slika fraktala.

Zmajeva krivulja

Zmajeva krivulja opisana je u kompleksnoj ravnini rekurzivnim funkcijama $f_{1} (z) = 1 + i z^{2},$ $f_{2} (z) = 1 - \frac{(1 - i) z}{2},$ gdje je $z$ kompleksan broj.

Praktična vježba

Pokušajte konstruirati nekoliko iteracija zmajeve krivulje. Za pomoć proučite upute na slici ili pratite korake konstrukcije. Konstrukciju provedite u GeoGebri.

Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve_iterations_(2).svg, Autor: Prokofiev — Iteracije zmajeve krivulje. Autor: Prokofiev. Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dragon_curve_iterations_(2).svg

Koraci konstrukcije:

a. Nacrtajte dvije dužine s jednom zajedničkom krajnjom točkom i kutom od $90 °$ između njih (kao na slici).

b. Nad svakom od dužina nacrtajte jednakokračan pravokutni trokut. Pripazite da jedan trokut konstruirate iznad dužine, a drugi ispod dužine.

Napomena: početne dužine iz a. koraka konstrukcije su hipotenuze, a dužine nacrtane u b. koraku su katete pravokutnih trokuta.

c. Postupak ponovite nad četirima dužinama konstruiranima u b. koraku.

d. Nad dužinama konstruiranima u c. koraku ponavlja se postupak konstrukcije.

Ponavljamo postupak u svakom idućem koraku.

Pogledajte animaciju zmajeve krivulje.

Sierpinski

Zanimljivost

Wacław Sierpiński (1882. – 1969.) bio je poljski matematičar koji se bavio teorijom skupova, teorijom brojeva, funkcijama i topologijom. Objavio je više od $700$ članaka i $50$ knjiga. Po njemu nazivamo i Sierpinski trokut (o kojem možete pročitati više na poveznici) i Sierpinski krivulju.

Osim u ravnini, fraktali mogu nastajati i u prostoru. Na sljedećoj slici vidimo Sierpinski tetraedar.

Projekt

Pratite slikovne upute te izradite Sierpinski tetraedar.

Slikovne upute te izradu Sierpinskog tetraedra

Podloga za Sierpinski tetraedar izrezana je u obliku jednakostraničnog trokuta duljine stranice $40 cm .$ Kolika je duljina brida malih tetraedara potrebnih za izradu Sierpinski tetraedra? Brid tetraedra je $cm .$

null

null
Koliko je malih tetraedara potrebno izraditi da bismo dobili Sierpinski tetraedar? Potrebna su tetraedra.

null

null

Koraci izrade Sierpinski tetraedra:

Iz hamer papira izrežite jednakostraničan trokut za podlogu Sierpinski tetraedra.
Izradite $64$ tetraedra iz hamer papira. Brid tetraedra mora biti osam puta kraći od stranice trokuta u podlozi (iz 1. koraka). Razmislite o timskoj izradi – rad u timu je brži i zabavniji!
Tetraedre slažite prema rasporedu kako je prikazano na prethodnoj slici.

Kutak za znatiželjne

Girolamo Cardano — Izvor: commons.wikimedia.org. Autor: R. Cooper. Licenca: CC-BY-4.0

Za vrijeme renesanse u Europi su matematičari postavljali probleme koje nitko nije znao riješiti. Oni su time stjecali znanstveni ugled te dobivali radna mjesta na sveučilištima i novčane nagrade. Postojala su i natjecanja u rješavanju matematičkih problema. Neki od najpoznatijih matematičkih dvoboja su između del Ferra i Tartaglie te poslije Tartaglie i Cardana. Tijekom dvoboja rješavali su kubnu jednadžbu, ali nisu je znali riješiti jer se tijekom rješavanja ispod korijena pojavio negativan broj.

Matematičari su tek poslije, otkrićem i prihvaćanjem kompleksnih brojeva, uspjeli objasniti i riješiti problem kojim se bavio još i Cardano.

Više o toj temi pročitajte na:

Diplomski rad: Matematika u doba renesanse

Ivica Gusić: Zašto su uvedeni kompleksni brojevi

Prikaz u kompleksnoj ravnini

Kutak za znatiželjne

Naučili ste da skup $\{z \in C : |z - z_{1}| = r\}$ opisuje kružnicu, a skup $\{z∈C : |z - z_{1}| = |z - z_{2}|\}$ pravac.

Podsjetite se na kompleksne ravnine u šestoj jedinici ovoga modula .

Praktična vježba

U sljedećem primjeru istražite o čemu ovise položaji pravca i kružnice u kompleksnoj ravnini. Što označavaju klizači? Odgovorite na postavljena pitanja.

Kutak za znatiželjne

Koristeći se prethodnim primjerom zapišite $z_{1}$ i $z_{2}$ te promotrite pravac i njegovu jednadžbu. Nacrtajte ih u kompleksnoj ravnini (za tu prigodu možete se koristiti programom za dinamičnu geometriju GeoGebra).

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Neka su $z_{1}$ i $z_{2}$ krajnje točke dužine. Pronađite jednadžbu simetrale te dužine. Objasnite.

Pomoć: prisjetite se što je simetrala dužine.

$|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ je jednadžba simetrale dužine $\bar{z_{1} z_{2}}$ u kompleksnoj ravnini.

Zadatak 2.

U kojem su međusobnom položaju brojevi $z_{1} = x + y i$ i $z_{2} = y + x i$ u kompleksnoj ravnini? Nađite kompleksni broj koji se nalazi u kompleksnoj ravnini u polovištu dužine $\bar{z_{1} z_{2}} .$

Brojevi $z_{1}$ i $z_{2}$ su simetrični u odnosu prema pravcu $y = x .$ U polovištu je broj $z = \frac{x + y}{2} + \frac{x + y}{2} i .$

Zadatak 3.

Odredite podskup kompleksne ravnine određen s $|\begin{array}{l} 2 z \end{array}| > |\begin{array}{l} 1 + z^{2} \end{array}| .$

Uvrštavanjem $z = x + y i$ u $|\begin{array}{l} 2 z \end{array}| > |\begin{array}{l} 1 + z^{2} \end{array}|$ tj. u $2 | z | > | z - i | \cdot | z + i |$ dobivamo $\begin{array}{l} (x^{2} + {(y - 1)}^{2} - 2) \cdot (x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 2) < 0 \end{array} .$

Zato je rješenje ove nejednadžbe skup samo onih točaka $T (x, y)$ koje se nalaze unutar samo jedne od kružnica $x^{2} + {(\begin{array}{l} y - 1 \end{array})}^{2} < 2$ i $x^{2} + {(\begin{array}{l} y + 1 \end{array})}^{2} < 2 .$

Zatvori

Jednadžbe s kompleksnim brojevima

Zadatak 4.

Riješite jednadžbe.

$(\begin{array}{l} 1 + i \end{array}) z^{2} - (\begin{array}{l} 5 + i \end{array}) z + 4 - 2 i = 0$
$2 |z| - 4 a z + 1 + a i = 0,$ $a \in R$

$z_{1} = 2 - i,$ $z_{2} = 1 - i$
$z_{1} = \frac{1}{4} i,$ $z_{2} = \frac{2 a}{4 a^{2} - 1} + \frac{1}{4} i$

...i na kraju

Na državnoj su se maturi proteklih godina pojavljivali zadatci s kompleksnim brojevima.

Riješite zadatke birane prema primjerima s državne mature.

Koliko je racionalnih brojeva u skupu brojeva $\{4, \frac{3}{7} i, \sqrt{5}, \frac{5}{6}, - 3, π\} ?$

Izračunajte: $\begin{array}{l} \frac{2 - i}{3 + 2 i} \end{array} .$

Za kompleksni broj $z = 4 - i$ odredite $z \cdot \bar{z} .$

Odredite $a, b \in R$ tako da brojevi $z = a + (3 - b) i$ i $v = 3 - b + \frac{1}{2} i$ budu jednaki.

Gdje se nalaze svi kompleksni brojevi koji imaju isti modul kao i broj $z = 3 + i ?$

Potražite zadatke s državne mature i na poveznici.