6.3 Veza eksponencijalne i logaritamske funkcije

Graf inverzne funkcije

Zadatak 1.

Neka je funkcija $f:A\to B$ i njoj inverzna funkcija $g:B\to A.$

1. Što je skup $A?$ (Više odgovora je točno.)
   

   Domena funkcije $g$ 

   Domena funkcije $f$ 

   Kodomena funkcije $f$   

   Skup realnih brojeva

   Bilo koji skup

   Kodomena funkcije $g$ 

   

   null

   null

2. Što je skup $B?$ (Više odgovora je točno.)  
   

   Domena funkcije $g$ 

   Domena funkcije $f$ 

   Kodomena funkcije $f$   

   Skup realnih brojeva

   Bilo koji skup

   Kodomena funkcije $g$ 

   

   null

   null
3. Da bi funkcija $f$  imala inverznu funkciju, treba biti bijekcijadefiniranasurjekcijainjekcija .

   

   null

   null

4. Za funkcije $f\mathrm{i}g$ kažemo da su inverzne ako za $x\in A,y\in B\mathrm{i}f\left(x\right)=y$ vrijede sljedeće tvrdnje:
   

   $f\left(x\right)=g\left(y\right)$

   $g\left(f\left(x\right)\right)=y$

   $g\left(f\left(x\right)\right)=x$

   $g\left(y\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$

   $f\left(g\left(y\right)\right)=y$

   

   null

   null

5. Uparite međusobno inverzne funkcije.
   

   $f\left(x\right)={\log }_{a}x$  ​	$f^{-1}\left(x\right)={\log }_{b}x$  ​
   $f\left(x\right)=b^x$  ​	$f^{-1}\left(x\right)={10}^x$  ​
   $f\left(x\right)=\log x$  ​	$f^{-1}\left(x\right)=\ln x$  ​
   $f\left(x\right)={\log }_{2}x$  ​	$f^{-1}\left(x\right)=a^x$  ​
   $f\left(x\right)=e^x$	$f^{-1}\left(x\right)=2^x$

   

   null

   null

Grafovi inverznih funkcija međusobno su simetrični s obzirom na simetralu 1. i 3. kvadranta, odnosno pravac $y=x.$

Ako točka $\left(x,y\right)$ pripada grafu funkcije $f,$ tada točka $\left(y,x\right)$ pripada grafu funkcije $f^{-1}.$

Primjer 1.

Nacrtajmo u koordinatnom sustavu točke $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right),\left(\mathrm{1,1}\right)\mathrm{i}\left(\mathrm{2,4}\right).$ Kojom je formulom zadana funkcija koja prolazi danim točkama?

Zatim nacrtajmo njima simetrične točke u odnosu na pravac $y=x$  (zamijenimo mjesta apscisi i ordinati).

Po definiciji, te točke pripadaju grafu funkcije inverzne funkciji $f.$

Točke su samo zamijenile koordinate, $\left(x,y\right)\to \left(y,x\right).$ Dobili smo simetrične uređene parove.

Zajedničke točke inverznih funkcija leže na pravcu $y=x.$

Od eksponencijalnoga do logaritamskoga grafa

Zadatak 2.

Kojoj funkciji pripadaju zadane točke grafa?

$\left(\frac{1}{4},-2\right),\left(\frac{1}{2},-1\right),\left(\mathrm{1,0}\right),\left(\mathrm{2,1}\right),\left(\mathrm{4,2}\right)$	$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$
$\left(4,-2\right),\left(2,-1\right),\left(\mathrm{1,0}\right),\left(\frac{1}{2},1\right),\left(\frac{1}{4},2\right)$	$f\left(x\right)={\log }_{2}x$​
$\left(-\mathrm{2,4}\right),\left(-\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{0,1}\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),\left(2,\frac{1}{4}\right)$	$f\left(x\right)=2^x$​
$\left(-2,\frac{1}{4}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right),\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{2,4}\right)$	$f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$

 

null

Primjer 2.

Padajuću eksponencijalnu funkciju i njezin inverz  iz prethodnog zadatka nacrtajmo na papiru s pomoću zadanih točaka.

Dakle, potražimo takve točke gdje za rastuće apscise ordinate padaju. To su grafovi funkcija s bazom $0<a<1:y={\log }_{\frac{1}{2}}xiy={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$

Koristimo se tablicom eksponencijalne funkcije (čije vrijednosti je lakše izračunati). Zatim samo zamijenimo mjesta koordinatama.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x\right)$
$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$x$

Rješenje

---

Zadatak 3.

Nacrtajte na papiru analogno drugi par inverznih funkcija baze $a=2$ iz prethodnog zadatka. Provjerite jesu li točke, odnosno grafovi, simetrični u odnosu na pravac $y=x.$

Rješenje

---

Što povezuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju, pogledajte u sljedećoj animaciji.

Zadatak 4.

Sljedeće logaritamske funkcije nacrtajte na papiru s pomoću tablice točaka pripadajućih eksponencijalnih funkcija.

1. $f\left(x\right)={\log }_{3}x$
2. $g\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}x$ 

Rješenje

---

Sličnosti i razlike inverznih grafova

Što povezuje potenciju i logaritam?

Primjer 3.

Prikažimo u eksponencijalnom zapisu logaritam ${\log }_{4}64=x.$

Iskoristimo poznatu vezu između eksponencijalnog oblika i logaritma: ${\log }_{a}y=x\iff a^x=y$ .

Sad imamo: $4^x=64\Rightarrow 4^x=4^3\Rightarrow x=3,$ ​pa je rješenje zadatka $y=4^3.$

Zapišimo kraće, bez nepoznanica: logaritam ${\log }_{4}64$ ima eksponencijalni zapis $4^3.$

U skladu s tim oznakama riješite sljedeći zadatak.

Zadatak 8.

Odredite eksponencijalni zapis sljedećih logaritamskih izraza.

1. ${\log }_{3}81$
   

   $3^{81}$ 
   

   $3^4$  ​

   ${81}^3$  ​

   ${81}^2$  ​

   

   null

   null

2. ${\log }_{5}125$
   

   $5^3$  

   ${125}^3$  ​

   ${125}^5$  ​

   $5^5$  ​

   

   null

   null

3. ${\log }_{2}16$
   

   $2^3$  ​

   $4^3$  ​

   $2^2$  ​

   $2^4$  ​

   

   null

   null

Primjer 4.

Prikažimo u logaritamskom zapisu potenciju $y=4^3.$

Kako je $4^3=64\Rightarrow {\log }_{4}64=3,$ rješenje zadatka je $x={\log }_{4}64.$

Zapišimo kraće: potencija $4^3$ ima logaritamski zapis ${\log }_{4}64.$

U skladu s tim oznakama riješite sljedeći zadatak.

Zadatak 9.

Odredite logaritamski zapis sljedećih eksponencijalnih izraza.

1. $3^4$
   

   ${\log }_{3}4$ 

   ${\log }_{4}3$  ​

   ${\log }_{3}81$  ​

   ${\log }_{4}81$  ​

   

   null

   null

2. $2^6$
   

   ${\log }_{6}64$  ​

   ${\log }_{4}64$  ​

   ${\log }_{2}64$  ​

   ${\log }_{2}6$  ​

   

   null

   null

3. $7^2$
   

   ${\log }_{7}49$  ​

   ${\log }_{2}7$  ​

   ${\log }_{7}2$  ​

   ${\log }_{2}49$  ​

   

    
   

    
   

Primjer 5.

Pojednostavnimo izraze.

1. $5^{{\log }_{5}11}$
2. ${\log }_2{16}^x$

U ovim zadacima primijenimo pravilo inverznih funkcija, koje se poništavaju kad funkcije djeluju jedna na drugu.

1. $5^{{\log }_{5}11}=11$
2. ${\log }_2{16}^x={\log }_2{\left(2^4\right)}^x={\log }_2{2}^{4x}=4x$

Ovdje smo primijenili i pravilo potenciranja potencije.

Zadatak 10.

1. Pojednostavnite izraze.
   $8^{{\log }_{8}4}=$ 
   $5^{{\log }_{5}1}=$
   $9^{{\log }_{9}81}=$ 

   

   null

   null

2. ${\log }_6{36}^x$
   

   $2x$  ​

   $2^x$  ​

   $6^x$  ​

   $x^2$  ​

   

   null

   null

3. ​ ${\log }_3{27}^x$ 
   

   $7x$  ​

   $3^x$  ​

   $9^x$  ​

   $3x$  ​

   

   null

   null

4. ${\log }_8{64}^x$
   

   $2$  ​

   $2^x$  ​

   $2x$  ​

   $x^2$  ​

   

   null

   null

Kutak za znatiželjne

Pronađimo inverz zadane logaritamske krivulje $y=\ln \left(\frac{1}{2}x\right).$

Postupak traženja inverza:

1. korak: zamijenimo oznake $x\mathrm{i}y.$ (Uređeni par $(x,y)$  kod inverznoga grafa prelazi u $(y,x).$

$x=\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$ 

2. korak: transformiramo jednadžbu tako da $y$ dobijemo na lijevoj strani.

$e^x=\frac{1}{2}y/·2\Rightarrow y=2e^x$

Zadatak 11.

Potražite inverze sljedećih logaritamskih krivulja.

1. $y=\ln \left(x-1\right)$

   $y=e^x$  ​

   $y=e^x-1$  ​

   $y=e^x+1$  ​

   $y=e^{1-x}$  ​

   

   null

   null

2. $y=2\ln \left(x-4\right)$

   $y=4e^x$  ​

   $y=e^x+4$  ​

   $y=e^{\frac{1}{2}x}+4$  ​

   $y=e^{2x}+4$  ​

   

   null

   null

3. $y=\log \left(x+3\right)$

   $y=3·{10}^x$  ​

   $y={10}^x-3$  ​

   $y=e^x-3$  ​

   $y=\frac{e^x}{3}$  ​

   

   null

   null

4. ​ $y={\log }_2\frac{x}{3}$ 
   

   $y=3e^x$  ​

   $y=2^x+3$  ​

   $y=3·2^x$  ​

   $y=\frac{e^x}{3}$  ​

   

   null

   null

Nakon što smo ponovili logaritamsku i eksponencijalnu funkciju, pokušajmo riješiti Emin problem udaljenosti od zvučnika. Je li glazba bila preglasna?

Decibeli i logaritmi

Povezani sadržaji

Zvučni val se širi prostorom kuglasto (u svim smjerovima) od izvora zvuka do točke mjerenja. Registriramo zvukove različitog intenziteta, od praga čujnosti ( $I_0={10}^{-12}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{}}$) do granice boli ( $1{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}$ ). Intenzitet zvuka je omjer snage zvuka (u Wattima) i veličine površine na kojoj taj intenzitet djeluje (u četvornim metrima).

Izračunajmo intenzitet zvuka iz naših zvučnika snage $P=3\mathrm{W},$ ako se zvuk širi u smjeru polukugle (jer su zvučnici na podu) na udaljenosti $1\mathrm{m}.$ Najprije izračunajmo površinu polusfere polumjera $1\mathrm{m},$ $A=2r^2\pi =2·1·\pi =6.28{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Tada je intenzitet zvuka $I=\frac{P}{A}=\frac{3\mathrm{W}}{6.28{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}}=0.48{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}.$ Koliko je to decibela?

Decibel je veličina koju čini logaritam odnosa dvaju intenziteta. Odnosno tako definirana veličina je bel, a u uporabi je deset puta manja jedinica - decibel.

Broj decibela računa se prema formuli: $L=10\log \frac{I}{I_0},$ gdje je $I_0$ prag čujnosti.

Izračunajmo s pomoću džepnog računala relativnu razinu intenziteta zvuka u decibelima koju su proizveli novi zvučnici.

$L=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{0.48{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}}{{10}^{-12}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}}\approx 117\mathrm{dB}$

Još uvijek ne znamo koliko smo daleko od granice boli. Odredimo granicu boli u $\mathrm{dB}$ ako znamo da je $I=1{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}.$

$L=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{1{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}}{{10}^{-12}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}}=120\mathrm{dB}$

Dakle, bilo je blizu granice boli. Naučimo nešto o tome da nam se ne dogodi što i Emi te da se navrijeme udaljimo od izvora takvog zvuka. Ili još bolje, da i ne pojačavamo toliko glazbu, pogotovo ako imamo slušalice u ušima.

Primjer 6.

Odgovorimo na pitanje iz uvoda. Na kojoj udaljenosti od zvučnika trebamo biti da relativna razina intenziteta zvuka bude $60\mathrm{dB}?$

Uz pomoću džepnog računala lako smo došli do rezultata u $\mathrm{dB}$ kad je zadan intenzitet zvuka. Međutim, kako doći do jačine zvuka u ${\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}$ kad nam je zadan relativan intenzitet zvuka u $\mathrm{dB}?$

$L=10\log \frac{I}{I_0}\Rightarrow 60dB=10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\Rightarrow 6=\log \left(I·{10}^{12}\right)$

Uvrštavanjem poznatih veličina dobili smo nepoznanicu iza znaka logaritma. Riješimo se logaritma tako da primijenimo $a^x=y\iff x={\log }_{a}y.$

$6=\log \left(I·{10}^{12}\right)\Rightarrow I·{10}^{12}={10}^6\Rightarrow I={10}^{-6}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}$

Uvrstimo $I$ u formulu za intenzitet zvuka.

$I=\frac{P}{A}\Rightarrow \frac{3\mathrm{W}}{A{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}}=10{}^{-6}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}\Rightarrow A=3·{10}^6{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Konačno, udaljenost ćemo dobiti iz formule za površinu polusfere polumjera $r\left[\mathrm{m}\right].$

$A=2r^2\pi \Rightarrow 2r^2\pi =3·{10}^6\Rightarrow r^2=\frac{3·{10}^6}{2\pi }=477465\Rightarrow r=691\mathrm{m}.$

Da bi čuli zvuk relativne razine intenziteta $60\mathrm{dB}$ moramo se odmaknuti od zvučnika oko $700$ metara.

Kutak za znatiželjne

Izvedite formulu za jačinu zvuka, $I\mathrm{u}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}},$ ako je relativan intenzitet zvuka u $\mathrm{dB}$ dan formulom $L=10\log \frac{I}{I_0},I_0={10}^{-12}{\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}.$ Izračunajte sami razinu glasnoće različitih zvukova u ${\mathrm{W/m}}^{\mathrm{2}}$ ako je zadan $L,$ relativan intenzitet zvuka u $\mathrm{dB}.$

zvuk	intenzitet zvuka $\mathrm{u}\mathrm{dB}$
prag čujnosti	$0$
šuškanje lišća	$10$
šapat	$20$
govor	$60$
gradski promet	$80$
zvuk sirene	$100$
prag boli	$120$
mlazni avion	$130$

Rješenje

---

Projekt

Istražite više o grani fizike koja se zove akustika, pojmu jakosti zvuka i ostalim osnovnim akustičnim pojmovima. Pokušajte otkriti kolika je jakost zvuka u kafiću koji posjećujete s prijateljima te kolika je dopuštena buka u ugostiteljskim objektima. Postoji li instrument za mjerenje jakosti zvuka, odnosno buke (zvukomjer, fonometar)? Kakve su moguće posljedice čestog boravka u buci? Potražite još neke aktualnosti i zanimljivosti vezane uz dopuštenu razinu buke i sl. Na stranicama projekta GEL (Gimnazijski ekološki laboratorij, Zaštita okoliša i održivi razvoj zavičaja) u pojmovniku potražite definicije pojmova kao što su zvukomjer, buka i sl. Nakon istraživanja prezentirajte svoj rad učenicima i nastavnicima svoje škole.

Primjer 7.

Iskoristimo podatke o jakosti zvuka i pokušajmo ih smjestiti u koordinatni sutav tako da dobijemo graf logaritamske funkcije. U kakvoj su vezi logaritamska i eksponencijalna funkcija s jakosti zvuka?

Koje podatke ćemo staviti na os apscisu (što je argument logaritamske funkcije), a koje na os ordinatu da bismo dobili logaritamsku funkciju? Nacrtajmo je na papiru.

Rješenje

---

Zadatak 12.

Kako bi izgledao graf eksponencijalne funkcije istog problema? Što nam je sada na osi apscisa (što je varijabla eksponencijalne funkcije), a što na osi ordinata? O kojoj eksponencijalnoj funkciji se radi?

Rješenje

---

Crtanje logaritma $y={\log }_a\left(x-x_0\right)+y_0$

Primjer 8.

Nacrtajmo krivulju ​ $y={\log }_2\left(x-1\right).$

Odredimo tablicu vrijednosti tako da za $x$ odaberemo takve brojeve za koje znamo izračunati logaritam i za koje je on definiran.

$x$	$\frac{5}{4}$	$\frac{3}{2}$	$2$	$5$	$9$
$y={\log }_2\left(x-1\right)$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$

Odmah vidimo da $x=1$ ne može biti, zbog ${\log }_2\left(1-1\right)={\log }_{2}0,$ što nije definirano. Stoga odaberemo brojeve veće od $1,$ takve da kao argument dobijemo potenciju broja $2.$

To su npr. brojevi $\frac{5}{4},\frac{3}{2},\mathrm{2,5,9}.$ Kad im oduzmemo $1,$ dobijemo potencije broja $2.$

Nacrtajte krivulju na papiru. Ima li ova logaritamska funkcija asimptotu?

Koji je pravac asimptota te krivulje?

Rješenje

---

Zadatak 13.

Nacrtajte na papiru krivulju ​ $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)$ s pomoću tablice vrijednosti. Nacrtajte asimptotu i napišite njezinu jednadžbu.

Rješenje

---

Primjer 9.

Nacrtajmo na papiru krivulju ​ $y={\log }_{2}x-1.$

Uočimo najprije razliku između ove krivulje i krivulje iz prethodnog primjera. Ovdje je argument $x,$ a vrijednost funkcije se umanjuje za $1.$ Napravimo tablicu vrijednosti i nacrtajmo krivulju. Točkama iz tablice elementarnog logaritma baze dva umanjimo ordinatu za $1.$

Nacrtajte logaritamsku krivulju i odredite joj asimptotu.

Rješenje

---

Zadatak 14.

Nacrtajte na papiru krivulju ​ $y={\log }_{3}x+2$ s pomoću tablice vrijednosti. Nacrtajte asimptotu i napišite njezinu jednadžbu.

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

U sljedećoj interakciji pokušajte otkriti što se događa s grafom logaritamske funkcije $y={\log }_a\left(x-x_0\right)+y_0$  kad mu mijenjamo bazu $a,x_0\mathrm{i}{y}_0.$

Poigrajte se pomacima, proučite kako se graf mijenja, pomičite zelenu točku da otkrijete koordinate nekih specijalnih točaka grafa, a zatim odgovorite na pitanja u nastavku.

Logaritamski graf programom dinamične geometrije

Iskoristimo mogućnost uporabe računalne opreme i pojednostavnimo crtanje logaritamskoga grafa programom dinamične geometrije (GeoGebrom).

U nastavku je predložak s pomoću kojega možemo nacrtati bilo koji graf. Kako smo se već susretali s GeoGebrom, neće biti problem nacrtati i logaritamsku funkciju. ​

• U polje za unos napišemo željenu logaritamsku funkciju naredbom: $\log \left(<b>,<x>\right),$ gdje umjesto $<b>$ upišemo kolika je baza, a umjesto $<x>$ upišemo varijablu $x$ (npr. ako želimo nacrtati funkciju $f\left(x\right)={\log }_{2}x,$ naredba izgleda ovako: $\log \left(2,x\right)$ ili za funkciju $g\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)+3$ naredba izgleda $\log \left(1/2,x-1\right)+3$).
• Ako postavimo miša na graf funkcije, desnom tipkom možemo otvoriti svojstva gdje podešavamo npr. boju, debljinu, izgled krivulje i sl.
• Točke $A$ i $B$ na slici dobijemo naredbom "Sjecište( $<objekt>,$ $<objekt>$ )".
  (npr. točku $A$ smo dobili naredbom   "Sjecište( $f,$ $xOs$)")
• Točke $C$ i $D$ koje možemo pomicati po grafu dobijemo naredbom "Točka( $<objekt>$ )". (npr. točku $D$ smo dobili naredbom "Točka $\left(g\right)$")
• Za zadnje dvije naredbe postoje i ikone na koje se pozicionirate mišem i prikaže vam se naziv naredbe.
  
• Na slici vidite kako to treba izgledati nakon upisanih funkcija i određenih točaka iz prethodne upute. 
  

Zadatak 17.

Nacrtajte u GeoGebri s pomoću prethodnog predloška funkciju $f\left(x\right)={\log }_{1.8}\left(x+1.8\right)-3$ i odgovorite na sljedeća pitanja.

1. Odredite tok funkcije $f\left(x\right)={\log }_{1.8}\left(x+1.8\right)-3.$
   

   rastuća funkcija

   padajuća funkcija

   konstantna funkcija

   

   null

    
   

2. Odredite domenu funkcije.
   

     ​

    
   

   $D_f=\mathbb{R}$  ​

     ​

   

   null

3. Odredite jednadžbu asimptote funkcije.
   

   $x=0$  ​

   $y=0$  ​

   $x=-1.8$  ​

   $y=-2$ 

   

   null

   null
4. Koordinate sjecišta krivulje i osi apscisa su (zaokruženo na dvije decimale, a za decimalan broj, ako postoji, upotrijebite točku)

   $\left(4.03,0\right)$

   , a koordinate sjecišta krivulje i osi ordinata su

   $\left(0,-2\right)$