Processing math: 100%
x

3.4 Presjek pravca i parabole

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pogledajte animaciju.

Problem sjecišta pravca i parabole

Haubica stoji u podnožju brda. Projektil koji ispaljuje ima putanju u obliku grafa kvadratne funkcije. Kosinu brda možemo prikazati linearnom funkcijom. Na animaciji uočite kvadratnu i linearnu funkciju. Gdje će projektil pasti? Može li nam matematika pomoći da riješimo taj zadatak?

U koordinatnom sustavu nacrtani su pravac i parabola. Pravcu je moguće mijenjati koeficijente s pomoću klizača. Mijenjajući koeficijente pravca, pokušajte odgovoriti na sljedeće pitanje.

U kojem se položaju mogu naći pravac i parabola?

Povećaj ili smanji interakciju

Položaj pravca i parabole

Pravac i parabola mogu se naći u trima položajima:

  1. ​parabola i pravac se ne sijeku
  2. parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
  3. parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.

Presjek pravca i parabole moguće je pronaći na dva načina: analitički i grafički.

U sljedećim primjerima pokazat ćemo kako se to radi analitički.

Neka su pravac i parabola zadani jednadžbama. Naći presjek pravca i parabole znači odrediti koordinate točaka koje zadovoljavaju jednadžbu pravca i jednadžbu parabole. Te su koordinate rješenja pripadnog sustava jednadžbi.

Sjetite se metode supstitucije koju ste primjenjivali pri rješavanju dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Metodu supstitucije primijenit ćemo i ovdje. Iz linearne jednadžbe izrazit ćemo jednu nepoznanicu s pomoću druge te ju uvrstiti u drugu kvadratnu jednadžbu.

Moguće je također primijeniti metodu suprotnih koeficijenata.

Primjer 1.

Pronađimo sjecišta pravca y=2x+3 i parabole y=-x2+6x.

Lijeve strane jednakosti su jednake, pa izjednačimo i desne:

2x+3=-x2+6x.

Sređivanjem izraza dobit ćemo kvadratnu jednadžbu:

x2-4x+3=0.

Riješimo je s pomoću poznate formule.

x1,2=-b±b2-4ac2a=4±16-4·1·32·1=4±22

x1=3,x2=1

Rješenja uvrstimo u jednadžbu pravca kako bismo dobili vrijednost y koordinate:

y1=2·3+3=9

y2=2·1+3=5.

Točke u kojima se pravac i parabola sijeku su (3,9)i(1,5).

Pravac je sekanta parabole.

Pogledajmo grafički prikaz.

Na slici je grafički prikaz rješenja zadatka.
Grafički prikaz rješenja

Primjer 2.

Pronađimo sjecišta pravca y=-4x+4 i parabole y-4=-(x+1)2.

Umjesto y, u drugu jednadžbu uvrstimo -4x+4.

-4x+4-4=-(x+1)2

Jednadžbu sredimo:

(x+1)2=4x

x2+2x-4x+1=0

x2-2x+1=0 .

Jedina vrijednost koja zadovoljava tu jednadžbu je x=1.

y=-4·1+4 

y=0 

Dobili smo samo jednu točku (1,0). Što to znači? Sijeku li se parabola i pravac?

Parabola i pravac dodiruju se, tj. imaju jednu zajedničku točku. Pravac je tangenta parabole.

Primjer 3.

Odredimo sjecišta pravca y=x+2 i parabole y=2x2+3.

x+2=2·x2+3

-2x2+x-1=0

Rješenja te kvadratne jednadžbe nisu realna. Sijeku li se pravac i parabola?

U ovom slučaju pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

Na slici je grafički prikaz rješenja zadataka.
Pravac i parabola se sijeku

Diskriminanta i broj sjecišta

Pri traženju sjecišta kvadratne i linearne funkcije rješavamo kvadratnu jednadžbu. Možemo li prije rješavanja znati postoje li dva sjecišta, jedna dodirna točka ili se pravac i parabola ne sijeku?

Pozorno pogledajte primjere i uočite da:

  1. ​ako kvadratna jednadžba ima dva različita realna rješenja, onda postoje dvije zajedničke točke, tj. pravac i parabola se sijeku
  2. ako kvadratna jednadžba ima dva ista realna rješenja, onda se pravac i parabola dodiruju, tj. pravac je tangenta parabole
  3. ako kvadratna jedndažba ima dva kompleksna rješenja, onda pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

Možemo li znati rješenja kvadratne jednadžbe prije njezina rješavanja?

Sjetite se diskriminante kvadratne jdnadžbe. S pomoću nje možemo ispitati vrstu rješenja te zaključiti kakav je položaj zadanog pravca i parabole.

Pri rješavanju sustava jednadžbi y=kx+l i y=ax2+bx+c dolazimo do kvadratne jednadžbe ax2+(b-k)·x+c-l=0.

Ovisno o diskriminanti, kvadratna jednadžba može imati: ​

  • ​​dva različita realna rješenja za D>0
  • dva jednaka realna rješenja za D=0
  • dva kompleksna rješenja za D<0.

Ovisnost broja sjecišta o diskriminanti:

  • ​ako je D>0, pravac siječe parabolu u dvjema točkama
  • ako je D=0, pravac dodiruje parabolu
  • ako je D<0, pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

  1. Povežite diskriminantu i broj sjecišta pravca i parabole

    D=0
    D>0 
    D<0  ​
    null
    null
  2. Pravac koji siječe parabolu njezina je .
    null
    null
  3. Pravac koji dodiruje parabolu u jednoj njezinoj točki njezina je .
    null
    null

Zadatak 1.

Analitički odredite sjecišta pravca i parabole.

  1. y=8x+3 i y=x2+4x-9
  2. y+x=5 i y+3x2=-7x+2
  3. y=-3x-10 i y=5x2-2
  1. (-2,-13) i (6,51)
  2. (-1,6)
  3. Pravac i parabola se ne sijeku.​

Pogledajte u sljedećem videozapisu kako s pomoću GeoGebre možete grafički pronaći sjecišta parabole i pravca. Nakon što riješite analitički, rješenja možete brzo i lako provjeriti.

Primjer 4.

Na slici je grafički prikaz rješenja zadataka.

Riješimo sustav kvadratne i linearne funkcije grafički.

y=x-5

y=x2-6x+5

U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf linearne i kvadratne funkcije.

Prvo nađimo sjecište grafa linearne funkcije s koodinatnim osima.

x=0,y=0-5=-5

y=0,x=5

Imamo dvije točke (0,-5) i (5, 0).

Za kvadratnu funkciju izračunajmo nultočke.

x1,2=6±36-4·1·52·1=6±42

(5, 0) i (1, 0) su nultočke. Izračunajmo x koordinatu tjemena kao aritmetičku sredinu nulišta.

x0=x1+x22=5+12=3

y0=32-6·3+5=9-18+5=-4

Imamo i točku C(0, 5).

Nacrtajmo i potražimo točke u kojima se sijeku.

Vidimo da su sjecišta točke (5, 0) i (2,-3).

Kutak za znatiželjne

Presjek dviju parabola pronalazimo rješavajući sustav dviju kvadratnih jednadžbi.

Takav sustav također se svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe.

Dvije parabole mogu biti u sljedećem položaju:

Možemo li opisati njihov položaj s pomoću diskriminante kvadratne jednadžbe?

Riješite sustav.

f(x)=x2+3x

g(x)=x2+3x+4

Izjednačimo desne strane.

x2+3x=x2+3x+4

0=4

Dobili smo neistinitu jednakost pa zaključujemo da sustav nema rješenja. Parabole se ne sijeku.

Jesmo li mogli predvidjeti rješenje?

...i na kraju

Za kraj riješimo zadatak s početka.

Putanja projektila je kvadratna funkcija f(x)=-1500x2+325x+2, a kosina je linearna funkcija g(x)=320x.

-x2-15x+1000=0

x1=25x2=-40

Drugo rješenje je negativno pa ga ne uzimamo za rješenje.

y=320·25=154=3.75

Točka udara projektila je (25, 3.75).

Problem možemo riješiti i grafički.

Na slici je grafički prikaz rješenja zadanog problema s početka jedinice..

Idemo na sljedeću jedinicu

3.5 Kvadratne nejednadžbe