Haubica stoji u podnožju brda. Projektil koji ispaljuje ima putanju u obliku grafa kvadratne funkcije. Kosinu brda možemo prikazati linearnom funkcijom. Na animaciji uočite kvadratnu i linearnu funkciju. Gdje će projektil pasti? Može li nam matematika pomoći da riješimo taj zadatak?
U koordinatnom sustavu nacrtani su pravac i parabola. Pravcu je moguće mijenjati koeficijente s pomoću klizača. Mijenjajući koeficijente pravca, pokušajte odgovoriti na sljedeće pitanje.
Pravac i parabola mogu se naći u trima položajima:
parabola i pravac se ne sijeku
parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.
Pravac i prabola se ne sijeku
Parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
Parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.
Parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
Parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.
Presjek pravca i parabole moguće je pronaći na dva načina: analitički i grafički.
U sljedećim primjerima pokazat ćemo kako se to radi analitički.
Neka su pravac i parabola zadani jednadžbama. Naći presjek pravca i parabole znači odrediti koordinate točaka koje zadovoljavaju jednadžbu pravca i jednadžbu parabole. Te su koordinate rješenja pripadnog sustava jednadžbi.
Sjetite se metode supstitucije koju ste primjenjivali pri rješavanju dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Metodu supstitucije primijenit ćemo i ovdje. Iz linearne jednadžbe izrazit ćemo jednu nepoznanicu s pomoću druge te ju uvrstiti u drugu kvadratnu jednadžbu.
Moguće je također primijeniti metodu suprotnih koeficijenata.
Primjer 1.
Pronađimo sjecišta pravca
y=2x+3 i parabole
y=-x2+6x.
Lijeve strane jednakosti su jednake, pa izjednačimo i desne:
Rješenja uvrstimo u jednadžbu pravca kako bismo dobili vrijednost
y koordinate:
y1=2·3+3=9
y2=2·1+3=5.
Točke u kojima se pravac i parabola sijeku su
(3,9)i(1,5).
Pravac je sekanta parabole.
Pogledajmo grafički prikaz.
Grafički prikaz rješenja
Primjer 2.
Pronađimo sjecišta pravca
y=-4x+4 i parabole
y-4=-(x+1)2.
Umjesto y, u drugu jednadžbu uvrstimo
-4x+4.
-4x+4-4=-(x+1)2
Jednadžbu sredimo:
(x+1)2=4x
x2+2x-4x+1=0
x2-2x+1=0 .
Jedina vrijednost koja zadovoljava tu jednadžbu je
x=1.
y=-4·1+4
y=0
Dobili smo samo jednu točku
(1,0). Što to znači? Sijeku li se parabola i pravac?
Parabola i pravac dodiruju se, tj. imaju jednu zajedničku točku. Pravac je tangenta parabole.
Primjer 3.
Odredimo sjecišta pravca
y=x+2 i parabole
y=2x2+3.
x+2=2·x2+3
-2x2+x-1=0
Rješenja te kvadratne jednadžbe nisu realna. Sijeku li se pravac i parabola?
U ovom slučaju pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.
Pravac i parabola se sijeku
Diskriminanta i broj sjecišta
Pri traženju sjecišta kvadratne i linearne funkcije rješavamo kvadratnu jednadžbu. Možemo li prije rješavanja znati postoje li dva sjecišta, jedna dodirna točka ili se pravac i parabola ne sijeku?
Pozorno pogledajte primjere i uočite da:
ako kvadratna jednadžba ima dva različita realna rješenja, onda postoje dvije zajedničke točke, tj. pravac i parabola se sijeku
ako kvadratna jednadžba ima dva ista realna rješenja, onda se pravac i parabola dodiruju, tj. pravac je tangenta parabole
ako kvadratna jedndažba ima dva kompleksna rješenja, onda pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.
Možemo li znati rješenja kvadratne jednadžbe prije njezina rješavanja?
Sjetite se diskriminante kvadratne jdnadžbe. S pomoću nje možemo ispitati vrstu rješenja te zaključiti kakav je položaj zadanog pravca i parabole.
Pri rješavanju sustava jednadžbi
y=kx+l i
y=ax2+bx+c dolazimo do kvadratne jednadžbe
ax2+(b-k)·x+c-l=0.
ako je
D>0, pravac siječe parabolu u dvjema točkama
ako je
D=0, pravac dodiruje parabolu
ako je
D<0, pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.
Povežite diskriminantu i broj sjecišta pravca i parabole
D=0
D>0
D<0
null
null
Pravac koji siječe parabolu njezina je
.
null
null
Pravac koji dodiruje parabolu u jednoj njezinoj točki njezina je
.
null
null
Zadatak 1.
Analitički odredite sjecišta pravca i parabole.
y=8x+3 i
y=x2+4x-9
y+x=5 i
y+3x2=-7x+2
y=-3x-10 i
y=5x2-2
(-2,-13) i
(6,51)
(-1,6)
Pravac i parabola se ne sijeku.
Pogledajte u sljedećem videozapisu kako s pomoću GeoGebre možete grafički pronaći sjecišta parabole i pravca. Nakon što riješite analitički, rješenja možete brzo i lako provjeriti.
Primjer 4.
Riješimo sustav kvadratne i linearne funkcije grafički.
y=x-5
y=x2-6x+5
U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf linearne i kvadratne funkcije.
Prvo nađimo sjecište grafa linearne funkcije s koodinatnim osima.
x=0,y=0-5=-5
y=0,x=5
Imamo dvije točke
(0,-5) i
(5, 0).
Za kvadratnu funkciju izračunajmo nultočke.
x1,2=6±√36-4·1·52·1=6±42
(5, 0) i
(1, 0) su nultočke. Izračunajmo x koordinatu tjemena kao aritmetičku sredinu nulišta.
x0=x1+x22=5+12=3
y0=32-6·3+5=9-18+5=-4
Imamo i točku
C(0, 5).
Nacrtajmo i potražimo točke u kojima se sijeku.
Vidimo da su sjecišta točke
(5, 0) i
(2,-3).
Kutak za znatiželjne
Presjek dviju parabola pronalazimo rješavajući sustav dviju kvadratnih jednadžbi.
Takav sustav također se svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe.
Dvije parabole mogu biti u sljedećem položaju:
sijeku se u dvjema točkama
imaju jednu zajedničku točku
ne sijeku se.
Možemo li opisati njihov položaj s pomoću diskriminante kvadratne jednadžbe?
Riješite sustav.
f(x)=x2+3x
g(x)=x2+3x+4
Izjednačimo desne strane.
x2+3x=x2+3x+4
0=4
Dobili smo neistinitu jednakost pa zaključujemo da sustav nema rješenja. Parabole se ne sijeku.
Jesmo li mogli predvidjeti rješenje?
...i na kraju
Za kraj riješimo zadatak s početka.
Putanja projektila je kvadratna funkcijaf(x)=-1500x2+325x+2, a kosina je linearna funkcija
g(x)=320x.
-x2-15x+1000=0
x1=25x2=-40
Drugo rješenje je negativno pa ga ne uzimamo za rješenje.