Matematika 8 - 8.2 Kocka

Mjerljivo obilježje	Dogovorna oznaka
duljina brida kocke	$a$
oplošje kocke	$O$
volumen (obujam) kocke	$V$
duljina plošne dijagonale kocke	$d$
duljina prostorne dijagonale kocke	$D$

Mreža kocke

Primjer 3.

Petrina se sestra igrala drvenom kockom i temperama. Svaku je stranu kocke obojila jednom bojom i napravila otisak na papiru. Što je na taj način nacrtala?

Otiskujući svaku stranu samo jednom, napravila je jednu mrežu kocke.

Mreža je kocke ravninski prikaz svih strana kocke. Mreža kocke brida duljine $a$ sastoji se od šest kvadrata sa stranicom duljine $a .$

Primjer 4.

Predstavlja li svaki oblik sastavljen od šest sukladnih kvadrata kocku? Odgovor potražimo u animaciji koja slijedi.

Zadatak 2.

Prepoznaj koja od mreža predstavlja mrežu kocke.

Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.

null

null
Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.

null

null
Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.

null

null

Zadatak 3.

U narednoj interakciji slaganjem kvadata istraži što više različitih prikaza mreže kocke.

Zatvori

Oplošje kocke

Zbroj površina svih strana kocke nazivamo oplošje kocke i označavamo ga s velikim tiskanim slovom $O .$

Primjer 5.

Odredimo oplošje kocke s duljinom brida $a .$

Oplošje ćemo najlakše odrediti koristeći se mrežom kocke. Odredimo površinu svakog kvadrata sa stranicom duljine $a .$

$O = 6 \cdot a^{2}$

Oplošje kocke s bridom duljine $a$ iznosi $O = 6 \cdot a^{2}$

Primjer 6.

Izračunajmo oplošje kocke s bridom duljine $1.5 m .$

Zapišimo izraz za oplošje kocke $O$ zadane duljinom brida $a .$

$O = 6 \cdot a^{2}$

$O = 6 \cdot {1.5}^{2}$

$O = 6 \cdot 2.25$

$O = 13.5$

Oplošje kocke s bridom duljine $1.5 m$ iznosi $13.5 m^{2} .$

Primjer 7.

Izračunajmo duljinu brida kocke $a$ oplošja $150 {dm}^{2} .$

Napišimo izraz za računanje oplošja kocke $O$ zadane duljinom brida $a$ i uvrstimo oplošje.

$\begin{array}{l} O = 6 \cdot a^{2} \\ 150 = 6 \cdot a^{2} \\ a^{2} = 150 : 6 \\ a^{2} = 25 /^{\sqrt{2}} \\ a = 5 \end{array}$

Duljina brida kocke $a$ oplošja $150 {dm}^{2}$ iznosi $5 dm .$

Zadatak 4.

Riješite kviz.

Duljina brida kocke iznosi $a = 6 cm .$ Oplošje te kocke iznosi ${cm}^{2} .$
Kocka oplošja $486 {mm}^{2}$ ima brid duljine

$9 cm$

$9 mm$

$6 cm$

$6 mm$

Pomoć:

$O = 6 a^{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ 486 = 6 a^{2} \\ a^{2} = 81 /^{\sqrt{}} \\ |a| = 9 \\ a_{1,2} = \pm 9 \\ a = 9 mm \end{array}$
Kocka s bridom duljine $0.2 m$ ima oplošje iznosa ${dm}^{2} .$

Pomoć:

$O = 6 a^{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot {0.2}^{2} \\ O = 6 \cdot 0.04 \\ O = 0.24 \\ O = 24 {dm}^{2} \end{array}$
Oplošje kocke iznosi $24 {dm}^{2} .$ Duljina brida te kocke iznosi $cm .$

Pomoć:

$O = 6 a^{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ 24 = 6 a^{2} \\ a^{2} = 4 /^{\sqrt{}} \\ |a| = 2 \\ a_{1,2} = \pm 2 \\ a = 2 dm = 20 cm \end{array}$
Duljina brida kocke iznosi $10 \sqrt{2} cm .$ Njezino oplošje iznosi ${cm}^{2} .$

Pomoć:

$O = 6 a^{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot {(10 \sqrt{2})}^{2} \\ O = 6 \cdot 100 \cdot 2 \\ O = 1 200 {cm}^{2} \end{array}$

Zadatak 5.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte izračun oplošja kocke sa zadanom duljinom brida i izračunavanje duljine brida kocke iz zadanog oplošja kocke. (Točni rezultati unutar greške $0.2$ ).

Zadatak 6.

Slika prikazuje Rubikovu kocku — Rubikova kocka

Rubikova kocka ima brid duljine $5.75 cm .$ Koliko približno iznosi obojena površina Rubikove kocke?

Obojeni je dio Rubikove kocke jednak oplošju $O$ kocke s bridom duljine $a = 5.75 cm .$

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot {5.75}^{2} \\ O = 6 \cdot 33.0625 \\ O = 198.375 \\ O \approx 198 {cm}^{2} \end{array}$

Obojeni dio iznosi približno $\begin{array}{l} 198 {cm}^{2} \end{array} .$

Zatvori

Povezani sadržaji

Ilustracija prikazuje kockastu kućica na drvetu

Kućicu na drvetu koja ima oblik kocke cijelu treba iznutra obložiti vodootpornim pločama. Visina unutrašnjosti kućice iznosi $180 cm .$ Cijena vodootporne ploče dimenzija $1700 mm \times 2500 mm$ iznosi $100.63 kn .$ Kolika će biti minimalna cijena šperploče potrebne za cjelokupno oblaganje unutrašnjosti kućice?

Kako bismo odredili cijenu ploča potrebnih za oblaganje, moramo izračunati koliku površinu one trebaju prekrivati. Ta je površina jednaka oplošju $O$ kocke brida duljine $a = 180 cm = 1.8 m .$

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot {1.8}^{2} \\ O = 6 \cdot 3.24 \\ O = 19.44 m^{2} \end{array}$

Također treba odrediti i površinu koju prekriva jedna ploča dimenzija $1700 mm \times 2500 mm .$

Preračunano u metre površina jedne ploče iznosi $1.7 \cdot 2.5 = 4.25 m^{2} .$

Kako bismo saznali broj ploča, podijelimo ukupnu površinu s površinom jedne ploče:

$19.44 : 4.25 = 4.57$

Iznos nije cjelobrojan pa možemo zaključiti kako je minimalni broj ploča koji treba kupiti $5 .$

Cijena je pet ploča $c_{5}$ jednaka broju ploča pomnoženom s cijenom jedne koja iznosi $100.63 kn .$

$c_{5} = 5 \cdot 100.63 = 503.15$

Cijena će oblaganja kućice iznositi $503.15$ kuna.

Povezani sadržaji

Slika prikazuje kocku s istaknutim točkama E koja je vrh i F koja je polovište brida

Na slici je prikazana kocka brida duljine $24 cm .$ Točka $F$ je na polovištu brida, a točka $E$ je vrh kocke. Koliko iznosi najkraći put kojim će pauk, hodajući po stranama kocke, iz točke $F$ stići u točku $E ?$

Povezani sadržaji

Slika prikazuje kocku s istaknutim točkama E koja je vrh i F koja je polovište brida i najkraći put po stranama kocke između te dvije točke

Na slici je prikazana kocka brida duljine $24 cm .$ Točka $E$ je na polovištu brida, a točka $F$ je vrh kocke. Točka $T$ nalazi se na presjeku brida i najkraće spojnice točaka $E$ i $F$ koja pripada susjednim stranama kocke. Točke $A$ i $B$ vrhovi su kocke. Odredite omjer dužina $|A B| : |T B| .$

Slika prikazuje mrežu kocke s istaknutim pravokutnim trokutom

Rastvorimo kocku u njezin ravninski prikaz, mrežu.

Uočimo trokute $E F D$ i $E T B .$

Ti su trokuti slični jer imaju dva sukladna kuta. Svaki od njih ima pravi kut, a kut $∠ D E F$ je zajednički.
Slični trokuti imaju stranice u istom omjeru.

Označimo udaljenosti kao $|A B| = a$ , $|T B| = x,$ tražimo $a : x .$

$\begin{array}{l} a : x = (a + \frac{a}{2}) : \frac{a}{2} \\ a : x = \frac{3 a}{2} : \frac{a}{2} \\ a : x = \frac{3 a^{1}}{2_{1}} \cdot \frac{2^{1}}{a_{1}} \\ a : x = 3 : 1 \end{array}$

Omjer dužina iznosi $3 : 1 .$

Dijagonale kocke

Primjer 8.

Na slici je kocka $A B C D E F G H$ brida duljine $a .$

Odredimo najkraću udaljenost vrhova $A$ i $G .$

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH s istaknutom prostornom dijagonalom AG

Najkraća je udaljenost vrhova $A$ i $G$ prostorna dijagonala kocke.

Prostorna dijagonala kocke je spojnica dvaju nasuprotnih vrhova kocke koji ne pripadaju istim stranama kocke.

Zanimljivost

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH i prostorne dijagonale AG, BH, CE i DF

Kocka ima četiri prostorne dijagonale koje se sijeku u jednoj točki. Međusobno se raspolavljaju. Točka $S$ središte je kocke.

Slika prikazuje kocku i pravokutni trokut s hipotenuzom D, katetama a i d

Promotrimo sliku. Prostorna je dijagonala hipotenuza pravokutnog trokuta. Jedna je kateta brid kocke, a druga je plošna dijagonala, tj. dijagonala kvadrata.

Duljinu ćemo prostorne dijagonale označiti s $D .$

Primjer 9.

Izrazimo duljinu prostorne dijagonale kocke $D$ s pomoću duljine brida kocke $a .$

Podsjetimo se: duljina dijagonale kvadrata stranice duljine $a$ iznosi $d = a \sqrt{2} .$

$\begin{array}{l} D^{2} = a^{2} + d^{2} \\ D^{2} = a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} \\ D^{2} = a^{2} + a^{2} {\sqrt{2}}^{2} \\ D^{2} = a^{2} + 2 a^{2} \\ D^{2} = 3 a^{2} /^{\sqrt{}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{D^{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^{2}} \\ D = a \sqrt{3} \end{array}$

Duljina prostorne dijagonale kocke $D$ brida duljine $a$ je $D = a \sqrt{3} .$

Primjer 10.

Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale kocke brida duljine $5 cm .$

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke $a = 5 cm .$

$D = a \sqrt{3}$

$D = 5 \sqrt{3} cm$

$D \approx 8.66 cm$

Duljina prostorne dijagonale kocke brida $a = 5 cm$ iznosi $5 \sqrt{3} cm .$

Primjer 11.

Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale kocke brida duljine $\sqrt{3} cm .$

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke $\sqrt{3} cm .$

$\begin{array}{l} D = a \sqrt{3} \\ D = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \\ D = 3 \end{array}$

Duljina prostorne dijagonale kocke brida $a = \sqrt{3} cm$ iznosi $3 cm .$

Primjer 12.

Duljina prostorne dijagonale kocke iznosi $12 .$ Odredimo oplošje te kocke.

Za oplošje kocke treba nam duljina brida kocke. Duljinu ćemo brida kocke izračunati iz duljine prostorne dijagonale.

$\begin{array}{l} D = a \sqrt{3} \\ 12 = a \sqrt{3} \\ a = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ a = \frac{12 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \\ a = 4 \sqrt{3} \end{array}$

Izračunajmo oplošje.

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot {(4 \sqrt{3})}^{2} \\ O = 6 \cdot 16 \cdot 3 \\ O = 288 \end{array}$

Oplošje kocke s prostornom dijagonalom duljine $12$ iznosi $288 .$

Zadatak 7.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Duljina brida kocke $[cm]$ $a$	Oplošje kocke $[{cm}^{2}]$ $O$	Duljina prostorne dijagonale $[cm]$ $D$
$1.2$
	$1.5$
		$14 \sqrt{3}$
$\sqrt{6}$
	$108$
		$\sqrt{\frac{10}{3}}$

Duljina brida kocke $[cm]$ $a$	Oplošje kocke $[{cm}^{2}]$ $O$	Duljina prostorne dijagonale $[cm]$ $D$
$1.2$	$8.64$	$1.2 \sqrt{3}$
$0.5$	$1.5$	$0.5 \sqrt{3}$
$14$	$1 176$	$14 \sqrt{3}$
$\sqrt{6}$	$36$	$3 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{2}$	$108$	$3 \sqrt{6}$
$\frac{\sqrt{10}}{3}$	$6 . \dot{6}$	$\sqrt{\frac{10}{3}}$

Dijagonalni presjek kocke

Primjer 13.

Promotrimo ravninu koja sadrži jednu prostornu dijagonalu i okomita je na jednu stranu kocke. Za takvu ravninu kažemo da dijagonalno presijeca kocku.

Dijagonalni je presjek kocke pravokutnik. Odredimo izraz za površinu dijagonalnog presjeka koju ćemo označiti s $p_{d p} .$

$\begin{array}{l} p_{d p} = a \cdot d \\ p_{d p} = a \cdot a \sqrt{2} \\ p_{d p} = a^{2} \cdot \sqrt{2} \\ p_{d p} = a^{2} \sqrt{2} \end{array}$

Dijagonalni presjek kocke je presjek kocke ravninom koju određuju međusobno paralelne dijagonale dviju nasuprotnih strana.

Površina dijagonalnog presjeka kocke brida $a$ iznosi $p_{d p} = a^{2} \sqrt{2} .$

Primjer 14.

Izračunajmo površinu i opseg dijagonalnog presjeka kocke brida duljine $a = 5 m .$

Površinu dijagonalnog presjeka kocke računamo po formuli:

$\begin{array}{l} p_{d p} = a^{2} \sqrt{2} \\ p_{d p} = 5^{2} \sqrt{2} \\ p_{d p} = 25 \sqrt{2} \\ p_{d p} \approx 35.36 m^{2} \end{array}$

Izračunajmo opseg dijagonalnog presjeka $o_{d p} .$

Dijagonalni je presjek kocke pravokutnik.

Duljina je jedne stranice jednaka duljini brida kocke $a .$

Druga je stranica jednaka duljini plošne dijagonale kocke $d = a \sqrt{2} .$

Opseg je zbroj duljina stranica

$\begin{array}{l} o_{d p} = 2 a + 2 a \sqrt{2} \\ o_{d p} = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 \sqrt{2} \\ o_{d p} = 10 + 10 \sqrt{2} \\ o_{d p} = 10 (1 + \sqrt{2}) \approx 2.41 m \end{array}$

Primjer 15.

Dijagonalni presjek kocke ima površinu $p_{d p} = 18 \sqrt{2} {cm}^{2} .$ Odredimo oplošje te kocke.

Za oplošje kocke trebamo duljinu brida kocke $a,$ koju ćemo odrediti iz površine dijagonalnog presjeka.

$\begin{array}{l} p_{d p} = a^{2} \sqrt{2} \\ 18 \sqrt{2} = a^{2} \sqrt{2} / : \sqrt{2} \\ a^{2} = 18 \end{array}$

Nije potrebno korjenovati jer nam za oplošje treba baš $a^{2} .$

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot 18 \\ O = 108 {cm}^{2} \end{array}$

Oplošje kocke dijagonalnog presjeka $18 \sqrt{2} cm$ iznosi $108 {cm}^{2} .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Duljina brida kocke $[cm]$ $a$	Površina dijagonalnog presjeka kocke $[{cm}^{2}]$ $p_{d p}$	Oplošje kocke $[{cm}^{2}]$ $O$
$2.5$
	$10 \sqrt{2}$
		$144$
$0 . \bar{3}$
	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
		$2.16$

Duljina brida kocke $[cm]$ $a$	Površina dijagonalnog presjeka kocke $[{cm}^{2}]$ $p_{d p}$	Oplošje kocke $[{cm}^{2}]$ $O$
$2.5$	$6.25 \sqrt{2}$	$37.5$
$\sqrt{10}$	$10 \sqrt{2}$	$60$
$2 \sqrt{6}$	$24 \sqrt{2}$	$144$
$0 . \bar{3}$	$\frac{\sqrt{2}}{9}$	$0 . \bar{6}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$3$
$0.6$	$0.36 \sqrt{2}$	$2.16$

Zadatak 9.

Odredite duljinu presjeka dijagonalnih ravnina kocke na slici. Duljina brida te kocke iznosi

a = 3 \sqrt{3} .

Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka

Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka i njihovim presjekom - prostornom dijagonalom

Presjek tih dvaju dijagonalnih presjeka kocke je prostorna dijagonala kocke. Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale.

$\begin{array}{l} D = a \sqrt{3} \\ D = 3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \\ D = 3 \cdot {\sqrt{3}}^{2} \\ D = 9 \end{array}$

Duljina presjeka tih dvaju dijagonalnih presjeka iznosi $9 .$

Zadatak 10.

Površina dijagonalnih presjeka na slici iznosi $p_{d p} = 50 \sqrt{2} .$ Odredite duljinu presjeka dijagonalnih ravnina kocke na slici.

Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka s njihovim presjekom

Presjek tih dijagonalnih ravnina je dužina koja ima duljinu jednaku duljini brida kocke $a .$

Duljinu ćemo brida izračunati iz površine dijagonalnog presjeka $p_{d p} = 50 \sqrt{2} .$

$\begin{array}{l} p_{d p} = a^{2} \sqrt{2} \\ 50 \sqrt{2} = a^{2} \sqrt{2} / : \sqrt{2} \\ a^{2} = 50 /^{\sqrt{}} \\ a = \sqrt{50} \\ a = \sqrt{25 \cdot 2} \\ a = \sqrt{25} \sqrt{2} \\ a = 5 \sqrt{2} \end{array}$

Presjek zadanih dijagonalnih ravnina iznosi $5 \sqrt{2} .$

Zatvori

Volumen ili obujam kocke

Slika prikazuje kocku ispunjena jediničnim kockama

Volumen je kocke jednak broju jediničnih kocaka koje ju potpuno popune.

Na primjer, broj je jediničnih kocaka velike kocke na slici jednak $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 .$

Mjerne su jedinice za volumen kubne mjerne jedinice: ${mm}^{3},$ ${cm}^{3},$ $m^{3},$ ...

Obujam ili volumen je broj jediničnih kocaka koje u potpunosti popunjavaju tijelo.

Volumen ili obujam kocke $V$ s bridom duljine $a$ računa se po formuli $V = a \cdot a \cdot a = a^{3} .$

Primjer 16.

U sljedećoj aktivnosti odaberite duljinu brida kocke na klizaču. Popunite odabranu kocku jediničnim kockama i odredite volumen (obujam) te kocke. Jedinične kocke odaberite s iste razine na koju želite slagati.

Primjer 17.

Izračunajmo volumen kocke duljine brida $a = 5 m .$

Napišimo izraz za računanje volumena kocke $V$ brida duljine $a$ i uvrstimo zadanu duljinu brida.

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = 5^{3} \\ V = 125 m^{3} \end{array}$

Volumen kocke duljine brida $a = 5 m$ iznosi $125 m^{3} .$

Primjer 18.

Izračunajmo duljinu brida kocke čiji volumen iznosi $V = 8 m^{3} .$

Kako bismo našli duljinu brida kocke zadanog volumena, moramo odrediti broj koji pomnožen tri puta sam sa sobom daje $8,$ odnosno koji broj je kub zadanog broja.

$\begin{array}{l} 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} \\ a = 2 \end{array}$

Duljina brida kocke čiji je volumen $V = 8 m^{3}$ iznosi $.$ $a = 2 m$

Primjer 19.

Kada moramo odrediti koji je broj kub zadanog broja (obično je to volumen), najsigurnija je metoda rastavljanje broja na proste faktore i traženje među njima tri istovrsna faktora.

Evo primjerakubovaprvih deset prirodnih brojeva.

Zadani broj – volumen Rastav broja Kub

$8$ $2 \cdot 2 \cdot 2$ $2^{3}$

$27$ $3 \cdot 3 \cdot 3$ $3^{3}$

$64$ $4 \cdot 4 \cdot 4$ $4^{3}$

$125$ $5 \cdot 5 \cdot 5$ $5^{3}$

$216$ $6 \cdot 6 \cdot 6$ $6^{3}$

$343$ $7 \cdot 7 \cdot 7$ $7^{3}$

$512$ $8 \cdot 8 \cdot 8$ $8^{3}$

$729$ $9 \cdot 9 \cdot 9$ $9^{3}$

$1000$ $10 \cdot 10 \cdot 10$ $10^{3}$

Zadani broj – volumen	Rastav broja	Kub
$8$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	$2^{3}$
$27$	$3 \cdot 3 \cdot 3$	$3^{3}$
$64$	$4 \cdot 4 \cdot 4$	$4^{3}$
$125$	$5 \cdot 5 \cdot 5$	$5^{3}$
$216$	$6 \cdot 6 \cdot 6$	$6^{3}$
$343$	$7 \cdot 7 \cdot 7$	$7^{3}$
$512$	$8 \cdot 8 \cdot 8$	$8^{3}$
$729$	$9 \cdot 9 \cdot 9$	$9^{3}$
$1000$	$10 \cdot 10 \cdot 10$	$10^{3}$

Zadatak 11.

Komunalni doprinos mora platiti svaki vlasnik objekta pri njegovoj izgradnji i obračunava se cijenom po metru kubičnom. U Zagrebu je najveća cijena u prvoj građevnoj zoni $118 {kn/m}^{3} .$ Obitelj je sagradila novu dvorišnu gospodarsku zgradu oblika kocke duljine brida $9.5$ metara. Koliko će iznositi komunalni doprinos za tu građevinu?

(Podatci preuzeti sa stranice.)

Treba izračunati volumen te zgrade te ga pomnožiti s jediničnom cijenom komunalnog doprinosa.

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = {9.5}^{3} \\ V = 857.375 m^{3} \end{array}$

Pomnožimo taj iznos s jediničnom cijenom.

Komunalni doprinos za tu građevinu iznosi $857.375 \cdot 118 = 101 170.25$ kuna.

Primjer 20.

Oplošje kocke iznosi $294 m^{2} .$ Koliki je volumen te kocke?

Za volumen nam treba duljina brida $a .$ Duljinu ćemo brida izračunati iz zadanog oplošja.

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ 294 = 6 a^{2} \\ a^{2} = 294 : 6 \\ a^{2} = 49 /^{\sqrt{}} \\ a = 7 \end{array}$

Izračunajmo volumen.

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = 7^{3} \\ V = 343 m^{3} \end{array}$

Volumen kocke oplošja $294 m^{2}$ iznosi $343 m^{3} .$

Zadatak 12.

Riješite kratki kviz u kojem su povezani oplošje i volumen.

Zadan je iznos oplošja kocke $O .$ Uparite ga s odgovarajućim iznosom volumena $V$ te kocke.

$O = 48 {cm}^{2}$	$V = 0.001 m^{3}$
$O = 18 {cm}^{2}$	$V = 16 \sqrt{2} {cm}^{3}$
$O = 0.1 \dot{6} {cm}^{2}$	$V = 0 . \bar{037} {cm}^{3}$
$O = 6 \cdot 10^{2} {cm}^{2}$	$V = 3 \sqrt{3} {cm}^{3}$
$O = 0 . \dot{6} {cm}^{2}$	$V = 0.02 \dot{7} {cm}^{3}$

Pomoć:

$O = 6 a^{2}, V = a^{3}$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ a^{2} = \frac{O}{6} /^{\sqrt{}}, a \geq 0 \\ a = \sqrt{\frac{O}{6}} \end{array}$

Volumen kocke iznosi $V = 1 331 m^{3} .$ Oplošje te kocke iznosi $m^{2}$ .

Pomoć:

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ O = 6 a^{2} \end{array}$

Postupak:

$\begin{array}{l} V = 1 331 \\ a^{3} = a \cdot a \cdot a = 11 \cdot 11 \cdot 11 \\ a = 11 m^{3} \\ O = 6 a^{2} \\ O = 6 \cdot 11^{2} \\ O = 6 \cdot 121 \\ O = 726 m^{2} \end{array}$

Povezani sadržaji

Kristal soli ima oblik kocke brida prosječne duljine $0.35 mm .$

Koliki je volumen kristala soli?
Koliko maksimalno takvih kristala stane u kocku duljine brida $1 cm ?$

Duljina je brida $0.35 mm .$

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = {0.35}^{3} \\ V = 0.042875 {mm}^{3} \end{array}$
Kako bismo dobili maksimalni iznos takvih kristala u kocki duljine brida $1 cm,$ izračunajmo volumen te kocke i podijelimo ga s volumenom kristala soli.

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = 1^{3} \\ V = 1 {cm}^{3} \end{array}$

Podijelimo volumene.

$1 {cm}^{3} : 0.042875 {mm}^{3} = 1 000 {mm}^{3} : 0.042875 {mm}^{3} = 23 323.61516$

Maksimalni bi broj cijelih kristalića bio $23 323 .$

Primjer 21.

Na slici je model sastavljen od kocaka brida duljine $1.5 cm .$ Odredimo ukupan volumen modela.

Na slici je $10$ kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s $10$ .

$\begin{array}{l} V = 10 a^{3} \\ V = 10 \cdot {1.5}^{3} \\ V = 10 \cdot 3.375 \\ V = 33.75 {cm}^{3} \end{array}$

Ukupan volumen iznosi $33.75 {cm}^{3} .$

Zadatak 13.

Slika prikazuje model sastavljen od kocaka

Na slici je model sastavljen od kocaka brida duljine $\sqrt{5} cm .$ Koliki je ukupan volumen modela?

Na slici je $10$ kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s $10 .$

$\begin{array}{l} V = 10 a^{3} \\ V = 10 \cdot {\sqrt{5}}^{3} \\ V = 10 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \\ V = 10 \cdot {\sqrt{5}}^{2} \cdot \sqrt{5} \\ V = 50 \sqrt{5} {cm}^{3} \end{array}$

Ukupan volumen iznosi $50 \sqrt{5} {cm}^{3} .$

Kutak za znatiželjne

Na slici su prikazani modeli sastavljeni od kocaka brida duljine $5.6 dm .$

Iznad modela su tlocrti s upisanim brojem kocaka posloženih u visinu.

Odredite volumen svakog modela.

Na slici su modeli sastavljeni od kocaka i njihovi pridruženi tlocrti

Na slici su modeli sastavljeni od kocaka i njihovi pridruženi tlocrti te iznosi volumena

Ispod svakog modela su ispravne vrijednosti volumen .

Zadatak 14.

Kocka kojoj su smanjene duljine bridova za $12 cm$ ima oplošje $1 944 {cm}^{2} .$ Koliki je volumen početne kocke?

Za volumen početne kocke treba nam duljina njezina brida. Označimo duljinu brida početne kocke s $x .$ Tada vrijedi:

$\begin{array}{l} 6 {(x - 12)}^{2} = 1 944 \\ {(x - 12)}^{2} = 1 944 : 6 \\ {(x - 12)}^{2} = 324 /^{\sqrt{}} \\ x - 12 = \pm \sqrt{324} \\ x - 12 = \pm 18 \\ x_{1} = 12 + 18 = 30 \\ x_{2} = 12 - 18 = - 6 < 0 \end{array}$

Duljina brida mora biti veća od nule stoga negativno rješenje odbacimo i uzmemo rješenje $30 cm .$

Volumen tražene kocke iznosi:

$\begin{array}{l} V = a^{3} \\ V = 30^{3} \\ V = 27 000 {cm}^{3} \end{array}$

...i na kraju

Kocka je geometrijsko tijelo koje čovjek često upotrebljava u umjetnosti, arhitekturi, društvenim igrama...

I priroda „voli“ oblik kocke koji je čest oblik kristala.

Oplošje kocke duljine brida $a$ zbroj je svih površina koje ju omeđuju i računa se kao $O = 6 a^{2} .$

Volumen (obujam) kocke računa se kao $V = a^{3} .$

Duljina prostorne dijagonale računa se kao $D = a \sqrt{3 .}$

Kocka ima vrhova, strana, bridova.

Pomoć:

null
Je li na slici mreža kocke?

Da

Ne

null
Je li na slici mreža kocke?

Da

Ne

null

null

Spoji parove. Sa $O$ je zadano oplošje, a sa $V$ volumen kocke.

$O = 6 {cm}^{2}$	$V = 216 {cm}^{3}$
$O = 1 {cm}^{2}$	$V = \frac{\sqrt{6}}{36} {cm}^{3}$
$O = 36 {cm}^{2}$	$V = 6 \sqrt{6} {cm}^{3}$
$O = 216 {cm}^{2}$	$V = 1 {cm}^{3}$

Pomoć:

$\begin{array}{l} O = 6 a^{2} \\ V = a^{3} \end{array}$

null

Ako je duljina brida kocke $\sqrt{3},$ onda je duljina prostorne dijagonale .

Pomoć:

$D = a \sqrt{3}$

null
Ako je površina dijagonalnog presjeka kocke $121 \sqrt{2},$ onda je duljina brida kocke .

Pomoć:

$p_{d p} = a^{2} \sqrt{2}$

null

8.2 Kocka

Na početku...

Zanimljivost

Odnosi bridova i strana kocke

Zadatak 1.

Mreža kocke

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Oplošje kocke

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

Dijagonale kocke

Zanimljivost

Zadatak 7.

Dijagonalni presjek kocke

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Volumen ili obujam kocke

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Povezani sadržaji

Zadatak 13.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 14.

...i na kraju

8.3 Kvadar