6.5 Centralna simetrija

Centralnosimetrična slika točke s obzirom na središte simetrije $S$

Primjer 1.

Centralnosimetrična slika točke $A$ s obzirom na centar simetrije ​ $S$ je točka $A\text{'}.$

Točke $A,$ ​ $S$ i $A\text{'}$ pripadaju istom pravcu. One su kolinearne. ​

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, $\left|AS\right|=\left|A\text{'}S\right|.$

Ako je točka $A\text{'}$ centralnosimetrična točki $A$ s obzirom na centar simetrije ​ $S,$ onda je i točka $A$ centralnosimetrična točki $A\text{'}$ s obzirom na isti centar simetrije ​ $S.$ 

Kažemo da su točke $A$ i $A\text{'}$ centralnosimetrične s obzirom na centar simetrije ​ $S.$

Primjer 2.

Zadana je točka $A$ i središte simetrije $S$.

Odredimo koja joj je od ponuđenih točaka centralnosimetrična s obzirom na središte simetrije $S$.

Centralnosimetrična točka točki $A$ je točka $M$ jer:

1. točke $A,$ $S$ i $M$ pripadaju istom pravcu
2. točke $A$ i $M$ su jednako udaljene od središta simetrije $S,$ $\left|AS\right|=\left|MS\right|.$

Primjer 3.

Točka $S$ je središte simetrije.
Odredimo parove centralnosimetričnih točaka s obzirom na središte simetrije $S.$

Tražimo parove točaka koji:

• zajedno sa središtem centralne simetrije pripadaju istom pravcu, tj. kolinearne su.
• su jednako udaljeni od središta centralne simetrije $S.$

Te uvjete zadovoljavaju parovi točaka: $A$ i $C$ te $E$ i $F.$

Te uvjete ne zadovoljavaju parovi točaka $I$ i $J$ te $G$ i $H.$

Točke $I$ i $J:$

• zajedno sa središtem centralne simetrije pripadaju istom pravcu, tj. $I$ , $J$ i $S$ su kolinearne.
  
• nisu jednako udaljene od središta centralne simetrije $S.$

Točke $G$ i $H:$

• ne pripadaju istom pravcu kao i središte centralne simetrije, tj. nisu $G$ , $H$  i $S$  nisu kolinearne.

Zadatak 1.

Odaberi slike na kojima su točke $E$ i $D$ centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije $S$.

Odredite točan odgovor.

 

 

Pomoć:

Točke $S$ ,  $E$ i $D$ moraju pripadati istom pravcu i biti jednako udaljene od središta centralne simetrije $S$ .​

null

Centralnosimetrična slika dužine s obzirom na središte simetrije $S$

Primjer 4.

Centralnosimetrična slika dužine $\overline{AB}$ s obzirom na centar simetrije ​ $S$ je dužina $\overline{A\text{'}B\text{'}}.$

Za točku $A:$

točke $A,$ ​ $S$ i $A\text{'}$ pripadaju istom pravcu. One su kolinearne.

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, $\left|AS\right|=\left|A\text{'}S\right|.$

Za točku $B:$

Točke $B,$ ​ $S$ i $B\text{'}$ pripadaju istom pravcu. One su kolinearne.

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, $\left|BS\right|=\left|B\text{'}S\right|.$

Ako je dužina $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ centralnosimetrična dužini $\overline{AB}$ s obzirom na centar simetrije $S,$

onda je i dužina $\overline{AB}$ centralnosimetrična dužini $\overline{A\text{'}B}$ s obzirom na isti centar simetrije $S.$

Kažemo da su dužine $\overline{AB}$ i $\overline{A\text{'}B\text{'}}$centralnosimetrične s obzirom na centar simetrije ​ $S.$

Primjer 5.

Promotrimo sliku centralnosimetričnih dužina​ $\overline{MN}\mathrm{i}\overline{M\text{'}N\text{'}}.$ $$ $$  

Dužine $\overline{MN}\mathrm{i}\overline{M\text{'}N\text{'}}$ su sukladne, tj. jednakih duljina $\left|MN\right|=\left|M\text{'}N\text{'}\right|.$ M N = M ' N '

Dužine​ $\overline{MN}\mathrm{i}\overline{M\text{'}N\text{'}}$ su paralelne (usporedne), ​ $\overline{MN}\parallel \overline{M\text{'}N\text{'}}.$

Kutak za znatiželjne

Kako pokazati da su centralnosimetrične dužine sukladne odnosno jednakih duljina?

Uočimo trokute $△SMN\mathrm{i}\mathrm{△}\mathit{SM\text{'}N\text{'}}.$

Svi su vršni kutovi jednake mjere, $\angle MSN\cong \angle M\text{'}SN\text{'}.$

Točke​ $M\mathrm{i}M\text{'}$  su centralnosimetrične pa su jednako udaljene od središta simetrije, $\left|SM\right|=\left|SM\text{'}\right|.$

Točke​ $N\mathrm{i}N\text{'}$ su centralnosimetrične pa su jednako udaljene od središta simetrije, $\left|SN\right|=\left|SN\text{'}\right|.$

Prema poučku SKS (Ako su dvije stranice jednake duljine, a kutovi između njih jednake mjere, trokuti su sukladni.) trokuti $△SMN\mathrm{i}\mathrm{△}\mathit{SM\text{'}N\text{'}}$ su sukladni.

To znači da su im sve stranice jednake duljine pa su dužine $\overline{MN}\mathrm{i}\overline{M\text{'}N\text{'}}$ sukladne, tj. jednakih duljina $\left|MN\right|=\left|M\text{'}N\text{'}\right|$ $.$

 ​

Zadatak 2.

Odaberite slike na kojima su dužine $\overline{CD}\mathrm{i}\overline{EF}$ centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije $S$.

 Odredite točne odgovore.

 

 

Pomoć:

 Centralnosimetrične dužine su usporedne i jednake duljine.

null

Centralnosimetrični likovi

Primjer 6.

Promotrimo trokute na slici.

Vrhovi su trokuta centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije $S$.

Stranice su trokuta centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije $S$ .

Trokuti su centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije $S$ .

Centralnosimetrični trokuti su sukladni.

Zadatak 3.

Odaberi slike na kojima su likovi centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije $S$ .

Odredite točne odgovore.

 

 

 

 

Pomoć:

 Centralnosimetrični likovi s obzirom na središte simetrije su sukladni.

null

Zanimljivost

Nacrtali smo dva međusobno okomita pravca $p$ i $t,$ $p\perp t.$

Lik $ABCD$ smo osnosimetrično preslikali preko osi $p$ i dobili sliku $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$

Dobivenu smo sliku $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ osnosimetrično preslikali preko osi $t$ i dobili sliku $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$.

Likovi $ABCD$ i $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$  su centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije $S,$ sjecište okomitih pravaca $p$ i $t.$

Zadatak 4.

Odaberite likove koji su centralnosimetrični.

Likovi koji su sami sebi centralnosimetrični

Primjer 7.

Proučimo kvadrat.

Pokažimo da je centralnosimetričan sam sebi, odnosno da se preslikava sam u sebe s obzirom na središte simetrije $S.$

Središte centralne simetrije $S,$ kojom se kvadrat preslikava u samog sebe, sjecište je dijagonala kvadrata.

1. Nasuprotni vrhovi kvadrata su centralnosimetrični, $A$ i $C$ te $B$ i $D.$
   

   • Dijagonale kvadrata se raspolavljaju.
   • Nasuprotne su točke jednako udaljene od središta centralne simetrije $S.$​

2. Nasuprotne su stranice kvadrata centralnosimetrične, $\overline{AB}\mathrm{i}\overline{CD}$ te $\overline{BC}\mathrm{i}\overline{AD}.$

   Kvadrat je vrsta paralelograma jer ima:
   

   • nasuprotne stranice jednake duljine
     
   • nasuprotne stranice paralelne. 

Zadatak 5.

Odredite koji su od ponuđenih četverokuta centralnosimetrični s obzirom na sjecište dijagonala.

 Odaberite točne odgovore.

 Pravokutnik

  Romb

  Paralelogram

  Trapez

  Deltoid

Pomoć:

 Dijagonale jednakokračnog trapeza i deltoida ne raspolavljaju se.

null

Svi paralelogrami su centralnosimetrični s obzirom na sjecište dijagonala.

Zanimljivost

 Koji su od pravilnih mnogokuta centralnosimetrični?

 Centralnosimetrični su samo pravilni mnogokuti s parnim brojem vrhova.

Krug je sam sebi centralnosimetričan s obzirom na svoje središte.

Povucite na satu u obliku kruga parove brojeva na međusobno centralnosimetrične pozicije.

Povucite brojeve na sliku.

$2$

$3$

$6$

$12$

$9$

$8$

null

null

Primjer 8.

U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini točke su $D$ i $E$ centralnosimetrične s obzirom na ishodište.

Promotrimo njihove koordinate.

Koordinate apscisa su suprotni brojevi.

$\left|-2\right|=\left|2\right|$ 

Koordinate ordinata su suprotni brojevi.

$\left|3\right|=\left|-3\right|$ 

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Je li nacrtani lik u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini centralnosimetričan s obzirom na ishodište? Koordinate vrhova cu cjelobrojne.

Rješenje

Treba odrediti koordinate točaka i provjeriti jesu li u parovima centralnosimetričnih točaka suprotne.

Nacrtani likovi su centralnosimetrični.

Koordinate su odgovarajućih točaka suprotne.

---

Zadatak 7.

Je li nacrtani lik u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini centralnosimetričan s obzirom na ishodište? Koordinate su vrhova cjelobrojne.

Rješenje

Treba odrediti koordinate točaka i provjeriti jesu li u parovima centralnosimetričnih točaka suprotne.

Nacrtani su likovi centralnosimetrični.

Koordinate su odgovarajućih točaka suprotne.

---

Zadatak 8.

Odredi koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na ishodište pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini.

Rješenje

Koordinate vrhova centralnosimetričnog lika su:

$A\text{'}\left(4,3\right),$ $B\text{'}\left(-4,3\right),$ $C\text{'}\left(-2,-2\right),$ $D\text{'}\left(2,-2\right).$

---

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 9.

Odredi koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na središte simetrije $S$ .

Rješenje

Koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na središte simetrije $S$ su $A\text{'}\left(2,0\right),B\text{'}\left(9,4\right),C\text{'}\left(0,8\right).$

---

Zadatak 10.

Nik je napisao svoje ime i ispravno ga preslikao centralnosimetrično s obzirom na središte simetrije $S$ . Koja slika prikazuje taj centralnosimetrični zapis?

 Odredite točan odgovor.

null

null

Zatvori

Projekt

Napiši svoje ime u kvadratnoj mreži i preslikaj ga centralnosimetrično s obzirom na središte centralne simetrije koje sam odabereš.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 11.

Odredi koje vrijeme na digitalnom satu ima centralnosimetrične brojke.

 Odaberite točan odgovor.

 

 Nije centralnosimetrično.

 

 

  Centralnosimetrično je, ali ne postoji to vrijeme.

 Ne postoji to vrijeme.

null

null

Zadatak 12.

Odaberi motive koji su centralnosimetrični.

 Odaberi točan odgovor.

  Vrsta morske zvijezde.

  Šesterokraka zvijezda.

  Sedmerokraka zvijezda.

  Cvijet divlje ruže, šipka.

 Cvijet.

 Djetelina.

  Djetelina.

  Zastava Jamajke.

 Zastava Republike Hrvatske.

 Motiv paukove mreže.

null

null

Zatvori

Konstrukcija centralnosimetrične točke, dužine, lika

Primjer 9.

Do sada smo preslikavanje centralnom simetrijom promatrali i izvodili u kvadratnoj mreži.

Preslikavanje objekata centralnom simetrijom možemo i konstruirati u ravnini bez kvadratne mreže.

Sljedeća će nam animacija pokazati kako konstruirati centralnosimetričnu sliku točke ravnalom i šestarom.

Zadatak 13.

U bilježnici odaberite točku $A$ u ravnini i središte centralne simetrije $S.$

Konstruirajte centralnosimetričnu sliku točke $A$ s obzirom na središte simetrije $S.$

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke $A$ i $S$ .

Smjestimo iglu šestara u središte $S$ i uzmimo u šestar udaljenost od točke  $A$ do točke $S$ , središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac $AS$ s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca $AS$ je točka $A\text{'},$ centralnosimetrična slika točke  $A$ s obzirom na središte simetrije $S$ .

U ovoj interakciji uvježbajte određivanje centralnosimetrične slike zadane točke. Kad točno riješite pokazati će vam se imena centralnosimetričnih slika $A\text{'},B\text{'}\mathrm{i}C\text{'}$ točaka $A,B\mathrm{i}C.$

Primjer 10.

Sada kada smo vidjeli kako konstruirati centralnosimetričnu sliku točke, pogledajmo kako se konstruira centralnosimetrična slika dužine.

Zadatak 14.

Nacrtajte u bilježnicu dužinu $\overline{AB}$  i središte centralne simetrije $S$ . ​

Konstruirajte centralnosimetričnu sliku dužine $\overline{AB}$  s obzirom na središte simetrije $S$ .

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke $A$ i $S$ .

Smjestimo iglu šestara u središte $S$ i uzmimo u šestar udaljenost od točke  $A$ do točke $S$ , središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac $AS$ s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca $AS$ je točka $A\text{'},$ centralnosimetrična slika točke  $A$ s obzirom na središte simetrije $S$ .

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke $B$ i $S.$

Smjestimo iglu šestara u središte $S$ i uzmimo u šestar udaljenost od točke $B$ do točke $S,$ središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac $BS$ s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca $BS$ je točka $B\text{'},$ centralnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na središte simetrije $S$ .

Dužina ​ $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ je centralnosimetrična slika dužine $\overline{AB}$ s obzirom na središte simetrije $S.$

Centralnosimetrična slika lika

Sada kada smo naučili preslikavati točku i dužinu centralnom simetrijom, možemo preslikavati likove.

U ovoj interakciji uvježbajte određivanje centralnosimetrične slike trokuta.

Centralnosimetričnu sliku trokuta dobijemo preslikavajući centralnosimetrično njegove vrhove.

Kutak za znatiželjne

 U ovoj interakciji možete:

• preslikati četverokut centralnosimetrično
• procjenjivati/pogađati gdje se nalazi centralnosimetrična slika​
• mijenjati položaj vrhova četverokuta
• mijenjati položaj središta centralne simetrije
• proučavati utjecaj položaja središta centralne simetrije na odnos originala i slike lika.