4.2 Primjena Pitagorina poučka

1. Neka je duljina nepoznate katete $a.$ Tada je $a^2={5.3}^2-{2.8}^2,$ iz čega slijedi da je $a^2=20.25,$ tj. $a=\sqrt{20.25}=4.5\mathrm{cm}.$
   

   Opseg trokuta jednak je zbroju duljina njegovih stranica te je $o=4.5+2.8+5.3=12.6\mathrm{cm}.$
   

   Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih kateta te je $p=\frac{4.5·2.8}{2}=6.3{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

   Prisjetimo se, za pravokutni trokut sa standardnim oznakama sa slike vrijedi:

   $p=\frac{a·b}{2}.$​

2. Neka je duljina nepoznate katete $b.$ Tada je $b^2={6.5}^2-6^2,$ iz čega slijedi da je $b^2=6.25,$ tj. $b=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{cm}.$
   

   $o=6+2.5+6.5=15\mathrm{cm}$
   

   $p=\frac{6·2.5}{2}=7.5{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Sva su tri rješenja netočna.

1. Marko je, umjesto kvadriranja, brojeve $13$ i $5$ pomnožio brojem $2.$ Dobiveno rješenje nije korjenovao.
2. Petra nije primijenila točan redoslijed računskih radnji. Prvo je trebala kvadrirati brojeve $13$ i $5,$ a zatim ih oduzeti. Također, dobiveno rješenje nije korjenovala.
3. Jan je pogriješio u posljednjem koraku. Umjesto da korjenuje broj $144,$ on ga je podijelio brojem $2.$

Točno rješenje zadatka jest:

${\left|EG\right|}^2={13}^2-5^2=8^2=169-25=144\mathrm{cm}$

$\left|EG\right|=\sqrt{144}=12\mathrm{cm}.$

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta sa stranicama $6\mathrm{cm}$ i $8\mathrm{cm}$ iznosi $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}.$

Duljina katete $x$ drugoga pravokutnog trokuta iznosi $x=\sqrt{{14}^2-{10}^2}=\sqrt{196-100}=\sqrt{96}\approx 9.8\mathrm{cm}.$

Duljina stranice $\stackrel{-}{AC}$ jednaka je zbroju duljina stranica $\stackrel{-}{AE}$ i $\stackrel{-}{EC}.$

$\left|AE\right|=\sqrt{{10}^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$

$\left|EC\right|=\sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$

Duljina stranice $\stackrel{-}{AC}$ iznosi $6+15=21\mathrm{cm}.$

Ako docrtamo pravokutne trokute tako da zadane dužine budu hipotenuze, zadatke možemo riješiti primjenom Pitagorina poučka:

1. ${\left|AB\right|}^2={2.5}^2+1^2$

   ${\left|AB\right|}^2=6.25+1=7.25$

   $\left|AB\right|=\sqrt{7.25}\approx 2.7\mathrm{cm}$
   

   ili kraće

   $\left|AB\right|=\sqrt{{2.5}^2+1^2}=\sqrt{6.25+1}=\sqrt{7.25}\approx 2.7\mathrm{cm}$
   

2. $\left|CD\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2.2\mathrm{cm}$

3. $\left|EF\right|=\sqrt{3^2+{0.5}^2}=\sqrt{9+0.25}=\sqrt{9.25}\approx 3.0\mathrm{cm}.$

Udaljenost gradova, $d$, može se prikazati bilo kojim od prikazanih dvaju međusobno sukladnih pravokutnih trokuta.

  $d=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26\mathrm{km}$

Udaljenost između gradova iznosi $26$ kilometara.

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta računa se primjenom Pitagorina poučka.

$\mathrm{prva}{\mathrm{kateta}}^2+\mathrm{druga}{\mathrm{kateta}}^2={\mathrm{hipotenuza}}^2$

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta s katetama duljine $176\mathrm{m}$ i $80\mathrm{m}$ iznosi:

$x^2={176}^2+{80}^2$

$x^2=37376$

$x\approx 193.33\approx 193\mathrm{m}.$

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta s katetama duljine $176\mathrm{m}$ i $71\mathrm{m}$ iznosi:

$y^2={176}^2+{71}^2$

$y^2=36017$

$y\approx 189.78\approx 190\mathrm{m}.$

Ukupna udaljenost koju je prešla bespilotna letjelica iznosi približno:

$193+190=383\mathrm{m}.$

Visina do koje dosežu ljestve jednaka je duljini druge katete pravokutnog trokuta sa zadane slike.

$x=\sqrt{{400}^2-{85}^2}\approx 391\mathrm{cm}$

Ljestve dosežu do visine otprilike $391\mathrm{cm}.$

Duljina ljestava potrebnih da dosegnu prozor treba biti $\sqrt{{3.5}^2+{0.6}^2}\approx 3.6\mathrm{m},$ zato su Tianine ljestve dovoljno dugačke da dosegnu prozor.

Za pravokutni trokut sa zadanim duljinama stranica vrijedi:

$(x+5{)}^2={\sqrt{72}}^2+(x-1{)}^2.$

Nakon kvadriranja dobivamo:

$x^2+10x+25=x^2-2x+1+{\sqrt{72}}^2.$

Pojednostavnjivanjem dobivamo da je

$10x+25=-2x+1+72.$

Zato je

$12x=48$ 

$x=4.$

Duljina druge katete iznosi $x-1=4-1=3\mathrm{cm},$ a hipotenuze $x+5=4+5=9\mathrm{cm}$ .

Neka je $x$duljina prve katete tog trokuta. Tada je $x+2$duljina hipotenuze. Tada vrijedi

$(x+2{)}^2=x^2+{12}^2.$ Kvadriranjem obiju strana jednakosti dobivamo izraz $x^2+4x+4=x^2+144,$ a nakon pojednostavnjivanja izraz $4x+4=144.$ Iz toga slijedi da je $4x=140,$ tj. $x=35.$

Duljine stranica toga trokuta jesu $12\mathrm{cm},$ $35\mathrm{cm}$ i $37\mathrm{cm}.$

Opseg je tog trokuta $o=12+35+37=84\mathrm{cm}.$

Površina tog trokuta $\begin{array}{l}\left(p=\frac{\mathrm{prva}\mathrm{kateta}\mathrm{·}\mathrm{druga}\mathrm{kateta}}{\mathrm{2}}\right)\end{array}$ iznosi $p=\frac{12·35}{2}=210{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Neka je $a=3k$ i ​ $b=4k.$

Tada vrijedi $(3k{)}^2+(4k{)}^2={85}^2.$ Iz toga slijedi da je $9k^2+16k^2=7225.$

Zato je $25k^2=7225$ i $k^2=289,$ odnosno $k=17.$

Dakle, $a=3·17=51\mathrm{cm}$ i ​ $b=4·17=68\mathrm{cm}.$

Možda ste iz omjera zamijetili da se radi o egipatskom trokutu kojemu su stranice u omjeru $3:4:5.$ S obzirom na to da je duljina hipotenuze uvećana $17$ puta, i duljine kateta bit će uvećane isti broj puta. Zato je duljina jedne katete $51\mathrm{cm},$ a druge $68\mathrm{cm}.$

Neka je $a=20k$ i $b=21k.$

Iz Pitagorina poučka slijedi da je $c^2=(20k{)}^2+(21k{)}^2,$ odnosno $c^2=400k^2+441k^2.$

Duljina hipotenuze jest $c=\sqrt{841k^2}=29k.$

Iz formule za opseg dobivamo da je $20k+21k+29k=210,$ tj.  $k=3.$

Duljine stranica su zato $a=20k=20·3=60\mathrm{cm}$ i ​ $b=21k=21·3=63\mathrm{cm}$ i $c=29k=29·3=87\mathrm{cm}.$