Matematika 8 - 4.5 Primjena Pitagorina poučka na kvadrat

Gdje je Pitagora u kvadratu?

Slika prikazuje karikaturu Pitagore okruženog kvadratima

Slika prikazuje kvadrat s jednom dijagonalom i istaknutim pravokutnim trokutom.

Proučimo nacrtani kvadrat sa stranicom duljine $a$ i duljinom dijagonale $d .$

Dijagonala dijeli kvadrat na dva sukladna, jednakokračna pravokutna trokuta.

Za bilo koji kvadrat sa stranicom duljine $a$ i duljinom dijagonale $d$ vrijedi Pitagorin poučak $a^{2} + a^{2} = d^{2} .$

Primjer 1.

Uočimo da u izrazu za Pitagorin poučak možemo pojednostavniti izraz za duljinu dijagonale kvadrata.

$d^{2} = a^{2} + a^{2}$

$d^{2} = 2 a^{2} /^{\sqrt{}}$

$d = \sqrt{2 a^{2}}$

$d = \sqrt{2} \sqrt{a^{2}}$

$d = a \sqrt{2}$

Duljina dijagonale $d$ kvadrata izražena duljinom stranice kvadrata $a$ jest $d = a \sqrt{2} .$

Primjer 2.

Izračunajmo duljinu dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a = 5 cm .$

Napišimo izraz za računanje duljine dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a$ i uvrstimo duljinu stranice.

$d = a \sqrt{2}$

$d = 5 \sqrt{2}$

$d \approx 7.07 cm$

Duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a = 5 cm$ iznosi $5 \sqrt{2} \approx 7.07 cm .$

Primjer 3.

Izračunajmo duljinu dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a = \sqrt{3} cm .$

Napišimo izraz za računanje duljine dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a$ i uvrstimo duljinu stranice.

$d = a \sqrt{2}$

$d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$

$d = \sqrt{6}$

$d \approx 2.45$

Duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine $a = \sqrt{3} cm$ iznosi $\sqrt{6} \approx 2.45 cm .$

Za približnu vrijednost duljine dijagonale u izraz treba uvrstit približnu vrijednost drugog korijena.

Zadatak 1.

Koristeći se u tablici zadanim podatcima, odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Duljina stranice kvadrata $[cm]$	Duljina dijagonale kvadrata, točna vrijednost $[cm]$	Duljina dijagonale kvadrata – približna vrijednost na dvije decimale $[cm]$
$7$
$\sqrt{2}$
$3 \sqrt{6}$
$3.5$
$\frac{3}{4}$
$1 \frac{2}{3}$

Duljina stranice kvadrata, [cm]	Duljina dijagonale kvadrata, točna vrijednost, [cm]	Duljina dijagonale kvadrata – približna vrijednost na dvije decimale, [cm]
$7$	$7 \sqrt{2}$	$9.9$
$\sqrt{2}$	$2$	$2$
$3 \sqrt{6}$	$6 \sqrt{3}$	$10.39$
$3.5$	$3.5 \sqrt{2}$	$4.95$
$\frac{3}{4}$	$\frac{3 \sqrt{2}}{4}$	$1.06$
$1 \frac{2}{3}$	$\frac{5 \sqrt{2}}{3}$	$2.36$

Izračun duljine stranice kvadrata

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Na slici je prikaz kruga (koji predstavlja stol) u koji je upisan kvadrat (koji predstavlja stoljnjak). Istaknuta je dijagonala kvadrata odnosno promjer kruga.

Riješimo sada problem bakina stolnjaka.

Izačunajmo duljinu stranice kvadrata s dijagonalom duljine $d = 1.5 m = 150 cm .$

Zapišimo izraz za duljinu dijagonale kvadrata s pomoću duljine stranice $a$ kvadrata i uvrstimo duljinu dijagonale.

$\begin{array}{l} d = a \sqrt{2} \\ 150 = a \sqrt{2} \\ a = \frac{150}{\sqrt{2}} cm \end{array}$

Potrebna je racionalizacija nazivnika.

$\begin{array}{l} a = \frac{150}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ a = \frac{150 \cdot \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \\ a = \frac{150 \sqrt{2}}{2} \\ a = 75 \sqrt{2} cm \end{array}$

Duljina stranice kvadrata s dijagonalom duljine $150 cm$ metara iznosi $75 \sqrt{2} \approx 106 cm$ metara. Duljina stranice bakina stolnjaka trebala bi biti približno $106 cm .$

Zadatak 3.

Odredi pripadajuće duljine dijagonale kvadrata

$d$ i duljine stranice kvadrata

$a .$ Iznosi su u centimetrima.

Spojite parove.

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$	$a = \sqrt{5}$
$d = \sqrt{10}$	$a = \frac{\sqrt{6}}{4}$
$d = 3 \sqrt{6}$	$a = 3 \sqrt{3}$
$d = 5 \sqrt{2}$	$a = 5$

Pomoć:

Duljina dijagonale kvadrata $d$ sa stranicom duljine $a$ iznosi $d = a \sqrt{2} .$

null

Zatvori

Primjer 4.

Nacrtajmo obje dijagonale kvadrata.

Uočimo da dijele kvadrat na četiri sukladna jednakokračna pravokutna trokuta.

Pitagorin poučak za jedan tako dobiven trokut daje ${(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} = a^{2} .$

Zadatak 4.

Zadana je duljina dijagonale kvadrata $d .$ Vaš je zadatak izračunati i upisati iznos površine kvadrata (nakon upisa iznosa stisnite tipku ENTER) zadanog duljinom njegove dijagonale. Riješite točno sve zadatke iz sljedeće aktivnosti i naučit ćete nešto zanimljivo.

Zanimljivost

Slika prikazuje matematičarku Sofiju Vasiljevnua Kovalevsku (1850.-1891.) — Sofija Vasiljevna Kovalevska (1850. – 891.)

Poznata matematičarka Sofija Vasiljevna Kovalevska (1850. – 1891.) rođena je u Petrogradu u Rusiji. Njezine matematičke sposobnosti pokazale su se kada je imala 13 godina. Udala se s 18 godina za Vladimira Kovalevskog te s njime otputovala u Njemačku. Prvo se upisala na Sveučilište u Heidelbergu, a poslije su otišli u Berlin, gdje ju je poučavao Weierstrass. Nakon četverogodišnjeg rada s Weierstrassom fakultet u Göttingenu dodijelio joj je doktorat summa cum laude (najviši status iznadprosječnog studenta). Vratila se u Petrograd, ali ondje nije mogla ništa postići jer je ženama znanstvena katedra bila zatvorena. Krajem 1883. godine Gosta Mittag-Leffler, koji je također bio Weierstrassov student, pozvao ju je u Stockholm, gdje je dobila posao docenta, a uskoro i profesora na sveučilištu. Bila je urednica matematičkog časopisa Acta Mathematica, koji je i danas jedan od najuglednijih matematičkih časopisa u svijetu. Bavila se ozbiljnim znanstvenim proučavanjem, a pisala je i romane, pjesme i drame. Mnogima je njezina sklonost poeziji i matematici bila neobična. No ona je to objašnjavala riječima: „Ne možeš biti matematičar ako istodobno u duši nisi pjesnik.ˮ Njezin najvažniji znanstveni rad bio je potpuno rješenje zadatka o rotaciji čvrstog tijela oko fiksne točke. Za taj joj je rad 1886. godine dodijeljena nagrada Francuske akademije znanosti Prix Bordin.

Više o toj temi možete pročitati na poveznici Žene u matematici.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Slika prikazuje kvadrat nastao nad dijagonalom manjeg kvadrata stranice 6 dm.

Izračunaj površinu kvadrata $A B C D$ na slici.

Duljina stranice kvadrata $A B C D$ dijagonala je kvadrata $E C K B$ sa stranicom duljine $6 dm .$

Duljina dijagonale kvadrata $E C K B :$

$d = a \sqrt{2}$

$d = 6 \sqrt{2} dm .$

Površina kvadrata $A B C D :$

$p = d^{2}$

$p = {(6 \sqrt{2})}^{2}$

$p = 6^{2} \cdot {\sqrt{2}}^{2}$

$p = 36 \cdot 2$

$p = 72 {dm}^{2} .$

Površina kvadrata $A B C D$ iznosi $p = 72 {dm}^{2}$ $.$

Zadatak 6.

Slika prikazuje četiri kvadrata upisane jedan u drugog. Upisana je površina najmanjeg kvadrata 4 metra kvadratna.

Napravljen je uzorak od kvadrata upisanih jedan u drugi na polovištima stranica.

Površina je najmanjega $4$ kvadratna metra.

Kolika je površina najvećeg kvadrata?

Zadatak se može riješiti na više načina.

Jedan je s pomoću dijagonala.

Duljina stranice najmanjeg kvadrata iznosi $2 m .$
Duljina stranice drugog po redu kvadrata jednaka je duljini dijagonale najmanjega prvog kvadrata $2 \sqrt{2} m .$
Duljina stranice trećeg kvadrata jednaka je duljini dijagonale drugog kvadrata $2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}}^{2} = 2 \cdot 2 = 4 m .$

Duljina stranice najvećega, četvrtog kvadrata jednaka je duljini dijagonale trećeg kvadrata $4 \sqrt{2} m .$

Izračunajmo površinu najvećeg kvadrata.

$p = {(4 \sqrt{2})}^{2}$

$p = 16 \cdot 2$

$p = 32 m^{2}$

Površina najvećeg kvadrata iznosi $32 m^{2} .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Slika prikazuje četiri kvadrata upisane jedan u drugog. Upisane su duljine potrebne za rješavanje zadatka. — Rješenje s četvrtinom kvadrata

Slika prikazuje četiri kvadrata upisane jedan u drugog. — Površina uporabom niza

Istražimo još koje rješenje prethodnog zadatka.

Smjestimo kvadrat u kvadratnu mrežu. Jedan kvadrat mreže ima površinu $1 m^{2},$ a to je četvrtina srednjeg kvadrata

Kvadrat je višestruko osnosimetričan lik. Izračunajmo površinu jedne četvrtine i pomnožimo taj iznos s četiri.

$\begin{array}{l} (2 + 2 + 1 + 0.5 + 0.5) \cdot 4 = 8 m^{2} \\ p = 4 \cdot 8 = 32 m^{2} \end{array}$
Srednji kvadrat ima površinu 4. Uzorak je sljedeći: svaki sljedeći kvadrat ima dvostruko veću površinu pa površine redom slijede niz: $4,$ $8,$ $16$ i $32 .$

Zadatak 7.

Radnici su iskopali kružni bunar promjera $100 cm .$ Nisu ga stigli ozidati. Moraju zaštititi otvor kako netko ne bi pao u rupu.

Na gradilištu su pronašli kvadratnu ploču duljine stranice $85 cm .$

Hoće li ta ploča biti dovoljno velika da pokrije otvor?

Proučimo rješenje zadatka u animaciji.

Povezani sadržaji

Izračunajte duljinu dijagonale kvadrata i površinu kvadrata na slici smještenog u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini. Vrhovi kvadrata imaju cjelobrojne koordinate. Jedinična duljina iznosi $1 cm .$

Slika prikazuje kvadrat u pravokutnoj kvadratnoj mreži s istaknutom dijagonalom

Proučimo rješenje zadatka u animaciji.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Na slici je prikaz kvadratnog prometnog znaka obavjesti o završetku autoceste — Prometni znak - Završetak autoceste

Veličine stranica prometnog znaka zakonom su određene.

Prometni znak obavijesti u obliku kvadrata, ako je postavljen na autocesti, mora imati duljinu stranice $90 cm .$

Kolika je duljina crvene dijagonalne crte na najduljem dijelu?

Tražena duljina jednaka je duljini dijagonale $d$ kvadrata sa stranicom duljine $a = 90 cm .$

$\begin{array}{l} d = a \sqrt{2} \\ d = 90 \sqrt{2} \\ d \approx 127.3 cm \end{array}$

Duljina crvene dijagonalne crte na najduljem dijelu iznosi približno $127.3 cm .$

Zadatak 9.

Slika prikazuje šahovsku ploču — Šahovska ploča

Šahovska ploča ima oblik kvadrata i sastoji se od $64$ kvadratna polja.

Dimenzija šahovske ploče određena je dimenzijom kvadratnih polja na ploči.

Duljina stranice kvadratnog polja iznosi od $5$ do $6.5 cm .$

Kolika je duljina dijagonale šahovske ploče ako uzmemo najveću dopuštenu veličinu kvadratnog polja?

Prvi način

Odaberemo duljinu stranice kvadratnog polja od $a = 6.5 cm .$

Osam ih je u nizu pa je duljina stranice šahovske ploče $x = 8 \cdot a = 8 \cdot 6.5 = 52 cm .$

Duljina dijagonale šahovske ploče iznosi

$\begin{array}{l} d = x \sqrt{2} \\ d = 52 \sqrt{2} \\ d \approx 73.54 cm. \end{array}$
Drugi način

Izračunamo duljinu dijagonale kvadratnog polja $d_{m}$ sa stranicom duljine $a = 6.5 cm$ i pomnožimo je s osam.

$\begin{array}{l} d_{m} = a \sqrt{2} \\ d_{m} = 6.5 \sqrt{2} \\ d_{m} \approx 9.19 cm \end{array}$

Duljina velike dijagonale iznosi

$d \approx 8 \cdot 9.19$

$d \approx 73.54 cm .$

Zatvori

Povezani sadržaji

Za kvadrat kojemu je stranica duljine

$a$ duljina njegove dijagonale iznosi

$d = a \sqrt{2} .$
Izrazite postotkom omjer duljine dijagonale kvadrata i duljine njegove stranice.

Stavimo u omjer duljinu dijagonale i duljinu stranice kvadrata.

Traženi je omjer:

$\frac{a^{1} \sqrt{2}}{a_{1}} = \sqrt{2} \approx 1.4142 = 141.42 % .$

D uljina dijagonale kvadrata dulja je $41.42 %$ od duljine njegove stranice .

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Na slici je prikazana figura upisan u kvadrat.

Izračunajte površinu osjenčanog dijela kvadrata.

Duljina stranice kvadrata je $10$ metara. Obojeni je lik osnosimetričan s obzirom na vodoravnu dijagonalu kvadrata.

Označimo duljinu stranice kvadrata s $a,$ a duljinu dijagonale kvadrata s $d .$

Kako je dijagonala podijeljena na četiri jednaka dijela, dužina $\bar{D E}$

srednjica je trokuta $△ A C B,$ a točke $D$ i $E$ polovišta su stranica kvadrata.

Lik se sastoji od dvaju polukrugova polumjera $\frac{d}{2}$ i dvaju sukladnih jednakokračnih pravokutnih trokuta. Svaki je polukrug promjerom spojen s osnovicom jednakokračnog trokuta.

Duljina polumjera $r$ izražena duljinom dijagonale $d$ jest

$r = \frac{d}{4} = \frac{a \sqrt{2}}{4} = \frac{10 \sqrt{2}}{4} = 2.5 \sqrt{2} m.$

Ta dva polukruga čine krug polumjera $r = 2.5 \sqrt{2} m .$

Dva sukladna jednakokračna pravokutna trokuta, trokut $△ D C E$ i njemu osnosimetričan $△ D' C' E'$ čine kvadrat sa stranicom duljine $\frac{a}{2} = 5 m .$

Ukupna je površina lika

$p = r^{2} π + {(\frac{a}{2})}^{2}$

$p = {(2.5 \sqrt{2})}^{2} π + 5^{2}$

$p = {(2.5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} π + 25$

$p = 6.25 \cdot 2 π + 25$

$p = (12.5 π + 25) m^{2}$

$p \approx 139.25 m^{2} .$

Zadatak 11.

Na slici su prikazani dva kvadrata jedan unutar drugog kojima dijagonale pripadaju istom pravcu i imaju zajednički vrh.

U zadanom kvadratu dijagonale $d$ manji je kvadrat čija je dijagonala $\frac{3}{4} d .$ Odredite koji je dio površine velikog kvadrata manji kvadrat.

Duljinu stranice većeg kvadrata $a$ izrazit ćemo iz duljine dijagonale $d = a \sqrt{2} .$

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{d \sqrt{2}}{2}$

Površina je većeg kvadrata $p_{v} .$

$p_{v} = {(\frac{d \sqrt{2}}{2})}^{2}$

$p_{v} = \frac{d^{2} \cdot 2^{1}}{4_{2}}$

$p_{v} = \frac{d^{2}}{2}$

Duljinu stranice manjeg kvadrata $a_{m}$ na isti ćemo način izraziti iz duljine manje dijagonale $d_{m} .$

Iz uvjeta zadatka $d_{m} = \frac{3}{4} d .$

$d_{m} = a_{m} \sqrt{2}$

$a_{m} = \frac{d_{m} \sqrt{2}}{2}$

$a_{m} = \frac{\frac{3}{4} \cdot d \sqrt{2}}{2}$

$a_{m} = \frac{3}{4} d \sqrt{2} : 2$

$a_{m} = \frac{3}{4} d \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$a_{m} = \frac{3 d \sqrt{2}}{8}$

Odredimo površinu manjeg kvadrata.

$p_{m} = {(\frac{3 d \sqrt{2}}{8})}^{2}$

$p_{m} = \frac{9 \cdot d^{2} \cdot 2^{1}}{64_{32}}$

$p_{m} = \frac{9}{16} \cdot \frac{d^{2}}{2}$

Iz rezultata prvog dijela zadatka slijedi

$p_{m} = \frac{9}{16} p_{v} .$

Površina manjeg kvadrata iznosi $\frac{9}{16}$ površine većeg kvadrata.

Zatvori

4.5 Primjena Pitagorina poučka na kvadrat

Na početku...

Gdje je Pitagora u kvadratu?

Zadatak 1.

Izračun duljine stranice kvadrata

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 7.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

...i na kraju

4.6 Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trokut