10.3 Kugla i sfera

Presjek ravnine i kugle je krug. Za površinu kruga potrebna nam je duljina polumjera kruga $r.$ Točka $K$ pripada sferi. Uočimo na slici pravokutni trokut s katetama duljine $k$ i $r$ te hipotenuzom duljine $R.$ Primjenom Pitagorina poučka na taj pravokutni trokut odredit ćemo duljinu polumjera kruga.

$\begin{array}{l}{R}^2=r^2+k^2\\ 5^2=r^2+4^2\\ r^2=25-16\\ r^2=9{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Kako nam je za površinu potreban $r^2,$ tu ćemo završiti račun. Izračunajmo površinu kruga.

$\begin{array}{l}p=r^2\pi \\ p=9\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\approx }\mathrm{28.27}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Površina presjeka iznosi $9\pi {\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}.$

Duljina paralele jednaka je opsegu kruga polumjera $r.$ Promotrimo trokut $SenjTS.$ To je jednakokračni pravokutni trokut s katetama duljina $r$ i hipotenuzom duljine $R.$ Duljinu polumjera odredit ćemo primjenom Pitagorina poučka na taj trokut.

$\begin{array}{l}{r}^2+r^2=R^2\\ 2r^2=6{371}^2\\ r^2=40589641:2\\ r^2=20294820.5\\ r\approx 4505\mathrm{km}\end{array}$

Izračunajmo opseg kruga s tim polumjerom.

$\begin{array}{l}o=2r\pi \\ o=2·4505·\pi \\ o=9010\pi \begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\\ o\approx 28306\mathrm{km}\end{array}$

Duljina paralele na kojoj se nalazi Senj iznosi približno $28306\mathrm{km}.$

$\begin{array}{l}O=4R^2\pi \\ O=4·1{737}^2\pi \\ O=4·3017169·\pi \\ O=12068676\pi \\ O=1.2068676·{10}^7\pi \\ O\approx 3.81·{10}^7{\mathrm{km}}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Za određivanje promjera potreban nam je polumjer kugle. Polumjer kugle $R$ odredit ćemo iz oplošja.

$\begin{array}{l}O=4R^2\pi \\ 36\cancel{\pi }=4R^2\cancel{\pi }/:\pi \\ R^2=36:4\\ R^2=9{/}^{\sqrt{}}\\ R=3\mathrm{cm}\end{array}$

Promjer kugle iznosi $2R=2·3=6\mathrm{cm}.$

$\begin{array}{l}V=\frac{4}{3}{R}^3\pi \\ V=\frac{4}{3}{12}^3\pi \\ V=\frac{4}{{\cancel{3}}_1}{\cancel{1728}}^{576}\pi \\ V=2304\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$
$V\approx 7238.23{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$​

Za oplošje kugle treba nam radijus kugle. Izračunajmo ga iz volumena.

$\begin{array}{l}V=\frac{4}{3}{R}^3\pi \\ 36\cancel{\pi }=\frac{4}{3}{R}^3\cancel{\pi }/:\pi \\ R^3=36:\frac{4}{3}\\ R^3={\cancel{36}}^9·\frac{3}{{\bcancel{4}}_1}\\ R^3=27\\ R^3=3·3·3=3^3\\ R=3\mathrm{m}\end{array}$

Oplošje.

$\begin{array}{l}O=4R^2\pi \\ O=4·3^2\pi \\ O=36\pi {\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Primijetimo: Kugla s polumjerom $R=3$ ima iste iznose volumena i oplošja, $36\pi .$

Treba izračunati broj kuglica sladoleda i pomnožiti ih s jediničnom cijenom. Kako bismo odredili broj kuglica sladoleda, treba izračunati ukupan volumen sladoleda u posudama i volumen jedne kuglice i te iznose podijeliti.

Ukupan volumen sladoleda $V_s$ jednak je broju posuda pomnoženih s volumenom kvadra dimenzija $36\times 16.5\times 10$ centimetara.

$\begin{array}{l}{V}_s=20·36·16.5·10\\ V_s=20·36·16.5·10\\ V_s=118800{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Volumen kuglice sladoleda $V_k$ promjera i polumjera $2R=4\mathrm{cm},R=2\mathrm{cm}:$

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{V}_k=\frac{4}{3}{R}^3\pi \\ V_k=\frac{4}{3}{2}^3\pi \\ V_k=\frac{4}{3}·8\pi \begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\begin{array}{l}\end{array}\end{array}\\ V_k=\frac{32}{3}\pi \\ V_k\approx 33.51{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$ 

Broj kuglica iznosi $118800:33.51\approx 3545.2$ kuglica. Zaokružit ćemo taj broj na jedinicu više: $3546$ kuglica.

Pomnožimo broj kuglica s jediničnom cijenom.

Moguća brutozarada iznosi $3546·8=28368$ kuna.

Treba redom odrediti volumene svih triju tijela i staviti ih u omjer.

Volumen kocke iznosi $V=a^3.$

Volumen kugle $V_k$ polumjera $R=\frac{a}{2}$ iznosi:

$\begin{array}{l}{V}_k=\frac{4}{3}{R}^3\pi \\ V_k=\frac{4}{3}{\left(\frac{a}{2}\right)}^3\pi \\ V_k=\frac{{\cancel{4}}^1}{3}·\frac{a^3}{{\bcancel{8}}_2}\pi \\ V_k=\frac{a^3}{6}\pi \end{array}$

Volumen oktaedra $V_o$ jednak je dvostrukom obujmu pravilne čeverostrane piramide brida baze duljine $\frac{a}{2}\sqrt{2}$ i visine $h=\frac{a}{2}.$

$\begin{array}{l}{V}_o={\bcancel{2}}^1·\frac{1}{3}{\left(\frac{a}{2}\sqrt{2}\right)}^2·\frac{a}{{\bcancel{2}}_1}\\ V_o=\frac{1}{3}·\frac{a^2}{{\cancel{4}}_2}·{\bcancel{2}}^1·a\\ V_o=\frac{a^3}{6}\end{array}$

Volumen obujama zadanih tijela:

$\begin{array}{l}V:V_k:V_o=a^3:\frac{a^3}{6}\pi :\frac{a^3}{6}=\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(a^3:a^3\right):\left(\frac{a^3}{6}\pi :a^3\right):\left(\frac{a^3}{6}:a^3\right)\end{array}$

$=1:\frac{\pi }{6}:\frac{1}{6}$

$=\left(1·6\right):\left(\frac{\pi }{6}·6\right):\left(\frac{1}{6}·6\right)$

$\underset{\_}{V:V_k:V_o=6:\pi :1}$