Glazbeni instrument trianglima oblik jednakostraničnog trokuta, a u jednom se vrhu tog trokuta nalaze dvije
„
kukice”, svaka duljine
(slika). Triangl je spremljen u kutiju koja ima oblik pravokutnika. Kolika je najmanja duljina unutarnjih rubova kutije ako je triangl izrađen od ukupno
metalne šipke?
Promotrimo li sliku triangla i oduzmemo duljinu „kukica”, uočit ćemo da je za ravne dijelove utrošeno
To znači da svaka stranica triangla ima duljinu
Umjesto triangla promotrimo sliku jednakostraničnog trokuta
koji je upisan u najmanji mogući pravokutnik
Primjer 1.
Trokut
jednakostraničan je sa stranicom duljine . Taj je trokut upisan u pravokutnik kao što je prikazano na slici. Odredimo duljinu dužine
tj. duljinu druge stranice pravokutnika
Uočimo da je duljina stranice
pravokutnika
jednaka udaljenosti vrha
trokuta ABC od stranice
tog trokuta, tj. da se zadatak svodi na određivanje duljine visine jednakostraničnog trokuta .
Promotrimo li pravokutni trokut (ili
), uočit ćemo da su duljine kateta označene s
i
a duljina hipotenuze označena je s
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut AFC dobit ćemo
Daljnje transformacije
Izraz
možemo transformirati:
Dalje slijedi:
Dakle, duljina druge stranice pravokutnika
jednaka je duljini visine trokuta
Budući da su u jednakostraničnom trokutu sve stranice jednakih duljina, jednake su i duljine visina na te stranice. Zbog kratkoće i preglednosti umjesto oznake
duljinu visine jednakostraničnog trokuta označavamo
Svaki jednakostranični trokut visinom dijelimo na dva sukladna pravokutna trokuta. Pritom je hipotenuza dobivenih trokuta dva puta dulja od kraće katete tog trokuta.
Pogledajte još jedanput tu podjelu.
Podjela jednakostraničnog trokuta na dva sukladna pravokutna trokuta
Duljina visine jednakostraničnog trokuta
Primjer 2.
Izračunajmo duljinu visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine
Ako je
onda je
pa primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo redom:
tj.
Neka je duljina stranice, a
duljina visine jednakostraničnog trokuta.
Te dvije veličine povezuje izraz
pa duljinu visine jednakostraničnog trokuta možemo izračunati koristeći se formulom
Zanimljivost
Pogledajte videoprimjere i zadatke s određivanjem elemenata jednakostraničnog trokuta (video 1. ‒ 4.).
Zadatak 1.
Izračunajte duljinu visine jednakostraničnog trokuta ako je zadana duljina njegove stranice:
Napomena
Uz oznake kao na slici primjenom Pitagorina poučka dobili smo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta:
Uvrštavanjem zadanog podatka
dobiva se:
Zadatak možemo riješiti izravnim uvrštavanjem u prije dobiveni izraz za duljinu visine jednakostraničnog trokuta
U tom slučaju računamo:
Duljina stranice jednakostraničnog trokuta
Primjer 3.
Izračunajmo duljinu stranice jednakostraničnog trokuta ako je duljina njegove visine
Ako je
onda primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo redom:
tj.
Zadatak 2.
Izračunajte duljinu stranice jednakostraničnog trokuta ako je duljina njegove visine:
Uputa: Uz oznake kao na slici primjenom Pitagorina poučka dobili smo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta:
Taj izraz možemo napisati u obliku
Uvrštavanjem zadanog podatka
redom dobivamo:
Uvrštavanjem zadanog podatka
redom dobivamo:
Uvrštavanjem zadanog podatka
redom dobivamo:
Uvrštavanjem zadanog podatka
redom dobivamo:
Uvježbajte izračunavanje duljine stranice, odnosno duljine visine jednakostraničnog trokuta. Riješite postavljeni zadatak, a rezultat, ako je potrebno, zaokružite na dvije decimale.
Ispravnost rješenja provjerite unosom dobivenog rezultata u predviđeni pravokutnik.
Opseg i površina jednakostraničnog trokuta
Primjer 4.
Izračunajmo opseg i površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine
Uz oznake kao na slici opseg trokuta računamo prema formuli pa je opseg tog trokuta
Za izračunavanje površine prema formuli potrebno je poznavati duljinu visine.
Za izračunavanje duljine visine primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut ili upotrebljavamo gotovu formulu Na oba načina dobivamo da je
Uvrstimo li dobiveno u formulu za površinu, imamo:
Ako je poznata duljina stranice jednakostraničnog trokuta, onda površinu jednakostraničnog trokuta možemo izračunati i bez računanja duljine visine.
Zbog činjenice da je veza duljine visine jednakostraničnog trokuta i duljine stranice tog trokuta dana s
i da površinu trokuta računamo prema formuli uvrštavanjem dobivamo:
Površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine računamo prema formuli
Primjer 5.
Izračunajmo opseg i površinu jednakostraničnog trokuta s visinom duljine
Za računanje opsega i površine jednakostraničnog trokuta potrebna je duljina stranice.
Primjenom Pitagorina poučka uz oznake kao na slici dobili smo da vrijedi odnos
, odnosno
Uvrštavanjem dobivamo da je
tj. da je .
Opseg tog trokuta jest
Površina tog trokuta jest
Isti rezultat za površinu dobili bismo i izravnom primjenom formule
Primjena
Povezani sadržaji
Znakovi opasnosti imaju oblik jednakostraničnog trokuta. Veličina prometnog znaka iz skupine znakova opasnosti propisana je člankom 20. Pravilnika o prometnim znakovima, signalizaciji i opremi na cestama. Taj članak glasi:
na autocestama, cestama namijenjenima isključivo za promet motornih vozila i na cestama koje nisu ulice, širine kolnika sedam i više metara –
na cestama širine kolnika od do i glavnim gradskim prometnicama (ili ulicama) –
na svim ostalim cestama i gradskim ulicama –
kad se znakovi postavljaju u tunelima i galerijama –
kad se upotrebljavaju kao umetnuti znakovi – najmanje
Na cestama iz točke 2., stavka 1. ovog članka mogu se prema potrebi postavljati i znakovi opasnosti, čija stranica trokuta iznosi
, a na cestama iz točke 3., stavka 1. ovog članka i znakovi opasnosti, čija stranica trokuta iznosi
.
Zadatak 3.
Izračunaj visinu znaka opasnosti postavljenog:
na autocesti
na glavnoj gradskoj prometnici
u tunelu
Visina znaka opasnosti postavljenog na autocesti
Ako je
duljina stanice, a
duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta:
Uvrštavanjem zadanog podatka
dobivamo:
Visina znaka opasnosti postavljenog na glavnoj gradskoj prometnici
Ako je
duljina stanice, a
duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta:
Uvrštavanjem zadanog podatka
dobivamo:
Visina znaka opasnosti postavljenog u tunelu
Ako je
duljina stanice, a
duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta:
Zastave nekih zemalja sadržavaju jednakostranični trokut.
Omjer duljine i širine sudanske zastave prikazane na slici jest
Postotkom izrazite udjel površine zelenoga jednakostraničnog trokuta u površini te zastave.
Ako je omjer duljine i širine zastave jednak
onda uz oznake kao na slici vrijedi
i
Površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine b jednaka je
Poštujući uvjet da je
dobiva se
Površina zastave (pravokutnika, uz oznake kao na slici) jednaka je
Da bismo izračunali traženi postotak, površinu trokuta podijelit ćemo s površinom cijele zastave. Dobivamo:
Dakle, površina zelenog trokuta zauzima približno
cijele zastave.
Zadatak 5.
Marta i Tina žele ukrasiti zidove svoje radne sobe uzorkom jednakostraničnih trokuta u plavoj i narančastoj boji. Odlučile su na svakom zidu napraviti po
trokuta plave i
narančaste boje. Duljine stranica plavih trokuta iznose
a narančastih
Kantica plave boje dovoljna je za bojenje
površine, a kantica narančaste boje za
Koliko kantica koje boje trebaju nabaviti?
Površina plavih trokuta
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut istaknut na slici dobivamo da je
odnosno da je
Površina plavog trokuta jednaka je
Svi plavi trokuti zajedno imaju površinu jednaku
Budući da je
Marta i Tina trebaju nabaviti dvije kantice plave boje.
Površina narančastih trokuta
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut istaknut na slici dobivamo da je
odnosno da je
Površina narančastog trokuta jednaka je
Svi narančasti trokuti zajedno imaju površinu jednaku
Budući da je
Marta i Tina trebaju nabaviti i dvije kantice narančaste boje.
Zadatak 6.
Riješite još nekoliko zadataka vezanih za jednakostranični trokut.
Kolika je duljina visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine
Pomoć:
null
Opseg jednakostraničnog trokuta jest
Duljina visine tog trokuta jest
Pomoć:
Duljina stranice tog trokuta jest
null
Duljina visine jednakostraničnog trokuta jest
Koliki je opseg tog trokuta?
Moguće je djelomično korjenovati broj
Pomoć:
null
Jednakostranični trokut ima stranicu duljine i visinu duljine . Spojite odgovarajuće parove.
Nad svim stranicama pravokutnog trokuta u bilježnicu konstruirajte jednakostranične trokute. Izračunajte površine konstruiranih jednakostraničnih trokuta, a zatim provjerite čemu je jednak zbroj površina jednakostraničnih trokuta konstruiranih nad katetama tog trokuta.
Nad svim stranicama pravokutnog trokuta u bilježnicu konstruirajte pravilne šesterokute. Izračunajte površine konstruiranih pravilnih šesterokuta, a zatim provjerite čemu je jednak zbroj površina pravilnih šesterokuta konstruiranih nad katetama tog trokuta.
Zadatak 7.
Sandra želi kupiti naušnice. Svidjele su joj se jedne izrađene od tanke srebrne žice. U obliku su jednakostraničnog trokuta unutar kojega je kružnica koja dodiruje sve stranice tog trokuta.
Koliko je žice trebalo za izradu jedne takve naušnice ako je duljina stranice trokuta
Da bi se izračunala duljina potrebne žice, potrebno je izračunati opseg trokuta (sa stranicom duljine
) i duljinu kružnice s polumjerom duljine .
Opseg trokuta iznosi
Kako izračunati duljinu polumjera trokutu upisane kružnice?
Za daljnje rješavanje ovoga zadatka potrebno je poznavanje pojma i svojstva težišta trokuta. Ukratko:
Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem tom vrhu nasuprotne stranice. Trokut ima tri težišnice i one se sijeku u jednoj točki koju nazivamo težište trokuta.
Mijenjajte položaj vrhova trokuta i promatrajte omjere duljina dijelova pojedine težišnice. Uočite pravilnost!
Dakle, u svakom trokutu težište dijeli težišnicu u omjeru
gledano od vrha prema polovištu stranice.
Zanimljivost
Razne dokaze tvrdnje da težište dijeli težišnicu u omjeru
gledano od vrha prema polovištu stranice možete pronaći u diplomskom radu Tonija Škare Težišnice trokuta i težište.
U jednakostraničnom trokutu težište se podudara sa središtem tom trokutu upisane (i opisane) kružnice. Zato je polumjer jednakostraničnom trokutu upisane kružnice jednak trećini duljine visine tog trokuta, tj. uz uobičajene oznake računa se prema formuli
Uz zadane podatke () dobivamo da je pa opseg kruga s polumjerom duljine iznosi
Za izradu jedne takve naušnice trebalo je žice.
...i na kraju
U ovoj ste jedinici naučili:
crtanjem visine rastaviti jednakostranični trokut na dva pravokutna trokuta
iskazati riječima i simbolima Pitagorin poučak za uočeni pravokutni trokut u jednakostraničnom trokutu uz oznake sa slike
izračunati nepoznati element jednakostraničnog trokuta primjenom Pitagorina poučka
riješiti problemski zadatak primjenom Pitagorina poučka na jednakostranični trokut
Vratite se trianglu s početka priče i riješite postavljeni zadatak.
Da nema „kukicaˮ, triangl bismo mogli spakirati u kutiju unutarnjih dimenzija
i
Zbog „kukica” i duljinu i širinu kutije treba povećati za približno
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Uz oznake kao na slici simbolički zapis Pitagorina poučka glasi
null
null
2
Kolika je duljina visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine
null
null
3
Duljinu stranice i duljinu visine jednakostraničnog trokuta veže izraz
null
null
4
Duljina stranice jednakostraničnog trokuta iznosi
Kolika je njegova površina?
null
null
5
Petra ima komad kartona u obliku kvadrata s površinom od kvadratnih centimetara. Kolika je površina najvećega jednakostraničnog trokuta koji može izrezati iz tog kartona?