8.7 Pravilna šesterostrana prizma

Površina je baze te prizme jednaka $B=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=6·4\sqrt{3}=24\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina je pobočja te prizme $P=6ah=6·4·5.5=132{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Oplošje je te prizme $O=2B+P=2·24\sqrt{3}+132=48\sqrt{3}+132\approx 83.14+132=215.14{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Duljina je osnovnog brida te prizme $a=60:6=10\mathrm{cm}.$ Najdulja je dijagonala baze (pravilnog šesterokuta) dvostruko dulja od osnovnog brida, tj. $d=20\mathrm{cm}.$ Za površinu dijagonalnog presjeka istaknutog na slici vrijedi $d·h=420$ pa je $h=21\mathrm{cm}.$

Površina je baze te prizme jednaka $B=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6·\frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}=6·25\sqrt{3}=150\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina je oplošja te prizme $P=6ah=6·10·21=1260 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Oplošje je te prizme $O=2B+P=2·150\sqrt{3}+1260=300\sqrt{3}+1260\approx 519.62+1260=1779.62 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina je baze te prizme jednaka $B=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=6·4\sqrt{3}=24\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Volumen je te prizme $V=Bh=24\sqrt{3}·5.5=132\sqrt{3}\approx 228.63 {\mathrm{cm}}^3.$

Ako je zapremina čaše $V=2.5 \mathrm{dl}=250{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}},$ a visina $8\mathrm{cm},$ zaključujemo da je površina baze jednaka $B=250:8=31.25 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Uvrštavanjem dobivenog podatka u izraz za računanje površine pravilnog šesterokuta dobivamo $31.25=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4},$ odakle nalazimo da je $a^{2 }\approx 12.03,$  odnosno $a\approx 3.47\mathrm{cm}.$ Opseg je baze tih čaša približno $20.8\mathrm{cm}$ i čaše su baš prikladne za korištenje!

Ako je duljina osnovnog brida šesterokutnih oblika $12\mathrm{cm},$ onda je površina šesterokuta jednaka $B=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6·\frac{{12}^2\sqrt{3}}{4}=6·36\sqrt{3}=216\sqrt{3}\approx 374 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

• Površina je baze polovičnog oblika $108\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$ pa $30$ takvih oblika može prekriti površinu od $3240\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$
• Površina je baze jednostrukog oblika $216\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$ pa $30$ takvih oblika može prekriti površinu od $6480\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$
• Površina je baze dvostrukog oblika $432\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$ pa $30$ takvih oblika može prekriti površinu od $12 960\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$
• Površina je baze trostrukog oblika $648\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$ pa $20$ takvih oblika može prekriti površinu od $12 960\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Tim je oblicima moguće prekriti ukupno $35 640\sqrt{3}\approx 61 730{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\approx 6.17{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Volumen svih kupljenih oblika jednak je umnošku ukupne površine baza i visine oblika. U ovom je slučaju volumen približno $493840{\mathrm{cm}}^3\approx 0.5{\mathrm{m}}^3.$ ​

Mreža se jednostrukog oblika sastoji od dvaju pravilnih šesterokuta sa stranicom duljine $a$ i šest sukladnih pravokutnika sa stranicama duljina $a$ i $h$.  

Mreža se dvostrukog oblika sastoji od četiriju pravilnih šesterokuta sa stranicom duljine $a$ i deset sukladnih pravokutnika sa stranicama duljina $a$ i $h$ .

Mreža se trostrukog oblika sastoji od šest pravilnih šesterokuta sa stranicom duljine $a$ i dvanaest sukladnih pravokutnika sa stranicama duljina $a$ i $h$.

U donjem sloju potrebno je obojiti $2$ sukladna šesterokuta i $12$ sukladnih pravokutnika, a u gornjem sloju $1$ šesterokut i $6$ sukladnih pravokutnika. Dakle, ukupno treba obojiti $3$ sukladna šesterokuta i $18$ pravokutnika.

Površina je svakog šesterokuta $B=6·\frac{{80}^2\sqrt{3}}{4}=9600\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}=0.96\sqrt{3}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Površina je svakog pravokutnika $p_1=0.8·1.2=0.96{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Ukupna površina koju treba obojiti je

$3·0.96\sqrt{3}+18·0.96=2.88\sqrt{3}+17.28\approx 4.99+17.28=22.27{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$