5.1 Realni brojevi

Vrste zapisa racionalnih brojeva

Zadatak 2.

Razvrstajte zadane racionalne brojeve u odgovarajuće zadane skupine.

Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

$\frac{-25}{-5}$

$-1200.00$

$-0.03·{10}^3$

$-\frac{256}{16}$

$3.5·{10}^{-3}$

$-\frac{1}{3}$

$-2^3$

${10}^{-2}$

$2.7·{10}^2$

$\frac{385}{77}$

$350.00$

$-\frac{-361}{-19}$

$56$

$-5\frac{81}{27}$

$25\%$

$17\frac{3}{8}$

${10}^3$

$\frac{144}{12}$

$-987$

$\frac{0}{10}$

 Prirodni brojevi s nulom

 Negativni cijeli brojevi

 Racionalni brojevi bez cijelih brojeva

null

null

Primjer 2.

Ponovimo.

Isti racionalni broj možemo zapisati na različite načine. U obliku razlomka, decimalnog broja, potencije ili postotka.

Ovisi o tome što brojem tumačimo.

Zapis razlomkom	Zapis decimalnim brojem	Znanstveni zapis	Zapis postotkom
$\frac{1}{10}$	$0.1$	${10}^{-1}$	$10\%$
$\frac{3}{100}$	$0.03$	$3·{10}^{-2}$	$3\%$
$\frac{21}{100}$	$0.21$	$2.1·{10}^{-1}$	$21\%$
$\frac{15}{10}$	$1.5$	$1.5·{10}^0$	$150\%$
$\frac{125}{100}$	$1.25$	$1.25·{10}^1$	$125\%$
$\frac{1}{2}$	$0.5$	$5·{10}^{-1}$	$50\%$
$\frac{7}{50}$	$0.14$	$1.4·{10}^{-1}$	$14\%$
$\frac{11}{4}$	$2.75$	$2.75·{10}^0$	$275\%$
$560\frac{1}{25}$	$560.04$	$5.6004·{10}^2$	$56004\%$
$\frac{91}{7}$	$13$	$1.3·{10}^1$	$1300\%$

Zadatak 3.

Smjesti racionalni broj u rečenicu tako da najbolje odgovara kontekstu iz stvarnoga života.

Nas će u nastavku zanimati prijelazi iz decimalnog zapisa racionalnog broja u zapis razlomkom i obrnuto.

Prijelaz iz decimalnog zapisa racionalnog broja u razlomak

Primjer 3.

U videozapisu je prikazano kako racionalne brojeve decimalnog zapisa prikazati razlomkom.

Zadatak 4.

U kvizu provjerite svoje znanje pretvaranja decimalnog zapisa racionalnog broja u razlomak.

Prijelaz iz zapisa razlomkom u decimalni zapis racionalnog broja

Primjer 4.

U videozapisu je prikazan prijelaz iz zapisa razlomkom u decimalni zapis racionalnog broja.

Zadatak 5.

U kvizu provjerite svoje znanje pretvaranja racionalnog broja zapisanog razlomkom u decimalni zapis.

Zapis beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja

Primjer 5.

Zapišimo u bilježnicu razlomak $\frac{1}{3}$ decimalnim brojem.

Primjer 6.

Zapišimo u bilježnicu razlomak​ $\frac{4}{15}$ decimalnim brojem.

Primjer 7.

Zapišimo u bilježnicu razlomak $\frac{9}{22}$ decimalnim brojem.

Primjer 8.

 Zapišimo u bilježnicu razlomak $\frac{10}{7}$ decimalnim brojem.  

Kako bez dijeljenja brojnika s nazivnikom odrediti kakav ćemo oblik decimalnog broja dobiti.

Konačni decimalni broj ili beskonačni periodični decimalni broj.

Također, kakav će taj beskonačno periodični decimalni broj biti: beskonačni čisti periodični decimalni broj ili beskonačni mješoviti periodični decimalni broj.

1. Do kraja skraćeni razlomak, čiji je nazivnik djeljiv s $2$ i $5,$ ima oblik konačnoga decimalnog broja. Na primjer:

   $\begin{array}{l}\frac{10}{8}=1.25\\ \frac{2}{25}=0.08\\ \frac{13}{40}=0.325\end{array}$​

2. Do kraja skraćeni razlomak, čiji nazivnik nije djeljiv ni s $2$ ni s $5,$ ima oblik beskonačnoga čistoga periodičnog decimalnog broja. Na primjer:

   $\begin{array}{l}\frac{1}{3}=0.\stackrel{\dot{}}{3}\\ \frac{3}{7}=0.\overline{428571}\\ \frac{9}{11}=0.\stackrel{\dot{}}{8}\stackrel{\dot{}}{1}.\end{array}$

3. Do kraja skraćeni razlomak, čiji je nazivnik djeljiv s $2$ ili s $5$ (ne oboje) i još nekim prostim brojem, ima oblik beskonačnoga mješovitoga periodičnoga decimalnog broja. Na primjer:

   $\begin{array}{l}\frac{1}{6}=0.1\stackrel{\dot{}}{6}\\ \frac{7}{15}=0.4\stackrel{\dot{}}{6}\\ \frac{9}{14}=0.6\overline{428571.}\end{array}$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Prepoznajte vrste decimalnog zapisa.

 Razvrstajte decimalne zapise zadanih razlomaka.

$\frac{11}{30}$  

$\frac{1}{216}$

$\frac{5}{32}$

$\frac{3}{111}$

$-\frac{2}{13}$

$\frac{11}{9}$

$\frac{5}{16}$

$\frac{12}{30}$

$-\frac{5}{27}$

$-\frac{10}{36}$  

$-\frac{55}{81}$

$\frac{8}{125}$

$-\frac{5}{18}$

$\frac{3}{2000}$

$\frac{7}{25}$

$-\frac{26}{44}$

$\frac{11}{12}$

$\frac{2}{3}$

 Konačni decimalni broj

 Beskonačni čisti periodični decimalni broj

Beskonačni mješoviti periodični decimalni brojevi

null

null

Zadatak 7.

Zadani su razlomci i zapis beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja. Izračunajte i povežite odgovarajuće.

 Spojite parove.

$\frac{5}{11}$  ​	$0.\stackrel{\dot{}}{6}$  ​
$\frac{7}{30}$  ​	$0.\stackrel{\dot{}}{7}\stackrel{\dot{}}{5}$
$\frac{25}{33}$  ​	$0.58\stackrel{\dot{}}{3}$  ​
$\frac{5}{9}$  ​	$0.\stackrel{\dot{}}{4}\stackrel{\dot{}}{5}$
$\frac{2}{3}$	$0.2\stackrel{\dot{}}{3}$  ​
$\frac{19}{22}$  ​	$0.\stackrel{\dot{}}{5}$  ​
$\frac{7}{12}$	$0.8\stackrel{\dot{}}{6}\stackrel{\dot{}}{3}$ ​

null

null

Zatvori

Znamenke u beskonačnome periodičnome decimalnom broju

Primjer 9.

Promotrimo niz koji se ovakvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na $500.$ mjestu.

Period čine plavi i crveni kvadratić. Ponavljaju se dva elementa, period je duljine $2.$

Plavi se kvadratić pojavljuje na: $1.,$ $3.,$ $5.,$ $7.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $2,$ ostatak je $1.$
  

Crveni se kvadratić pojavljuje na: $2.$, $4.,$ $6.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $2,$ ostatak je $0.$
  

$500:2=250$ i ostatak $0$

Na $500.$ mjestu bit će crveni kvadratić.

Primjer 10.

Promotrimo niz koji se takvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na $505.$ mjestu.

Period čine plavi, crveni i zeleni kvadratić. Ponavljaju se tri elementa, period je duljine $3.$

Plavi se kvadratić pojavljuje na: $1.$, $4.,$ $7.,$ $10.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $3,$ ostatak je $1.$
  

Crveni se kvadratić pojavljuje na: $2.,$ $5.,$ $8.,$ $11.,$ $14.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $3,$ ostatak je $2.$
  

Zeleni se kvadratić pojavljuje na: $3.,$ $6.,$ $9.,$ $12.,$ $15.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $3,$ ostatak je $0.$
  

$505:3=168$ i ostatak $1$

Na $505.$ mjestu bit će plavi kvadratić.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 8.

Promotrimo niz koji se takvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na $503.$ mjestu.

Rješenje

Period čine plavi, crveni, zeleni i žuti kvadratić. Ponavljaju se četiri elementa, period je duljine $4.$

Ponavljaju se četiri elementa. Period im je ponavljanja četiri.

Plavi se kvadratić pojavljuje na: $1.,$ $5.,$ $9.,$ $13.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $4,$ ostatak je $1.$
  

Crveni se kvadratić pojavljuje na: $2.,$ $6.,$ $10.,$ $14.,$ $18.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $4,$ ostatak je $2.$
  

Zeleni se kvadratić pojavljuje na: $3.,$ $7.,$ $11.,$ $15.,$ $19.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $4,$ ostatak je $3.$
  

Žuti se kvadratić pojavljuje na: $4.,$ $8.,$ $12.,$ $16.,$ $20.,$ (...) mjestu.

• Kada podijelimo mjesto pojave brojem $4,$ ostatak je $0.$

$503:4=125$ i ostatak $3$

Na $503.$ mjestu bit će zeleni kvadratić.

---

Zadatak 9.

Odredi traženi član niza.

1. Koja je životinja na 60. mjestu ovoga niza?

   

   mačka

   miš  

   pas

   miš

   miš

   

   null

   null

2. Koje je voće na 67. mjestu ovoga niza?

   

   
   

    

   

    

   

   

   

   

   null

   null

3. Koje će boje biti voće na 55. mjestu ovoga niza?

   

   plave

   crvene

   žute

   

   null

   null

Zatvori

Primjer 11.

Koja se znamenka nalazi na $505.$ decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ $1.\overline{428571}?$

Kako određujemo n-tu znamenku u beskonačnome periodičnome decimalnom broju?

Zadatak 10.

Koja se znamenka nalazi na $515.$ decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ $1.\overline{428571}?$

Primjer 12.

Koja se znamenka nalazi na $1232.$ decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ $0.023\stackrel{\dot{}}{1}4\stackrel{\dot{}}{8}?$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 11.

Odredite traženu znamenku.

1. Na $100.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.4\stackrel{\dot{}}{6}$ nalazi se znamenka

   $6$
   

    .

   

   null

   null
2. Na $100.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.\stackrel{\dot{}}{0}\stackrel{\dot{}}{3}$  nalazi se znamenka

   $3$  ​

    .

   

   null

   null
3. Na $100.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.\stackrel{\dot{}}{2}1\stackrel{\dot{}}{3}$ nalazi se znamenka

   $2$  ​

   .

   

   null

   null
4. Na $100.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.\stackrel{\dot{}}{4}32\stackrel{\dot{}}{1}$ nalazi se znamenka

   $1$  ​

    .

   

   null

   null
5. Na $100.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.\stackrel{\dot{}}{0}6349\stackrel{\dot{}}{2}$ nalazi se znamenka

   $4$  ​

    .

   

   null

   null
6. Na $1005.$ mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja $0.023\stackrel{\dot{}}{1}4\stackrel{\dot{}}{8}$ nalazi se znamenka  .

   

   null

   null

Zadatak 12.

Otkrijte sliku u sljedećoj interakciji.

U prvom stupcu tablice je zadan periodični broj. U drugom stupcu su koordinate točaka. Prva je koordinata redni broj decimale, a druga koordinata vrijednost znamenke te decimale.

Naprimjer, u broju​ $1.0\stackrel{\dot{}}{5}\stackrel{\dot{}}{6}$ $20.$ decimala je znamenka $5$ pa točka ima koordinate $\left(20,5\right).$

Zatvori

Primjena računanja s beskonačnim periodičnim decimalnim brojevima

Kad nam se u računanju pojave beskonačni periodični decimalni brojevi, rijetko s njima računamo u tom obliku. Najčešće zaokružujemo, pogotovo na kraju kada želimo ispisati rezultat. Svi su rezultati onda i približni.

U sljedećih nekoliko primjera pojavljuju se beskonačni periodični decimalni brojevi u izračunima.

Primjer 13.

Duljine su stranica pravokutnika u omjeru​ $\frac{1}{3}.$ Duljina dulje stranice iznosi $10\mathrm{cm}.$

Kolika je duljina kraće stranice?

Koliki su opseg i površina tog pravokutnika?

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Brat je $3$ puta stariji od sestre. Koliko će puta biti stariji za $10$ godina ako sada ima $6$ godina?

Rješenje

Sada brat ima $6$ godina, znači sestra ima $2$ godine.

Za $10$ godina brat će imati $16$ godina, a sestra $12$ godina.

Podijelimo bratove godine sa sestrinima kako bismo odredili koliko će puta biti stariji od nje.

Bit će stariji​ $1.\stackrel{\dot{}}{3}$  puta.

Približno će biti stariji​ $1.3$  puta.

$\begin{array}{l}16:12=1.333...\\ 16:12=1.\stackrel{\dot{}}{3} \end{array}$

---

Zadatak 14.

Petra je pisala kratku provjeru iz matematike u kojoj je bilo šest zadataka.

Svaki je zadatak vrijedio $1$ bod.

Petra nije znala samo jedan zadatak.

Koliki postotak Petra nije znala?

Rješenje

Izračunajmo koliko iznosi

$\frac{1}{6}=\mathrm{0.1666..}.=0.1\stackrel{\dot{}}{6}$

$0.1\stackrel{\dot{}}{6}=16.\stackrel{\dot{}}{6}\approx 17\%.$

Petra nije znala riješiti približno $17\%$ kratke provjere.

---

Zadatak 15.

Na slici su slični trokuti.

Koeficijent sličnosti trokuta​ $△ABC$ i $△ADE$ je​ $k=\frac{3}{2}.$

Odredite opseg trokuta $△ADE.$

Rješenje

Za opseg su nam potrebne duljine stranica.

Označimo tražene duljine s $x,$ $y$ i $z.$

Sličnim trokutima stranice su u istom omjeru. Duljine stranica možemo računati na dva načina.

• Prvi način: koristeći se koeficijentom
  

  $x=\frac{2}{3}·10=\frac{20}{3}=6.\stackrel{\dot{}}{6}\mathrm{cm}$

  $y=\frac{2}{3}·9=6\mathrm{cm}$
  $z=\frac{2}{3}·6=4\mathrm{cm}$
  

• Drugi način: korištenjem razmjera

  $\begin{array}{l}x:10=2:3\\ 3x=20\\ x=\frac{20}{3}=6.\stackrel{\dot{}}{6}\mathrm{cm}\end{array}$
  

  $\begin{array}{l}y:9=2:3\\ 3y=18\\ y=\frac{18}{3}=6\mathrm{cm}\end{array}$
  

  $\begin{array}{l}z:6=2:3\\ 3z=12\\ z=\frac{12}{3}=4\mathrm{cm}\end{array}$
  

Izračunajmo opseg.

$\begin{array}{l}o=x+y+z\\ o=6.\stackrel{\dot{}}{6}+6+4\\ o=16.\stackrel{\dot{}}{6}\mathrm{cm}\end{array}$

Traženi opseg iznosi $o=16.\stackrel{\dot{}}{6}\approx 16.7\mathrm{cm}.$

---

Zatvori

Prikaz beskonačnoga periodičnoga decimalnoga racionalnog broja razlomkom

Vidjeli smo u zanimljivosti da relativno lako zbrajamo i oduzimamo beskonačne periodične decimalne brojeve.

Kako bismo ih pomnožili ili podijelili?

Naprimjer, koliko je $0.\stackrel{\dot{}}{2}·0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}$ ili $0.\stackrel{\dot{}}{2}:0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}?$

Kako bismo to izračunali, potrebno ih je zapisati u obliku razlomka i pomnožiti ili podijeliti.

Primjer 14.

Prikažimo beskonačni periodični broj $0.\stackrel{\dot{}}{2}$ kao razlomak.

Označimo taj razlomak s​ $x.$

Tada slijedi:

$x=0.\stackrel{\dot{}}{2}.$ 

Pomnožimo jednadžbu s $10.$

$10·x=10·0.\stackrel{\dot{}}{2}$

Decimalni broj množimo s $10$ tako da decimalnu točku pomaknemo za jedno mjesto udesno.

$\left(10·0.\stackrel{\dot{}}{2}=10·\mathrm{0.2222..}.=\mathrm{2.2222..}.\right)$

$10·x=2.\stackrel{\dot{}}{2}$

Rastavimo $2.\stackrel{\dot{}}{2}$ na zbroj cijelog broja i decimalnog broja.

$\left(2.\stackrel{\dot{}}{2}=\mathrm{2.2222..}.=2+\mathrm{0.2222..}.=2+0.\stackrel{\dot{}}{2}\right)$

$10x=2+0.\stackrel{\dot{}}{2}$ 

Na početku smo odredili da je $x=0.\stackrel{\dot{}}{2}$ 

$10x=2+\mathrm{x.}$

Riješimo jednadžbu.

$\begin{array}{l}10x=2+x\\ 10x-x=2\\ 9x=2\\ x=2:9\\ x=\frac{2}{9}\end{array}$

Prikažimo samo postupak.

$\begin{array}{l}x=0.\stackrel{\dot{}}{2}/·10\\ 10x=2.\stackrel{\dot{}}{2}\\ 10x=2+0.\stackrel{\dot{}}{2}\\ 10x=2+x\\ 10x-x=2\\ 9x=2\\ x=\frac{2}{9}\end{array}$

$2.\stackrel{\dot{}}{2}=\frac{2}{9}$

Primjer 15.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj $0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}$ kao razlomak.

Pokažimo samo postupak.

$\begin{array}{l}x=0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}/·100\\ 100x=13.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}\\ 100x=13+0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}\\ 100x=13+x\\ 100x-x=13\\ 99x=13\\ x=\frac{13}{99}\end{array}$

$0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{3}=\frac{13}{99}$

Upamtimo! Kod prikazivanja periodičnog broja razlomkom zadani periodični broj (prvi stupac) množimo odgovarajućim dekadskim brojem (drugi stupac) kako je navedeno u tablici.

Oblik broja	U postupku množenje brojem
$\overline{0.\stackrel{\dot{}}{a}}$	$10$
$\overline{0.\stackrel{\dot{}}{a}\stackrel{\dot{}}{b}}$	$100$
$\overline{0.\stackrel{\dot{}}{a}b\stackrel{\dot{}}{c}}$	$1000$
$\overline{0.\stackrel{\dot{}}{a}bc\stackrel{\dot{}}{d}}$	$10000$
itd.

$a,$ $b,$ $c$ i $d$ su znamenke.

Zadatak 16.

Odredite beskonačnome periodičnom broju njegov pripadni zapis razlomkom.

 Spojite parove.

$0.\stackrel{\dot{}}{9}$  ​	$\frac{2}{33}$  ​
$0.\stackrel{\dot{}}{1}\stackrel{\dot{}}{8}$  ​	$1$  ​
$0.\stackrel{\dot{}}{0}\stackrel{\dot{}}{6}$  ​	$\frac{2}{11}$  ​
$0.\stackrel{\dot{}}{1}$	$\frac{1}{9}$  ​
$0.\stackrel{\dot{}}{4}$	$\frac{4}{9}$  ​
$0.\stackrel{\dot{}}{6}$  ​	$\frac{2}{3}$

null

null

Primjer 16.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj $0.0\stackrel{\dot{}}{5}$ kao razlomak.

Primjer 17.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj $3.0\stackrel{\dot{}}{7}$ kao razlomak.

Zadatak 17.

U drugom redu tablice zadani su periodični brojevi raznih vrsta. Svaki od njih prikaži razlomkom. Povuci odgovarajući razlomak u rubriku ispod zadanoga periodičnog broja. Pri točnom pridruživanju otkrit će se slovo. Riješite zadatke i otkrijte skrivene riječi.

Brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomka

Primjer 18.

Riješimo asocijacije. Iza svake se pločice krije asocijacija. Prvo potražite rješenja asocijacija po redovima. Rješenja redova skrivena su iza pločica označenih slovima $R_1,R_2\mathrm{i}{R}_3.$ Pritiskom na zelenu kvačicu provjerit ćete točnost. Nakon toga će vam se otkriti mogućnost rješavanja asocijacije skrivene u pločicama $R_1,R_2\mathrm{i}{R}_3.$   Rješenje te asocijacije potražit ćete u novoovorenom prozoru označenom s $R$ . To je ujedno rješenje cijele igre asocijacija. Točnost također provjeravate odabirom zelene kvačice.

Skup realnih brojeva

S brojevima koji su rješenja stupaca

• $\pi$
  
• $\sqrt{2}$
  
• $\sqrt{3}$
  

susreli smo se već prije.

Nismo spominjali kojem skupu brojeva pripadaju.

Krajnje je rješenje igre asocijacija: Iracionalni brojevi.

Brojevi

• $\pi$
  
• $\sqrt{2}$
  
• $\sqrt{3}$
  

su iracionalni brojevi.

O iracionalnim brojevima

Sam naziv za broj, iracionalan, znači da nije racionalan.

Racionalne brojeve uvijek možemo zapisati u obliku razlomka, čak i ako u decimalnom zapisu imaju beskonačno mnogo decimala.

Iracionalne brojeve nikad ne možemo zapisati u obliku razlomka.

Prije spomenute iracionalne brojeve možemo samo djelomično zapisati u obliku decimalnog broja jer su to beskonačni neperiodični decimalni brojevi.

$\begin{array}{l}\sqrt{2}=1.414213562373095...\\ \sqrt{3}=1.732050807568877...\\ \pi =\mathrm{3,1415926535897932}...\end{array}$ 

Zato u računanju upotrebljavamo njihove opće poznate približne vrijednosti.

$\begin{array}{l}\sqrt{2}\approx 1.41\\ \sqrt{3}\approx 1.73\\ \pi \approx 3.14\end{array}$ 

Skup racionalnih $Q$ i skup iracionalnih brojeva $\mathbb{I}$ nemaju zajedničkih elemenata. Ne postoji broj koji bi istodobno bio racionalan i iracionalan. Skup racionalnih $Q$ i skup iracionalnih brojeva $\mathbb{I}$ realnih brojeva $R.$

Skup racionalnih i iracionalnih brojeva zajedno čine skup realnih brojeva.

Primjer 19.

U tablici je plusom označena pripadnost realnog broja zadanom skupu.

Broj	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{I}$	$\mathbb{R}$
$75$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$\frac{3}{4}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$0.2$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$0.\stackrel{\dot{}}{3}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$\sqrt{5}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$
$\sqrt{9}=3$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$-8.9$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$-\frac{4}{3}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$-1.\stackrel{\dot{}}{7}\stackrel{\dot{}}{2}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$-18$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$
$3\sqrt{2}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$
$4\pi$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{-}$	$\mathbf{+}$	$\mathbf{+}$

 

Primjer 20.

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanom duljinom kraka $b=6\mathrm{cm}$ i duljinom visine $v_a=5\mathrm{cm}.$ Izračunajmo opseg i površinu tog trokuta

Primjer 21.

Trokutu na slici izračunajmo opseg i površinu. Zadane su duljine stranica,  $\sqrt{5}\mathrm{i}\sqrt{10}$ jediničnih dužina.

Zbroj iracionalnih brojeva uvijek je iracionalni broj.

Zbroj iracionalnog i racionalnog broja uvijek je iracionalni broj.

Umnožak iracionalnog i racionalnog broja iracionalni je broj.

Umnožak dvaju iracionalnih brojeva ne mora biti iracionalni broj.​

Zadatak 18.

Odredi pripadnost zadanog broja skupu.

Uspoređivanje realnih brojeva

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 19.

Izgrađena su dva dječja igrališta. Jedno kružno polumjera $20$ metara, jedno kvadratno sa stranicom duljine $31.4$ metra.

Za koje će igralište biti potrebna dulja ograda?

Rješenje

Za kružno igralište treba izračunati opeg kruga s polumjerom $r=20\mathrm{m}.$

$\begin{array}{l}o=2r\pi \\ o=2·20·\pi \\ o=40\pi \mathrm{m}\end{array}$ 

Za kvadratno igralište treba izračunati opseg kvadrata sa stranicom duljine $a=31.4\mathrm{m}.$

$\begin{array}{l}o=4a\\ o=4·31.4\\ o=125.6\mathrm{m}\end{array}$ 

Treba usprediti podatke​ $40\pi$  i $125.6$​.

Opseg kruga iracionalni je broj, a opseg kvadrata je racionalni broj.

Da bismo ih mogli usporediti potrebno je, u ovom slučaju, iracionalni broj prikazati u obliku decimalnoga racionalnog broja jer je drugi broj racionalan.

$40\pi \approx 40·3.14=125.6$

Kako smo zaokružili iznos broja $\pi$  na $3.14,$ ​iznosi su isti ​ $40\pi =125.6\mathrm{m}.$

No, da smo uzeli veći niz znamenki broja $\pi ,$ na primjer $\pi =3.141592,$

opseg bi bio $125.66368\approx 125.66\mathrm{m}.$

Razlika je $6\mathrm{m}.$

Možemo zaključiti da će za kružno igralište ipak biti potrebna dulja ograda.

---

Zadatak 20.

Kvadrat ima stranicu duljine $\sqrt{3}$ , a krug polumjer 1 jediničnu dužinu.
Koji od njih ima veći opseg?

Rješenje

Opseg kvadrata sa stranicom duljine​ $a=\sqrt{3}$ jediničnih dužina iznosi

$\begin{array}{l}o=4a\\ o=4\sqrt{3}\end{array}$

jedinične dužine.

Opseg kruga polumjera​ $r=1$ jediničnih dužina iznosi

$\begin{array}{l}o=2r\pi \\ o=2·1·\pi \\ o=2\pi \end{array}$

jedinične dužine.

Usporedimo veličine​ $4\sqrt{3}$ i $2\pi .$ Oba su broja iracionalna i ništa o njima ne znamo dok ih ne prikažemo decimalnim brojem.

$4\sqrt{3}\approx 6.92$

$2\pi \approx 6.28$

$4\sqrt{3}>2\pi$

Veći opseg ima kvadrat sa stranicom duljine $\sqrt{3}$ jedinične dužine.

---

Zatvori