Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Geoploča i Pitagorin poučak

Geoploča je (drvena ili plastična) ploča s čavlićima koji su raspoređeni u kvadratnu mrežu oko kojih je moguće rastezati elastične (gumene) vrpce. Geoploča često služi za istraživanje matematičkih koncepata, posebice onih vezanih za geometriju.

Zanimljivost

Na sljedećoj poveznici možete se poigrati s interaktivnom geopločom.

Praktična vježba

Slika prikazuje geoploču na kojoj je istaknuta jedna točka.

Na geoploči dimenzija $5 \times 5$ prikaži sve dužine međusobno različitih duljina kojima je jedna rubna točka na slici označena slovom A. Kolike su duljine tih dužina ako je udaljenost dviju susjednih točaka u retku (stupcu) $1 cm ?$ Možete li pronaći sva moguća različita rješenja?

Prva skupina:

Slika prikazuje rješenja zadatka na geoploči.

Prvu skupinu čine dužine koje počinju i završavaju u istom retku.

Druga skupina:

Drugu skupinu čine dužine koje počinju u točki A, a završavaju na dijagonali geoploče.

Duljine ovih dužina mogu se izračunati primjenom Pitagorina poučka.

Treča skupina:

Treču skupinu čine dužine koje počinju u točki A, a završavaju u drugom retku odozdo ako već nisu prebrojene u prethodnim dvama rješenjima.

Četvrta skupina:

Četvrtu skupinu čine dužine koje počinju u točki A, a završavaju u trećem ili četvrtom retku odozdo te nisu prebrojene u prethodnim trima rješenjima.

Ukupno ima

14

dužina različite duljine koje se mogu prikazati na geoploči

5 \times 5 .

Kutak za znatiželjne

Pitagorine trojke

Uređena trojka brojeva $(a, b, c)$ koja zadovoljava jednadžbu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ naziva se Pitagorina trojka.

Trojka brojeva $3,$ $4$ i $5$ Pitagorina je trojka jer vrijedi $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

Brojevi $3,$ $4$ i $5$ jesu osnovna Pitagorina trojka, a brojevi $6,$ $8$ i $10$ takozvana izvedena Pitagorina trojka. Naime, udvostručivanjem vrijednosti članova osnovne Pitagorine trojke $3,$ $4$ i $5$ dobili smo novu trojku. Na isti način dobit ćemo trojku $9,$ $12$ i $15$ itd.

Svaku Pitagorinu trojku možemo predočiti pravokutnim trokutom kojemu je najveći broj duljina hipotenuze. Takav trokut nazivamo Pitagorin trokut.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Pronađite još šest Pitagorinih trojki od kojih su barem dvije osnovne.

Popis Pitagorinih trojki koje čine brojevi do $100 .$

Trojke	Osnovne ili ne?	Trojke	Osnovne ili ne?
$3,$ $4,$ $5$	osnovne	$11,$ $60,$ $61$	osnovne
$6,$ $8,$ $10$	$2 \times (3,4,5)$	$39,$ $52,$ $65$	$13 \times (3,4,5)$
$5,$ $12,$ $13$	osnovne	$25,$ $60,$ $65$	$5 \times (5,12,13)$
$9,$ $12,$ $15$	$3 \times (3,4,5)$	$33,$ $56,$ $65$	osnovne
$8,$ $15,$ $17$	osnovne	$16,$ $63,$ $65$	osnovne
$12,$ $16,$ $20$	$4 \times (3,4,5)$	$32,$ $60,$ $68$	$4 \times (8,15,17)$
$15,$ $20,$ $25$	$5 \times (3,4,5)$	$42,$ $56,$ $70$	$14 \times (3,4,5)$
$7,$ $24,$ $25$	osnovne	$48,$ $55,$ $73$	osnovne
$10,$ $24,$ $26$	$5 \times (5,12,13)$	$24,$ $70,$ $74$	$2 \times (12,35,37)$
$20,$ $21,$ $29$	osnovne	$45,$ $60,$ $75$	$15 \times (3,4,5)$
$18,$ $24,$ $30$	$6 \times (3,4,5)$	$21,$ $72,$ $75$	$3 \times (7,24,25)$
$16,$ $30,$ $34$	$2 \times (8,15,17)$	$30,$ $72,$ $78$	$6 \times (5,12,13)$
$21,$ $28,$ $35$	$7 \times (3,4,5)$	$48,$ $64,$ $80$	$16 \times (3,4,5)$
$12,$ $35,$ $37$	osnovne	$18,$ $80,$ $82$	$2 \times (9,40,41)$
$15,$ $36,$ $39$	$3 \times (5,12,13)$	$51,$ $68,$ $85$	$17 \times (3,4,5)$
$24,$ $32,$ $40$	$8 \times (3,4,5)$	$40,$ $75,$ $85$	$5 \times (8,15,17)$
$9,$ $40,$ $41$	osnovne	$36,$ $77,$ $85$	osnovne
$27,$ $36,$ $45$	$9 \times (3,4,5)$	$13,$ $84,$ $85$	osnovne
$30,$ $40,$ $50$	$10 \times (3,4,5)$	$60,$ $63,$ $87$	$3 \times (20,21,29)$
$14,$ $48,$ $50$	$2 \times (7,24,25)$	$39,$ $80,$ $89$	osnovne
$24,$ $45,$ $51$	$3 \times (8,15,17)$	$54,$ $72,$ $90$	$18 \times (3,4,5)$
$20,$ $48,$ $52$	$4 \times (5,12,13)$	$35,$ $84,$ $91$	$7 \times (5,12,13)$
$28,$ $45,$ $53$	osnovne	$57,$ $76,$ $95$	$19 \times (3,4,5)$
$33,$ $44,$ $55$	$11 \times (3,4,5)$	$65,$ $72,$ $97$	osnovne
$40,$ $42,$ $58$	$2 \times (20,21,29)$	$60,$ $80,$ $100$	$20 \times (3,4,5)$
$36,$ $48,$ $60$	$12 \times (3,4,5)$	$28,$ $96,$ $100$	$4 \times (7,24,25)$

Zadatak 2.

Pronađite jedina dva Pitagorina trokuta kojima je površina jednaka njegovu opsegu.

To su trokuti sa stranicama duljina $6,$ $8$ i $10$ te $5$ , $12$ i $13 .$

Zadatak 3.

Duljina hipotenuze u nekom Pitagorinu trokutu iznosi $65 cm .$ Koje su moguće duljine kateta tog trokuta izražene u centimetrima?

Moguće duljine kateta tog trokuta iznose $3 9,$ $52,$ $65 cm$ ; $25,$ $60,$ $65 cm$ ; $33,$ $56,$ $65 cm;$ $16,$ $63,$ $65 cm .$

Zadatak 4.

Promotrite niz brojeva $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13 ...$ Koji je sljedeći član tog niza? Kako nastaje taj niz?

Sljedeći je član niza broj $21 .$

Svaki sljedeći član niza (počevši od trećeg) jednak je zbroju prethodnih dvaju članova niza.

Zatvori

Niz prirodnih brojeva u kojem je svaki član niza (počevši od trećeg člana) jednak zbroju prethodnih dvaju članova naziva se Fibonaccijev niz.

$1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13 ...$

Iz Fibonaccijeva niza možemo dobiti trojku brojeva koja izgrađuje Pitagorin trokut (Pitagorine trojke) i to na sljedeći način:

Uzmimo četiri uzastopna broja Fibonaccijeva niza.
Duljina prve katete jednaka je dvostrukom umnošku dvaju unutarnjih članova.
Duljina druge katete jednaka je umnošku dvaju vanjskih članova.
Duljina hipotenuze jednaka je zbroju kvadrata dvaju unutarnjih članova.

Uzmimo, primjerice, prva četiri člana Fibonaccijeva niza, tj. brojeve $1,$ $1,$ $2$ i $3 .$

Duljina prve katete jest $2 \cdot (1 \cdot 2) = 4 .$

Duljina druge katete jest $1 \cdot 3 = 3 .$

Duljina hipotenuze jest $1^{2} + 2^{2} = 5 .$

Opisanim postupkom dobili smo Pitagorinu trojku ( $3,$ $4,$ $5$ ).

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Koristeći se Fibonaccijevim nizom, pronađite još dvije Pitagorine trojke brojeva.

Uzmimo, primjerice, brojeve $1,$ $2,$ $3$ i $5 .$

Duljina prve katete jest $2 \cdot (2 \cdot 3) = 12 .$

Duljina druge katete jest $1 \cdot 5 = 5 .$

Duljina hipotenuze jest $2^{2} + 3^{2} = 13 .$

Opisanim postupkom dobili smo Pitagorinu trojku ( $5,$ $12,$ $13$ ).
Uzmimo, primjerice, brojeve $2,$ $3,$ $5$ i $8 .$

Duljina prve katete jest $2 \cdot (3 \cdot 5) = 30 .$

Duljina druge katete jest $2 \cdot 8 = 16 .$

Duljina hipotenuze jest $3^{2} + 5^{2} = 34 .$

Opisanim postupkom dobili smo Pitagorinu trojku ( $16,$ $30,$ $34$ ).

Zadatak 6.

Što će se dogoditi ako umjesto prva dva člana Fibonaccijeva niza upišemo neka druga dva prirodna broja te nastavimo niz koristeći se istim pravilom Fibonaccijeva niza za određivanje ostalih brojeva niza? Hoće li postupak iz prethodnog zadatka i dalje davati Pitagorine trojke? Provjerite.

Počnimo, primjerice, s brojevima $2$ i $5 .$ Tada je niz koji nastaje $2,$ $5,$ $7,$ $12,$ $19$ itd.

Uzmimo, primjerice, brojeve $2,$ $5,$ $7$ i $12 .$

Duljina prve katete jest $2 \cdot (5 \cdot 7) = 70 .$

Duljina druge katete jest $2 \cdot 12 = 24 .$

Duljina hipotenuze jest $5^{2} + 7^{2} = 74 .$

$70^{2} + 24^{2} = 4 900 + 576 = 74^{2}$

Opisanim postupkom dobili smo Pitagorinu trojku ( $24,$ $70,$ $74$ ).

Zatvori

Osnovne Pitagorine trojke $(a, b, c)$ možemo pronaći tako da odaberemo bilo koja dva prirodna broja $m$ i $n,$ pri čemu je $m > n,$ i uvrstimo u sljedeće formule:

$a = m^{2} - n^{2},$ $b = 2 m n,$ $c = m^{2} + n^{2} .$

Zadatak 7.

Odredite još dvije osnovne Pitagorine trojke koristeći se prethodno zadanim formulama.

Neka je $m = 6,$ a $n = 4 .$ Tada vrijedi:

$a = 6^{2} - 4^{2} = 36 - 16 = 20$

$b = 2 \cdot 6 \cdot 4 = 48$

$c = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52.$

Opisanim postupkom dobili smo također Pitagorinu trojku ( $20,$ $48,$ $52$ ).
Neka je

$m = 7,$ a $n = 6 .$ Tada vrijedi:

$a = 7^{2} - 6^{2} = 49 - 36 = 13$

$b = 2 \cdot 7 \cdot 6 = 84$

$c = 7^{2} + 6^{2} = 49 + 36 = 85.$

Opisanim postupkom dobili smo Pitagorinu trojku ( $13,$ $84,$ $85$ ).

Zanimljivost

Evo još nekih zanimljivosti koje vrijede za svaki Pitagorin trokut.

Duljina jedne njegove stranice višekratnik je broja $3 .$
Duljina jedne njegove stranice višekratnik je broja $4 .$
Duljina jedne njegove stranice višekratnik je broja $5 .$
Površina mu je uvijek višekratnik broja $6 .$

Možete li iz tih tvrdnji i sami napisati neku zanimljivost koja uvijek vrijedi za Pitagorin trokut?

Pitagorine trojke možete određivati i s pomoću sljedeće aktivnosti.

Zanimljivost

Umnožak duljina dviju kateta uvijek je višekratnik broja $12 .$

Umnožak duljine jedne od kateta i duljine hipotenuze višekratnik je broja $15,$ a umnožak duljine druge katete i duljine hipotenuze je višekratnik broja $20 .$

Umnožak duljina svih triju stranica višekratnik je broja $60 .$

Posebni trokuti

Trokut s veličinom kutova $30 °, 60 °, 90 °$

$v = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Duljina stranice pravokutnog trokuta nasuprot kutu od $30 °$ jednaka je polovici duljine hipotenuze tog trokuta.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

U jednakostraničnom trokutu $A B C,$ kojemu je duljina stranice $a = 3 cm,$ nacrtana je visina. Kolika je duljina te visine?

$v = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$v = \frac{3 \sqrt{3}}{2} cm$

Duljina visine iznosi $\frac{3 \sqrt{3}}{2} cm .$

Zadatak 9.

Kolika je duljina stranice romba kojemu je duljina dulje dijagonale $4 \sqrt{3} cm$ ako je veličina šiljastog kuta koji zatvaraju stranice romba $60 ° ?$

Slika prikazuje romb prema uputama iz zadatka.

Dijagonale romba raspolavljaju kutove između susjednih stranica i međusobno se sijeku pod pravim kutom. Zato se zadatak svodi na određivanje duljine stranice trokuta s veličinom kutova $30 °, 60 °, 90 ° .$

Duljina stranice nasuprot kutu veličine $30 °$ jednaka je polovini duljine hipotenuze.

$a^{2} = (2 \sqrt{3})^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$

$a^{2} = 12 + \frac{a^{2}}{4}$

$4 a^{2} - a^{2} = 48$

$a^{2} = 16$

$a = 4 cm$

Duljina stranice romba iznosi $4 cm .$

Zadatak 10.

Duljina dijagonale pravokutnika iznosi $10 cm,$ a dijagonale međusobno zatvaraju kut od $60 ° .$ Odredite opseg tog pravokutnika.

Slika prikazuje pravokutnik prema uputama iz zadatka.

Dijagonale pravokutnika međusobno se raspolavljaju i sukladne su. Zato je trokut $S E G$ jednakokračan. Zbog činjenice da se dijagonale sijeku pod kutom od $60 °$ , trokut $S E G$ je jednakostraničan. Dakle, duljina stranice $\bar{G E}$ iznosi $5 cm,$ tj. $|G E| = 5 cm .$

Duljina druge katete trokuta $F E G$ računa se s pomoću Pitagorina poučka.

$|F E| = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3} cm$

Opseg pravokutnika jednak je zbroju duljina njegovih stranica.

$o = 2 \cdot (5 \sqrt{3} + 5) = 10 (\sqrt{3} + 1) cm$

Zatvori

Trokut s kutovima veličina $45 °, 45 °, 90 °$

Trokut $A B C$ preslikavanjem preko dužine $\bar{A B}$ možemo dopuniti do kvadrata.

Duljina dijagonale kvadrata jednaka je $d = a \sqrt{2}$ jer je

$a^{2} + a^{2} = d^{2}$

$2 a^{2} = d^{2}$

$a \sqrt{2} = d,$ tj.

$d = a \sqrt{2} .$

Odnos kateta i hipotenuze zato je $1 : 1 : \sqrt{2} .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Duljina visine trapeza iznosi $4 cm,$ a kraće osnovice $8 cm .$ Veličine kutova uz dulju osnovicu su $60 ° i 45 ° .$ Odredite opseg tog trapeza.

Slika prikazuje trapez prema uputama iz zadatka.

Nakon što nacrtamo skicu sa svim zadanim elementima, uočit ćemo da se trapez može rastaviti na pravokutnik i dva trokuta, od kojih jedan s kutovima veličina $30 °, 60 °, 90 °,$ a drugi s kutovima veličina $45 °, 45 °, 90 ° .$

Trokut $D F C$ jednakokračni je pravokutni trokut, zato je $|F C| = 4 cm$ te $|D C| = 4 \sqrt{2} cm .$

Nadalje, prisjetimo se da je u trokutu s veličinama kutova $30 °, 60 °, 90 °$ duljina stranice nasuprot kutu od $30 °$ jednaka jednoj polovini duljine hipotenuze. Primjenom Pitagorina poučka na trokut $A B E$ dobivamo ${|A B|}^{2} = 4^{2} + (\frac{|A B|}{2})^{2},$ tj. ${|A B|}^{2} = \frac{64}{3}$ i $|A B| = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} cm .$

Opseg trapeza iznosi $o = \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 8 + 4 + 4 \sqrt{2} + 8 = 20 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2} = 4 (5 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) cm .$

Zadatak 12.

Veličine dvaju kutova nekog trokuta iznose $45 ° i 75 ° .$ Iz vrha najvećeg kuta nacrtana je visina na suprotnu stranicu. Odredite opseg i površinu tog trokuta ako je duljina nacrtane visine $5 cm .$

Slika prikazuje trokut prema uputama iz zadatka.

Veličina trećeg kuta toga trokuta iznosi $60 ° .$ Nakon što ucrtamo visinu iz vrha najvećeg kuta, kuta $H,$ dobit ćemo dva posebna trokuta, trokut s kutovima veličina $30 °, 60 °, 90 °$ te trokut s kutovima veličina $45 °, 45 °, 90 ° .$

Sa skice vidimo da je $|G J| = 5 cm, a |G H| = 5 \sqrt{2} cm$ te ${|H I|}^{2} - (\frac{|H I|}{2})^{2} = 5^{2} .$

Također, $\frac{3}{4} {|H I|}^{2} = 25$ i $|H I| = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} .$

Opseg tog trokuta iznosi $\begin{array}{l} o = (5 + \frac{5 \sqrt{3}}{3}) + \frac{10 \sqrt{3}}{3} + 5 \sqrt{2} = 5 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) cm \end{array} .$

Površina tog trokuta iznosi $p = \frac{1}{2} (5 + \frac{5 \sqrt{3}}{3}) \cdot 5 = 12.5 (1 + \sqrt{3}) {cm}^{2} .$

Zatvori

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Geoploča i Pitagorin poučak

Zanimljivost

Praktična vježba