7.1 Točke, pravci i ravnine u prostoru

Točka, ravnina, pravac

Primjer 1.

Na slici vidimo istaknutu točku kojoj smo pridružili ime, $T$. Ime točke piše se velikim tiskanim slovom. Naprimjer, $A,$ $B,$ $C,$ ​ $Z,$...

Na slici vidimo nekoliko različitih točaka. Različitim točkama pridružujemo različita imena.

Primjer 2.

Točka $T$ pripada ravnini. Nazovimo tu ravninu $\pi .$

Primjer 3.

U ravnini $\pi$ su nacrtane točke $T$ i $M.$

Nacrtajmo pravac $p$ kojem točka​ $T$ pripada.

Točka $M$ ne pripada pravcu $p.$

Točka, pravac i ravnina osnovni su pojmovi geometrije.

Zanimljivost

Kad se nešto imenuje osnovnim pojmom, to znači da se ne definira i ne opisuje.

Euklid je bio starogrčki matematičar poznat po svom djelu "Elementi", u kojem je prikupio tada poznata znanja o geometriji.

Evo kako je Euklid pisao o osnovnim pojmovima geometrije.

• Točka je ono što nema dijelova.
  
• Crta je duljina bez širine.
  
• Krajevi crte su točke.
  
• Dužina je ona crta koja jednako leži prema točkama na njoj.
  
• Ploha je ono što ima samo duljinu i širinu.
• Krajevi plohe su crte.
• Ravnina je ploha koja jednako leži prema dužinama na njoj.
  

Dužina

Primjer 4.

Neka su zadane dvije točke. Nazovimo ih točkama $A\mathrm{i}B.$ Spojimo točke $A\mathrm{i}B.$

Možemo ih spojiti na beskonačan broj načina. Samo je jedan način drukčiji od svih ostalih.

Poseban je način onda kada je u pitanju najkraća spojnica točaka $A\mathrm{i}B.$

Najkraća spojnica točaka $A\mathrm{i}B$ je dužina te zapisujemo​ $\overline{AB}$ i čitamo "Dužina $A,B$".

Točke $A\mathrm{i}B$ krajevi su dužine $\overline{AB}.$

Jednake dužine imaju iste krajnje točke.

Primjer 5.

Promotrimo kartu Republike Hrvatske. Potražimo točku koja označava grad Zagreb te onu koja označava grad Zadar. ​Na karti je dužinom $\overline{AB}$ istaknuta linija zračne udaljenosti, najkraće udaljenost između Zagreba i Zadra. Plavom zakrivljenom linijom istaknuta je jedna od cestovnih linija.

Duljina dužine $\overline{AB}$ iznosi $197.79\mathrm{km}.$

Duljina zakrivljene linije iznosi $286.30\mathrm{km}.$

Primjer 6.

Promotrimo dužine na slici. Zapišimo duljine tih dužina.

$\left|AB\right|=5\mathrm{cm}$

$\left|CD\right|=6.2\mathrm{cm}$

$\left|EF\right|=3.5\mathrm{cm}$

$\left|GH\right|=3.5\mathrm{cm}$ 

Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{GH}$ jednakih su duljina, ​ $\left|EF\right|=\left|GH\right|.$

Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{GH}$ su sukladne, ​ $\overline{EF}\cong \overline{GH}.$

Zanimljivost

Jednake dužine uvijek su sukladne. Dužine $\overline{AB}$ i ​ $\overline{MN}$ su jednake i sukladne.

Sukladne dužine nisu uvijek jednake. Dužine $\overline{CD}\mathrm{i}\overline{PR}$ su sukladne/jednake duljine, ali nisu jednake.

Zadatak 1.

Odaberite točne odgovore.

 Na slici je zadan kvadrat $ABCD.$

$\overline{AB}=\overline{CD}$  ​

$\overline{AB}\cong \overline{CD}$

$\overline{BC}\cong \overline{AD}$  ​

$\overline{AB}=\overline{BC}$

$\overline{AB}\cong \overline{BC}$

$\overline{BC}\cong \overline{CA}$  ​

$\overline{AB}\cong \overline{CD}$  ​

null

null

Pravac

Primjer 7.

Zadana je točka $T$. Odredimo koliko različitih pravaca, kojima točka  $T$ pripada, možemo nacrtati.

Točkom $T$ možemo nacrtati beskonačno mnogo pravaca.

Zadatak 2.

Odaberimo točke $A$ i $B.$ Odredimo koliko različitih pravaca, koji sadrže obje točke, možemo nacrtati.

Točkama $A$ i $B$ možemo nacrtati točno jedan pravac, pravac $AB.$

Primjer 8.

Na slici su dva različita pravca. Pravac​ $AB$  i pravac $p.$

Pravac opisujemo i imenujemo, ili koristeći imena njegovih bilo kojih dviju točaka, naprimjer, $AB$ ili malim pisanim slovom, naprimjer $p.$

Zadatak 3.

Zadane su četiri točke $A,$ $B,$ $C$ i $D.$ Odredite sve pravce određene zadanim točkama.

Pravac je određen s bilo koje dvije točke. Šest je pravaca određeno s četiri točke u zadanom položaju, $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA,$ $CA$ i $BD.$

Primjer 9.

Na slici je pravac​ $p$ i dvije točke $M$ i $N$ koje mu pripadaju. Također je zadana točka $A$ koja pripada pravcu $p$  i točka $B$ koja mu ne pripada. To možemo zapisati:

$A,M,N\in p$

$B\cancel{\in }p$

Za točke $A$, $M$ i $N$ kažemo da su kolinearne.

Za točke $B$, $M$ i $N$ kažemo da su nekolinearne.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadane su četiri točke, $A,$ $B,$ $C$ i $D.$ Točke $A,$ $B$ i $C$ su kolinearne. Koliko različitih pravaca određuju zadane točke?

Rješenje

Pravci određeni zadanim točkama sa zadanim uvjetima su: $AC,$ $CD,$ $BD$ i $AD.$ Točke $A,$ $B$ i $C$ su kolinearne, pripadaju istom pravcu. Ostala tri su određena njima i točkom $D$ koja ne pripada tom pravcu.

S četiri točke u zadanom položaju , određena su četiri različita pravca.

---

Zadatak 5.

Riješite kratki kviz.

1. Odaberi sliku na kojoj su sve istaknute točke kolinearne.

    

   

   

   

   null

   null

2. Kolinearne točke na slici su:

   

   $A,$ $B$ i $D$

   $A,$ $D$ i $C$

   $B,$ $C$ i $D$

   $B,$ $D$ i $E$

   $A,$ $D,$ $C$ i $E$ 

   $A,$ $B,$ $D$ i $E$

   

   null

   null
3. Kolinearne točke pripadaju

   istom     

    

    pravcu

    .

   

   null

   Postupak:

   Kolinearne točke pripadaju istom pravcu.
   

4. Pravac je određen sa svoje bilo koje

    dvije

   točke.

   

5. Povuci točke $C,$ $H$ i $F$ na sliku tako da vrijedi:
   

   Točka $C$ je kolinearna s točkama $A$ i $B.$
   

   Točka $H$ je kolinearna s točkama $B$ i $D.$
   

   Točka $F$ je kolinearna s točkama $C$ i $E.$
   

   

     $C$
   

     $H$
   

   $F$

   

   Pomoć:

   Kolinearne točke pripadaju istom pravcu.
   

   Postupak:

   

    ​

6. Koliko je pravaca određeno s pet točaka kao na slici? Nikoje tri nisu kolinearne.

   

    10

   

   

7. Koliko je različitih pravaca određeno s pet točaka, $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J$ kao na slici? Tri su točke, $F,$ $G$ i $H$, kolinearne.

   

     $8$

   

    
   

   Postupak:

    ​

   

Zatvori

Prostor

Točke, dužine, pravci su dijelovi ravnine i u ravnini smo ih proučavali. Kako bismo mogli proučavati ravninu ili više njih, potrebno je to učiniti u prostoru. Za proučavanje skupova točaka u prostoru potreban nam je model prostora koji možemo prikazati u ravnini.

Model prostora bit će kvadar s istaknutim vrhovima kao na slici.

Strane kvadra predstavljat će ravnine.

Ravnina

Primjer 10.

Znamo kako je pravac određen sa svoje bilo koje dvije točke. Sada kada uočavamo ravnine, možemo razmisliti s koliko je točaka određena ravnina. Odnosno, koliko je točaka dovoljno kako bismo imali točno određenu ravninu.

Točke $A$ , $B$ i $D$ nisu kolinearne. Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

U narednom videu, u Zanimljivosti, ćete saznati nešto više o određenosti ravnine.

Primjer 11.

Sada znamo:

• pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke
• ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.
  

Slijedeći te dvije činjenice, na modelu prostora (kvadar) ćemo pravce imenovati sa bilo koje dvije točke koje su vrhovi kvadra.

Ravnine ćemo imenovati s bilo koje tri nekolinearne točke koje su vrhovi kvadra.

Na primjer, na slici je istaknuta:

• točka $A$
• pravac $AF$
  
• ravnina $ABC.$

Uočimo kako istu ravninu, $ABC,$ možemo imenovati na različite načine:

• odabirući neke druge tri točke te ravnine: $BCD,$ $CDA$ i $DAB.$
• mijenjajući redoslijed imena vrhova: $CBA,$ $CDB,$ $ADC,$ $ADB...$
  

Primjer 12.

Na modelu prostora nacrtani su pravci. Imenujmo te pravce koristeći vrhove kvadra. Iscrtkani dijelovi pravca govore da se oni zapravo ne vide iza ravnina koje su ispred ili iznad njih.

Nacrtani pravci su: $BD,$ $CF,$ $GE$ i $BH.$

Zadatak 6.

Na modelu prostora crtajte pravce određene vrhovima kvadra (klikom na tražene vrhove, pojavljuje se pravac koji prolazi kroz njih). Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Primjer 13.

Na modelu prostora istaknute su ravnine. Imenujmo te ravnine koristeći vrhove kvadra.

Ravnine su:

• $ABG$ koju još možemo imenovati i $BGH,$ $GHA,$ $HAB$
• $BCG$ koju još možemo imenovati i $CGF,$ $GFB,$ $FBC$
  
• $EFG$ koju još možemo imenovati i $FGH,$ $GHE,$ $HEF.$
  

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Na modelu prostora crtajte ravnine određene vrhovima kvadra. Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Zadatak 8.

U sljedećem kvizu uvježbajte označavanje zadanih istaknutih točaka, pravaca i ravnina.

1. Na modelu prostora istaknut je pravac.
   Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.

   

   pravac $EB$

    ​

   

   null

   null
2. Na modelu prostora istaknut je pravac.
   Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.
   

   

   pravac $CF$

   

   null

   null
3. Na modelu prostora istaknut je pravac.
   Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.

   

    pravac $DG$

   

   null

   null

4. Prema modelu pravca imenujte nacrtane pravce $AE$ i $DF$.

   

   
   

   

   $A$
   

   $E$

   $D$
   

   $F$

   

   Postupak:

   

    ​

5. Prema modelu pravca imenujte nacrtane pravce $BG$ i $HF$.
   

   

   
   

   

   $B$
   

   $G$
   

   $H$
   

   $\mathrm{F\; <br>}$

   

   Pomoć:

   Oznake se moraju staviti ispod crte.
   

   Postupak:

   

    ​

6. Odaberite ime nacrtane ravnine za svaku sliku.
   

   	BCHADHFADBGH
   	BCHADHFADBGH
   ​	BCHADHFADBGH
   ​	BCHADHFADBGH

   

7. Na slici je istaknuta ravnina:

   

   $FHD$

   $HDB$

   $BFH$

   $EFB$

   

   null

   Postupak:

   $DBF,$ $BFH,$ $FHD,$ $HDB$
   

8. Na slici je istaknuta ravnina:
   

   

   $EAD$

   $ACG$

   $CGE$

   $DCG$

   

   null

   Postupak:

   $ACG,$ $CGE,$ $GEA,$ $EAC$
   

9. Na slici je istaknuta ravnina:
   

   

   $DCF$

   $BCD$

   $FED$

   $EDC$

   

   null

   Postupak:

   $DCF,$ $CFE,$ $FED,$ $EDC$ 

10. Na slici je istaknuta ravnina:
    

    

    $DCG$

    $CGF$

    $FGH$

    $GHD$

    

    null

    Postupak:

    $DCG,$ $CGH,$ $GHD,$ $HDC$
    

11. Dopunite rečenice.

    

    
    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka $H$;

     

     pravcu $HD,$ a

     

     ravnini $CGF$.

     ne pripada

      pripada

    

    null
12. Dopunite rečenice.

    

    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka $G$

     

     pravcu $AG$ i

     

      $HEF.$

    pripada

     ravnini

    

    null

    null
13. Dopunite rečenice.

    

    
    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka $H$

     

     ravnini $ABG,$ a

     

     pravcu $FB$.

     ne pripada

    pripada

    

    null

    null

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Na slici je prikaz studentske sobe. Ormar i krevet prikazani su kvadrima, a vrata i prozor pravokutnicima. Koristeći istaknute točke, odgovorite koji je zid slobodan, odnosno na kojem nema predmeta, vrata i prozora.

Rješenje

Slobodan zid, na kojem nema nikakvih predmeta, predstavlja ravnina $ABF$ i strop koji predstavlja ravnina $EFG$.

---

Zadatak 10.

U sljedećoj je interakciji prikazan prazan prostor sobe. Ponuđeni su komadi namještaja. Namjestite tu sobu koristeći maksimalno $5$ komada namještaja tako da prostor sobe bude koristan i dobro iskorišten. Također, vodite računa da elementi ne "smetaju" jedan drugome.

Zatvori

Primjer 14.

Promotrimo model prostora. Istaknuta je ravnina $ABC.$

Ravnini $ABC$ pripadaju istaknute točke $A,$ $B,$ $C$ i $D.$

Za točke koje pripadaju istoj ravnini kažemo da su komplanarne.

Točka $E$ ne pripada ravnini $ABC$, stoga za točku $E$ kažemo da je nekomplanarna s točkama $A,$ $B$ i $C.$

Primjer 15.

Pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke.

Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Možete li opisati s koliko kakvih točaka je određen prostor?

Zanimljivost

Šipke tronošca predstavljaju pravce. Tronožac je najstabilniji jer tri noge određuju ravninu, a četvrta točka iznad tla određuje prostor kuhanja.