Matematika 8 - 3.4 Djelomično korjenovanje

Na početku...

Proučite ove dvije slike.

Slika 1. prikazuje niz kvadrata jedan unutar drugog. Iznosi su njihovih površina kvadrati prirodnih brojeva.

Slika 2. prikazuje niz kvadrata upisanih jedan u drugi. Nisu svi iznosi njihovih površina kvadrati prirodnih brojeva.

Na slici su prikazane dvije slike nizova kvadrata upisanih jedne u druge po dijegonali. Površine na prvoj slici su 1,4,16,64, a na drugoj,1,2,4,8,16,64 — Slika 1.

Na slici su prikazana četiri različita kvadrata u nizu u kvadratnoj mreži, površina1, 4, 16 i 64 — Slika 2.

Presložimo kvadrate sa slike 1. u kvadratnu mrežu.

Promotrimo odnos duljina stranica susjednih kvadrata.

Promotrimo odnos površina susjednih kvadrata.

Kvadrat sa stranicom duljine $1$ ima površinu $1 .$

Kvadrat sa stranicom duljine $2 = 2 \cdot 1$ ima površinu $4 = 4 \cdot 1 .$
Kvadrat sa stranicom duljine $4 = 2 \cdot 2$ ima površinu $16 = 4 \cdot 4 .$
Kvadrat sa stranicom duljine $8 = 2 \cdot 4$ ima površinu $64 = 4 \cdot 16 .$

Ako je duljina stranice kvadrata dva puta veća od duljine stranice prethodnog kvadrata, površina mu je je četiri puta veća.

Zadatak 1.

Kolika je duljina stranice kvadrata površine $25$ kvadratnih centimetara?

Na slici je prikazan kvadrat površine 25 u kvadratnoj mreži

Površina kvadrata jednaka je kvadratu duljine njegove stranice.

Tražimo drugi korijen iz $25,$ $\sqrt{25} .$ To je broj $5,$ $\sqrt{25} = 5 .$

Označimo duljinu stranice kvadrata s $a,$ a površinu s $p .$

$\begin{array}{l} p = a^{2} \\ 25 = a^{2} \\ \sqrt{25} = a \\ a = 5 cm \end{array}$

Duljina stranice kvadrata površine $25$ kvadratnih metara iznosi $5$ centimetara.

Prirodni broj koji je kvadrat drugoga prirodnog broja naziva se potpuni kvadrat. (Primjerice, $9$ je potpuni kvadrat jer je $9 = 3^{2},$ $16$ je potpuni kvadrat jer je $16 = 4^{2}$ ). Drugi korijen iz potpunog kvadrata prirodnog broja je prirodni broj, $\sqrt{n^{2}} = n, n \in N .$

Primjer 1.

Promotrimo dva kvadrata s početne desne slike. Njihove površine nisu potpuni kvadrati.

Unutar njih zapisane su njihove površine $2$ i $8 .$

Površina je većeg kvadrata četiri puta veća od površine manjeg.

Kolike su duljine stranica tih kvadrata?

Na slici su prikazana dva kvadrata, veći četiri puta veće površine s duljinama stranica korijen iz 2 i korijen iz 8.

Duljina stranice manjeg kvadrata je $\sqrt{2} .$

Duljina stranice manjeg kvadrata je $\sqrt{8.}$

Zadatak 2.

Na slici se prikazana dva kvadrata, veći četiri puta veće površine s duljinama stranica korijen iz 2 i korijen iz 8.

Koliko je puta duljina stranice većeg kvadrata veća od duljine stranice manjeg kvadrata?

Duljina stranice većeg kvadrata dva je puta veća od duljine stranice manjeg kvadrata, $\sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2} .$

U sljedećoj interakciji zadan je kvadrat površinom i duljinom stranice. Popunite zadani kvadrat s ponuđenim manjim kvadratima. Uočite različit zapis iste duljine stranice zadanog kvadrata.

Primjer 2.

Kako možemo računski potvrditi jednakost?

$\sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}$

Možemo broj $8$ rastaviti na umnožak dvaju prirodnih brojeva tako da je jedan od njih potpuni kvadrat.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} =$

Korijen umnoška jednak je umnošku korijena,

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} .$

Dakle, $\sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2} .$

Kažemo da smo broj $8$ djelomično korjenovali postupkom koji se naziva djelomično korjenovanje.

Primjer 3.

Djelomično korjenujmo broj $12 .$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3}$

Primjer 4.

Djelomično korjenujmo broj $20 .$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5}$

Primjer 5.

Djelomično korjenujmo broj $50 .$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2}$

Zadatak 3.

Možemo li djelomično korjenovati broj $30 ?$

Broj $30$ ne možemo djelomično korjenovati jer ne postoji rastav broja $30$ na faktore takav da je barem jedan od faktora potpuni kvadrat.

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ako prirodni broj u svojemu rastavu na faktore ima potpuni kvadrat, možemo ga djelomično korjenovati.

Zapis $2 \cdot \sqrt{2}$ kraće zapisujemo $2 \sqrt{2}$ izostavljajući znak za množenje i čitamo: dva korijena iz dva.

Zapis $a \cdot \sqrt{b}$ kraće zapisujemo $a \sqrt{b}$ izostavljajući znak za množenje i čitamo: a korijena iz b.

Zadatak 4.

Riješite ovaj kratki kviz o djelomičnom korjenovanju.

$\sqrt{80} =$

$8 \sqrt{10}$
$4 \sqrt{5}$

$8 \sqrt{5}$
$4 \sqrt{5}$

$4 \sqrt{5}$

$5 \sqrt{8}$
$4 \sqrt{5}$
$\sqrt{120} = 2 \sqrt{30}$

Da

Ne
$\sqrt{120} = 2 \sqrt{30}$
Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

$\sqrt{18}$

$\sqrt{15}$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{60}$

$\sqrt{51}$

$\sqrt{30}$

$\sqrt{9}$

$\sqrt{72}$

$\sqrt{10}$

$\sqrt{6}$

Prirodni brojevi koje ne možete djelomično korjenovati

Prirodni brojevi koje možete djelomično korjenovati

Primjer 6.

Je li $\sqrt{32}$ dobro djelomično korjenovan ako piše sljedeća jednakost?

$\sqrt{32} = 2 \sqrt{8}$

Jednakost $\sqrt{32} = 2 \sqrt{8}$ je točna, ali nije „do kraja” provedeno djelomično korjenovanje.

Naime, broj $\sqrt{8}$ može se još djelomično korjenovati.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Djelomičnim korjenovanjem „do kraja ” dobili smo rješenje $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2} .$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

Djelomično je korjenovanje završeno kada pod korijenom više nemamo faktor koji je potpuni kvadrat.

$8 \sqrt{15}$
$2 \sqrt{2}$
$2 \sqrt{3} ...$

Zadatak 5.

Proučite zadane izraze te ih razvrstajte u odgovarajuće skupine.

Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

10 \sqrt{20}

16 \sqrt{10}

8 \sqrt{30}

3 \sqrt{24}

2 \sqrt{28}

5 \sqrt{18}

49 \sqrt{13}

4 \sqrt{15}

2 \sqrt{42}

7 \sqrt{99}

2 \sqrt{55}

Do kraja djelomično korjenovan

Nije do kraja djelomično korjenovan

null

Zadatak 6.

Zadani su korijeni prirodnih brojeva. Provedite djelomično korjenovanje i dopišite nepoznati broj s desne strane jednakosti na mjesto upitnika. Kad sve točno riješite, otkrit će vam se slika.

Zatvori

Primjena djelomičnog korjenovanja na rješavanje problema

Zadatak 13.

Na slici je prikaz tlocrta koji se sastoji od dva kvadrata koji se dodiruju stranicama. Manji površine 12, a veći površine 27 metara kvadratnih.

Lik na slici sastoji se od dvaju kvadrata površine $12$ i $27$ kvadratnih metara. Opseg tog lika izrazi drugim korijenom.

Na slici je prikaz tlocrta koji se sastoji od dva kvadrata koji se dodiruju stranicama. Manji površine 12, a veći površine 27 metara kvadratnih. Istaknute i duljne stranica kvadrata .

Potrebno je odrediti duljine stranica tog lika.

Duljina stranice manjeg kvadrata:

$\begin{array}{l} p = a^{2} \\ 12 = a^{2} \\ a = \sqrt{12} \\ a = \sqrt{4 \cdot 3} \\ a = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \\ a = 2 \sqrt{3} m. \end{array}$

Duljina stranice manjeg kvadrata iznosi $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3} m .$

$\begin{array}{l} p = a^{2} \\ 27 = a^{2} \\ a = \sqrt{27} \\ a = \sqrt{9 \cdot 3} \\ a = \sqrt{9} \sqrt{3} \\ a = 3 \sqrt{3} m \end{array}$

Duljina stranice većeg kvadrata iznosi $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3} m .$

$o = 3 \cdot 2 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

$o = 6 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

$o = \sqrt{3} \cdot (6 + 9 + 1)$

$o = 16 \sqrt{3} m$

Opseg lika iznosi $16 \sqrt{3}$ metara.

Zadatak 14.

Na slici je prikaz pravokutnika rastavljenog na dva kvadrata površine 8, jednog površine 18, dva pravokutnika površine 6 i jedan površine 2.

Prekrivač za stol u obliku pravokutnika sastavljen je od: jednog kvadrata površine $2,$ dva kvadrata površine $8$ i jednog kvadrata površine $18$ decimetara kvadratnih te dva sukladna pravokutnika površine $6 .$ Koliki mu je opseg izražen u decimetrima s pomoću $\sqrt{2} ?$

Na slici je prikaz pravokutnika rastavljenog na dva kvadrata površine 8, jednog površine 18, dva pravokutnika površine 6 i jedan površine 2. Istaknute su im i duljine stranica.

Opseg pravokutnika jednak je zbroju duljina svih stranica.

Za računanje opsega treba odrediti duljine stranica kvadrata i pravokutnika od kojih je prekrivač sastavljen.

Duljina stranice kvadrata $a$ površine $p = 2$ iznosi $p = a^{2}, 2 = a^{2}, a = \sqrt{2} dm .$

Duljina stranice kvadrata $b$ površine $p = 8$ iznosi $p = a^{2}, 8 = a^{2}, a = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2} dm .$

Duljina stranice kvadrata $c$ površine $p = 18$ iznosi $p = a^{2}, 18 = a^{2}, a = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \sqrt{2} dm .$

Duljina veće stranice pravokutnika jednaka je duljini stranice najvećeg kvadrata, $c = 3 \sqrt{2} dm .$ Duljina kraće stranice pravokutnika jednaka je duljini stranice najmanjeg kvadrata, $a = \sqrt{2} dm .$

Označimo duljine stranica pravokutnika s $x i y .$

$\begin{array}{l} x = \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \\ x = \sqrt{2} (1 + 2 + 3) \\ x = 6 \sqrt{2} dm \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \\ y = \sqrt{2} (3 + 1) \\ y = 4 \sqrt{2} dm \end{array}$

$\begin{array}{l} o = 2 (x + y) \\ o = 2 (6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \\ o = 2 \sqrt{2} (6 + 4) \\ o = 20 \sqrt{2} dm \end{array}$

Opseg pravokutnika izražen s pomoću $\sqrt{2}$ iznosi $20 \sqrt{2} dm .$

Zadatak 15.

Na slici je prikazan niz kvadrata upisanih jedan u drugi kojima pivršine nisu svi potpuni kvadrati.

U gradskom je parku napravljen cvjetnjak. U kvadrate su upisani iznosi njihovih površina u kvadratnim metrima.

Svaki cvjetnjak treba biti ograđen niskom ogradicom. Cijena jednog metra ograde je $45$ kuna. Kolika je najmanja cijena te ograde potrebna za ograđivanje svih kvadratnih dijelova cvjetnjaka?

Za duljinu ograde potrebno je odrediti duljinu stranice svakog kvadrata korjenovanjem površine. Duljine stranice kvadrata, počevši od najmanjeg, redom su:

$\sqrt{1},$ $\sqrt{2},$ $\sqrt{4},$ $\sqrt{8},$ $\sqrt{16},$ $\sqrt{32}$ i $\sqrt{64} .$

Opseg je zbroj duljina svih stranica. Kako bismo ih mogli zbrojiti, moramo ih svesti na isti radikand.

Opsezi kvadrata redom su:

$4,$ $4 \cdot \sqrt{2},$ $4 \cdot \sqrt{4} = 8,$ $4 \cdot \sqrt{8},$ $4 \cdot \sqrt{16} = 16,$ $4 \cdot \sqrt{32}$ i $4 \sqrt{64} = 32 .$

Na osnovi toga, duljina ograde zbroj je svih opsega.

$4 + 4 \sqrt{2} + 8 + 4 \sqrt{8} + 16 + 4 \sqrt{32} + 32 =$

$60 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} + 4 \cdot \sqrt{16 \cdot 2} =$

$60 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{4} \sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{16} \sqrt{2} =$

$60 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} =$

$60 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2} =$

$60 + \sqrt{2} (4 + 8 + 16) =$

$60 + 28 \sqrt{2} \approx 99.48$

Najmanja duljina ograde iznosi približno $99.48$ metara.

Cijena ograde bit će najmanje $99.48 \cdot 45 = 4 476.60$ kuna.

Zadatak 16.

Na slici je prikazan kvadrat podijeljen na dva sukladna pravokutnika

Baka ima cvjetnjak iza kuće u obliku kvadrata, površine $450$ kvadratnih metara. Ove ga je godine odlučila prepoloviti kako je prikazano na crtežu te u jednu polovicu smjestiti kokoši nesilice. Kolika će biti duljina ograde kojom će ograditi dio za kokoši?

Na slici je prikazan kvadrat podijeljen na dva sukladna pravokutnika s istaknutim duljinama stranica.

Duljina stranice kvadrata površine $450$ kvadratnih metara jednaka je $\sqrt{450}$ metara.

Djelomično korjenujmo broj $\sqrt{450} .$

$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15 \sqrt{2}$

Duljina pola stranice kvadrata iznosi $\frac{1}{2} od 15 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 15 \sqrt{2} = 0.75 \sqrt{2} .$

Duljine stranica pravokutnika iznose $a = 15 \sqrt{2} m$ i $b = 7.5 \sqrt{2} m .$

Opseg pravokutnika zbroj je duljina stranica.

$o = 2 \cdot (a + b)$ $\begin{array}{l} o = 2 \cdot (15 \sqrt{2} + 7.5 \sqrt{2}) \\ o = 2 \sqrt{2 \cdot} (15 + 7.5) \\ o = 2 \sqrt{2} \cdot 22.5 \\ o = 45 \sqrt{2} \end{array}$

Duljina će ograde biti $45 \sqrt{2}$ metara.

Zatvori

...i na kraju

Naučili smo:

djelomično korjenovati

broj koji množi korijen smjestiti pod drugi korijen

postupak koji nam olakšava djelomično korjenovanje s velikim radikandima

primijeniti djelomično korjenovanje za zbrajanje i oduzimanje korijena

primijeniti djelomično korjenovanje za rješavanje problemske situacije.

$2 \sqrt{13}$	$\sqrt{26} \cdot \sqrt{2}$
$6 \sqrt{5}$	$10 \sqrt{3}$
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{30}$	$\sqrt{6} \cdot \sqrt{30}$
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$	$5 \sqrt{3}$

3.4 Djelomično korjenovanje

Na početku...

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Prirodni brojevi koje ne možete djelomično korjenovati

Prirodni brojevi koje možete djelomično korjenovati

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 5.

Do kraja djelomično korjenovan

Nije do kraja djelomično korjenovan

Zadatak 6.

Primjena djelomičnog korjenovanja

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 11.

Zadatak 12.