Matematika 8 - 1.2 Kvadriranje umnoška i količnika

Kvadriranje umnoška – geometrijski pristup

Primjer 2.

Na slici je kvadrat sa stranicom duljine $3 a .$

Podijeljen je na devet sukladnih kvadrata stranice duljine $a .$

Površina kvadrata čija stranica ima duljinu $3 a$ iznosi ${(\begin{array}{l} 3 a \end{array})}^{2}$ pri čemu je $a \in Q^{+} .$

Površina tog kvadrata također je jednaka, kako se vidi na slici, $9 a^{2} .$

Zaključujemo: Kvadrat čija stranica ima duljinu $3 a$ ima devet puta veću površinu od kvadrata čija stranica ima duljinu $a .$

${(\begin{array}{l} 3 a \end{array})}^{2} = 9 a^{2} = 3^{2} \cdot a^{2}$

${(\begin{array}{l} 3 a \end{array})}^{2} = 3^{2} \cdot a^{2}$

Kvadriranje umnoška – algebarski pristup

Primjer 3.

Odredimo čemu je jednak izraz ${(3 a)}^{2}$ pri čemu je $a \in Q .$

Prema definiciji kvadrata racionalnog broja vrijedi:

${(\begin{array}{l} 3 a \end{array})}^{2} = (\begin{array}{l} 3 a \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 3 a \end{array}) = 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a = 3^{2} \cdot a^{2},$

${(\begin{array}{l} 3 a \end{array})}^{2} = 3^{2} \cdot a^{2} .$

Primjer 4.

Odredimo čemu je jednak izraz

$(a \cdot b)^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q$

${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = (\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}) = a \cdot a \cdot b \cdot b = a^{2} \cdot b^{2},$

${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2} .$

Kvadrat umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku kvadrata tih brojeva.

${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q$

Kvadriranje količnika

Primjer 5.

Odredimo čemu je jednak izraz ${(\frac{a}{3})}^{2}$ pri čemu je $a \in Q .$

Prema definiciji kvadrata racionalnog broja vrijedi:

${(\frac{a}{3})}^{2} = \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3} = \frac{a \cdot a}{3 \cdot 3} = \frac{a^{2}}{3^{2}}$

$(\frac{a}{3})^{2} = \frac{a^{2}}{3^{2}}$

Primjer 6.

Odredimo čemu je jednak izraz ${(\frac{a}{b})}^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q, b \neq 0 .$

${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{a^{2}}{b^{2}},$

$(\frac{a}{b})^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$

Kvadrat količnika dvaju brojeva jednak je količniku kvadrata tih brojeva.

${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} = a^{2} \cdot b^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q, b \neq 0$

Ponovimo još jedanput i zapišimo formule za kvadrat umnoška i kvadrat količnika na jednome mjestu. Tim ćemo se formulama koristiti u rješavanju zadataka koji slijede.

${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q$

${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} = a^{2} : b^{2}$ pri čemu je $a, b \in Q, b \neq 0$

Zadatak 1.

Koliko je puta površina najmanjega bijelog kvadrata manja od površine najvećeg kvadrata?

Duljina je stranice najmanjeg kvadrata $\frac{1}{9}$ duljine stranice najvećeg kvadrata.

${(\frac{1}{9})}^{2} = \frac{1^{2}}{9^{2}} = \frac{1}{81}$

Površina je najmanjeg bijelog kvadrata $81$ put manja od površine najvećeg kvadrata

Projekt

Izradimo na papiru sliku koja nastaje iz prethodne slike, a na kojoj je površina najmanjega bijelog kvadrata ${(27)}^{2}$ puta manja od površine vanjskoga plavog kvadrata (bez rupa).

Zanimljivost

Sierpinskijev je tepih fraktal jer nastaje uzastopnim ponavljanjem istih koraka u različitim omjerima.

Više o njemu možete pročitati na poveznici

Kvadriranje na jednostavniji način

Primjer 7.

Primijenimo formulu ${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ ili ${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} = a^{2} : b^{2},$ $a, b \in Q, b \neq 0$ pri rješavanju sljedećih zadataka.

${(\begin{array}{l} 2 \cdot a \end{array})}^{2} = 2^{2} \cdot a^{2} = 4 \cdot a^{2}$

${(\begin{array}{l} - 0.5 \cdot a \end{array})}^{2} = (- 0.5)^{2} \cdot a^{2} = 0.25 \cdot a^{2}$

$(\frac{x}{5})^{2} = \frac{x^{2}}{5^{2}} = \frac{x^{2}}{25}$

$(a : 4)^{2} = a^{2} : 4^{2} = a^{2} : 16$

${(\frac{x \cdot y}{8})}^{2} = \frac{x^{2} \cdot y^{2}}{8^{2}} = \frac{x^{2} \cdot y^{2}}{64}$

${(- \frac{3}{4} k)}^{2} = {(- \frac{3}{4})}^{2} k^{2} = \frac{3^{2}}{4^{2}} k^{2} = \frac{9}{16} k^{2}$

Izraz ${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ možemo pisati i bez znaka množenja.

$(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$

Primijenite formulu ${(\begin{array}{l} a \cdot b \end{array})}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ ili ${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}, a, b \in Q$ pri rješavanju sljedećih zadataka.

Zadatak 9.

Izračunaj.

${(\frac{5}{8})}^{2}$

${(\frac{5}{8})}^{2} =$

$\frac{5^{2}}{8^{2}} =$

$\frac{25}{64}$

Zadatak 10.

Izračunaj.

${(\frac{2x}{7})}^{2}$

${(\frac{2 x}{7})}^{2} =$

$\frac{2^{2} \cdot x^{2}}{7^{2}} =$

$\frac{4 x^{2}}{49}$

Zadatak 11.

Izračunaj.

${(\begin{array}{l} \frac{a \cdot b \cdot c}{15} \end{array})}^{2}$

$\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{225}$

Zadatak 12.

Izračunaj.

${(\begin{array}{l} \frac{15 \cdot x \cdot y}{2 \cdot b} \end{array})}^{2}$

${(\begin{array}{l} \frac{15 \cdot x \cdot y}{2 \cdot b} \end{array})}^{2} =$

$\frac{15^{2} x^{2} y^{2}}{2^{2} b^{2}} =$

$\frac{225 x^{2} y^{2}}{4 b^{2}}$

Zatvori

Zadatak 13.

Izračunaj.

$26 \cdot {(\frac{2 a}{13})}^{2}$

$26 \cdot {(\frac{2 a}{13})}^{2} =$

$26 \cdot \frac{2^{2} a^{2}}{13^{2}} =$

$26 \cdot \frac{4 a^{2}}{13^{2}} =$

$\frac{8 a^{2}}{13}$

Zadatak 14.

Izračunaj.

$\frac{3}{4} : {(\frac{9}{8})}^{2}$

$\frac{3}{4} : (\frac{9}{8})^{2} =$

$\frac{3}{4} : \frac{81}{64} =$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{81} =$

$\frac{16}{27}$

Zadatak 15.

Izračunaj.

$0.25 \cdot {(\frac{12}{5})}^{2} : \frac{12}{55}$

$0.25 \cdot {(\frac{12}{5})}^{2} : \frac{12}{55} =$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{12^{2}}{5^{2}} \cdot \frac{55}{12} =$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{144}{25} \cdot \frac{55}{12} =$

$\frac{33}{5}$

Zadatak 16.

Izračunaj.

$2 \cdot {(\frac{m}{n})}^{2} : (\frac{3 m}{2 n})$

$2 \cdot {(\frac{m}{n})}^{2} : (\frac{3 m}{2 n}) =$

$2 \cdot \frac{m^{2}}{n^{2}} : \frac{3 m}{2 n} =$

$2 \cdot \frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{2 n}{3 m} =$

$\frac{4 m}{3 n}$

Zatvori

Kvadrat i količnik umnoška za brže računanje

U sljedećem će videu biti prikazano kako primijeniti kvadrat umnoška i njegova prijelaza na umnožak kvadrata za brže računanje.

Primjer 8.

Zadatak 17.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika izračunajte kvadrate zadanih racionalnih brojeva.

$36^{2}$

$36^{2} = {(\begin{array}{l} 4 \cdot 9 \end{array})}^{2} = 4^{2} \cdot 9^{2} = 16 \cdot 81 = 1 296$

Zadatak 18.

$150^{2}$

$150^{2} = {(\begin{array}{l} 15 \cdot 10 \end{array})}^{2} = 15^{2} \cdot 10^{2} = 225 \cdot 100 = 22 500$

Zadatak 19.

$1 500^{2}$

$1 500^{2} = {(\begin{array}{l} 15 \cdot 100 \end{array})}^{2} = 15^{2} \cdot 100^{2} = 225 \cdot 10 000 = 2 250 000$

Zadatak 20.

${0.9}^{2}$

${0.9}^{2} = {(\frac{9}{10})}^{2} = \frac{9^{2}}{10^{2}} = \frac{81}{100} = 0.81$

Zatvori

Zadatak 21.

${1.5}^{2}$

${1.5}^{2} = {(\frac{15}{10})}^{2} = \frac{15^{2}}{10^{2}} = \frac{225}{100} = 2.25$

Zadatak 22.

${0.02}^{2}$

${0.02}^{2} = {(\frac{2}{100})}^{2} = \frac{2^{2}}{100^{2}} = \frac{4}{10 000} = 0.0002$

Zadatak 23.

${1.25}^{2}$

${1.25}^{2} = {(\frac{125}{100})}^{2} = \frac{125^{2}}{100^{2}} = \frac{15 625}{10 000} = 1.5625$

Zatvori

Zadatak 24.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika riješite zadatak i označite točan odgovor.

Na slici su dva kvadrata. Desni ima duljinu stranice $a .$ Lijevi ima dvostruko kraću stranicu od desnog. Lijevi u odnosu prema desnom ima:

Dva kvadrata jedan manji ima dvostruko kraću stranicu od većeg s istaknutim duljinama stranica.

četiri puta veću površinu

dva puta veću površinu

četiri puta manju površinu

dva puta manju površinu.

null

Točan je odgovor četiri puta manju površinu.

Za površinu manjeg kvadrata vrijedi: ${(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{4} .$

Površina manjeg kvadrata četiri je puta manja od površine većeg kvadrata.

Zadatak 25.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika riješite zadatak i označite točan odgovor.

Na slici su dva kvadrata. Duljina stranice većeg kvadrata iznosi $a .$ Duljina stranice manjeg kvadrata je $\frac{3}{5}$ duljine stranice većeg kvadrata. Površina je manjeg kvadrata:

Dva kvadrata s istaknutim duljinama stranica. Manji ima duljinu tri petine duljine stranice većeg kvadrata.

\frac{3}{5}

površine lijevog kvadrata

\frac{9}{25}

površine lijevog kvadrata.

null

Točan je odgovor $\frac{9}{25}$ površine većeg kvadrata.

Za površinu manjeg kvadrata vrijedi: ${(\frac{3}{5} a)}^{2} = \frac{9}{25} a^{2} .$

Površina manjeg kvadrata iznosi $\frac{9}{25}$ površine većeg kvadrata.

Zatvori

Zadatak 26.

Dva kvadrata, stranica manjeg kvadrata je 4/7 stranice većeg kvadrata

Na slici su dva kvadrata. Duljina je stranice lijevog kvadrata $a .$

Duljina je stranice desnog kvadrata $\frac{4}{7}$ duljine stranice lijevog kvadrata.

Površina desnog kvadrata iznosi ____ površine lijevog kvadrata.

Za površinu desnog kvadrata vrijedi: ${(\frac{4}{7} a)}^{2} = \frac{16}{49} a^{2} .$

Površina desnog kvadrata iznosi $\frac{16}{49}$ površine lijevog kvadrata.

Zadatak 27.

Na slici je nacrtana skica tlocrta stana.

Ispitajmo postoji li kvadrat čija je površina jednaka površini prikazanog stana.

Kolika je površina toga stana ako je $x = 1.5 m$ duljina istaknute stranice kvadrata?

Na slici izbrojimo kvadrate sa stranicom duljine $a .$

Jediničnih je kvadrata $49 .$

Površina je stana $49 \cdot n^{2} = 7^{2} \cdot n^{2} = {(\begin{array}{l} 7 \cdot n \end{array})}^{2} .$

Budući da smo površinu uspjeli prikazati kao potpuni kvadrat ${(\begin{array}{l} 7 \cdot n \end{array})}^{2},$ možemo zaključiti da postoji kvadrat čija je površina jednaka površini prikazanog stana. Stranica tog kvadrata ima duljinu $7 \cdot n .$

Animacija prikazuje preslagivanje nepravilnog lika površine $49 n^{2}$ u kvadrat.

Preslagivanje dospijeva do punog kvadrata.

To pokazuje da je površina $49 n^{2}$ kvadrat sa stranicom $7 \cdot n .$

Zadatak 28.

Prikaz površine poda u kvadratnoj mreži.

Na slici je nacrtana skica zemljišta.

Ispitajmo postoji li kvadrat iste površine kao prikazano zemljište?

Kolika je površina tog zemljišta ako je $x = 2.9 m$ duljina istaknute stranice kvadrata?

Odredi približnu duljinu stranice kvadrata (ako je duljina stranice prirodni broj) čija je površina $110.25 m^{2} .$

Na zadanoj slici prebrojimo kvadrate sa stranicom duljine $x .$

Malih je kvadrata $67 .$

Površina je zemljišta $67 \cdot x^{2} .$

Ne postoji kvadrat površine jednake površini zadanog zemljište jer $67$ nije kvadrat nijednoga racionalnog broja.

$x = 2.9 m$

$67 \cdot x^{2} = 67 \cdot {2.9}^{2} = 67 \cdot 8.41 = 563.47 m^{2}$

Ako duljina istaknute stranice kvadrata iznosi $x = 2.9 m,$ površina je tog zemljišta $563.47$ kvadratnih metara.

Broj $81$ je kvadrat broja $9 .$

Najbliži broj broju $67,$ a koji je kvadrat nekog prirodnog broja, je broj $64 .$

Broj $64$ kvadrat je broja $8 .$

Približna je duljina stranice kvadrata

$8 \cdot 9 = 72$ metra.

Rješenje zadatka vizualno je prikazano animacijom.

Animacija prikazuje preslagivanje nepravilnog lika površine $67 x^{2}$ u kvadrat.

Preslagivanje ne dospijeva do punog kvadrata.

To pokazuje da površina $67 x^{2}$ nije potpuni kvadrat.

Zatvori

U idućem videu upoznat ćemo praktičnu primjenu prijelaza s umnoška kvadrata na kvadrat umnoška.

Kolekcija zadataka 10

Zadatak 29.

Pojednostavnite primjenom formula za umnožak ili količnik kvadrata.

Spojite odgovarajuće vrijednosti.

${(- \frac{11}{25})}^{2} \cdot 75^{2}$	$9$
${0.0036}^{2} \cdot \frac{100^{2}}{36}$	$1 089$
$(\frac{9}{49})^{2} : \frac{1}{7} : (\frac{- 9}{7})^{2}$	$0.0036$
$8^{2} \cdot {(\begin{array}{l} \frac{- 3}{8} \end{array})}^{2}$	$\frac{1}{7}$

null

Zadatak 30.

Izračunaj i rješenje upiši u prazni kvadratić na desnoj strani jednakosti.

Zatvori

Povezani sadržaji

Gradska je uprava odlučila povećati površinu dječjeg igrališta u obliku kvadrata. Duljina je stranice kvadrata $20$ metara. Povećat će stranicu $1.2$ puta.

Kolika će biti nova površina igrališta?
Koliko se posto povećala duljina stranice kvadrata?
Koliko se posto povećala površina igrališta?Koliko se posto povećala površina igrališta?

Površinu kvadrata sa stranicom duljine $a$ računamo prema formuli $P = a^{2} .$

Izračunajmo kolika će biti površina igrališta s povećanom stranicom.

Duljina uvećane stranice iznosi $20 \cdot 1.2 .$

${(20 \cdot 1.2)}^{2} = {(24)}^{2} = {(2)}^{2} \cdot {(12)}^{2} = 4 \cdot 144 = 576 .$

Površina povećanog igrališta je $576 m^{2} .$

Izračunajmo postotak povećanja duljine stranice igrališta.

$\frac{24 - 20}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 = 20 %$
Povećanje duljine stranice kvadrata iznosi $20 % .$

Izračunajmo postotak povećanja površine igrališta.

$\frac{576 - 400}{400} = \frac{176}{400} = 0.44 = 44 %$
Povećanje površine dječjeg igrališta iznosi $44 % .$

Povezani sadržaji

Pri pranju su se dimenzije stolnjaka kvadratnog oblika smanjile $5 % .$

Duljina stranice stolnjaka prije pranja iznosila je $80 cm .$

Kolika je površina stolnjaka nakon pranja?

Izrazi novu površinu stolnjaka u kvadratnim metrima.

Izračunajmo površinu stolnjaka nakon pranja.

Ako se stranica smanjila $5 %,$ znači da je ostalo $95 %$ duljine.

${(\begin{array}{l} 80 \cdot 0.95 \end{array})}^{2} = 76^{2} = 5 776 {cm}^{2}$

Površina stolnjaka nakon pranja iznosi $5 776 {cm}^{2} .$

$5 776 {cm}^{2} = 5 776 \cdot {(0.01 m)}^{2} = 5 776 \cdot 0.0001 m^{2} = 0.5777 m^{2}$

$(a \cdot \frac{4}{7})^{2}$	$25 a^{2}$
$(5 a)^{2}$	$\frac{16}{49} a^{2}$
$(a b \cdot \frac{5}{4})^{2}$	$\frac{16}{25} b^{2}$
$(5 \cdot \frac{a}{b})^{2}$	$\frac{25}{16} a^{2} b^{2}$
$(\frac{4}{5} b)^{2}$	$25 \frac{a^{2}}{b^{2}}$

Na početku...

Kvadriranje umnoška – geometrijski pristup

Kvadriranje umnoška – algebarski pristup

Kvadriranje količnika

Zadatak 1.

Projekt

Zanimljivost

Kvadriranje na jednostavniji način

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Kvadrat i količnik umnoška za brže računanje

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

Zadatak 24.

Zadatak 25.

Zadatak 26.

Zadatak 27.

Zadatak 28.

Zadatak 29.

Zadatak 30.

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

...i na kraju

1.3 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza