Matematika 8 - 3.2 Zbrajanje i oduzimanje korijena

Zbrajanje korijena

Primjer 1.

Koristeći se u tablici zadanim podatcima, odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

$a$
$b$
$a + b$
$\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ $\sqrt{a + b}$

$0$ $4$

$9$ $16$

$25$ $144$

$0.64$ $2.25$

$\frac{16}{49}$ $0$

$\frac{1}{4}$ $\frac{4}{9}$

Promotrimo posljednja dva stupca. Što možemo opaziti?

$a$	$b$	$a + b$	$\sqrt{a}$	$\sqrt{b}$	$\sqrt{a} + \sqrt{b}$	$\sqrt{a + b}$
$0$	$4$	$4$	$0$	$2$	$2$	$2$
$9$	$16$	$25$	$3$	$4$	$7$	$5$
$25$	$144$	$169$	$5$	$12$	$17$	$13$
$0.64$	$2.25$	$2.89$	$0.8$	$1.5$	$2.3$	$1.7$
$\frac{16}{49}$	$0$	$\frac{16}{49}$	$\frac{4}{7}$	$0$	$\frac{4}{7}$	$\frac{4}{7}$
$\frac{1}{4}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{25}{36}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{7}{6}$	$\frac{5}{6}$

Vrijednosti su u posljednjim dvama stupcima različite, osim kad je jedan od dvaju zadanih brojeva jednak nuli.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$ za $a, b > 0$

Zadatak 1.

Kolika je vrijednost izraza $\sqrt{7} + 2 \sqrt{7} ?$

Zamijetite, $2 \sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{7} .$

Kao što smo u algebarskim izrazima izraze poput $3 \cdot x$ kraće zapisivali $3 x,$ tako izraze s korijenima poput $2 \cdot \sqrt{7}$ možemo kraće zapisati $2 \sqrt{7} .$

$\sqrt{7} + 2 \sqrt{7} = (1 + 2) \sqrt{7} = 3 \sqrt{7}$

Zadatak 2.

Kolika je vrijednost izraza $\sqrt{3} + \sqrt{5} ?$

Zadatak dalje ne možemo pojednostavniti jer $\sqrt{3} + \sqrt{5} \neq \sqrt{8} .$

Približnu vrijednost tog izraza možemo odrediti s pomoću džepnog računala.

$\sqrt{3} + \sqrt{5} \approx 3.97$

Zatvori

Zbrajati smijemo samo korijene jednakih radikanada (potkorijenskih veličina). To radimo tako da zbrojimo brojeve kojima su ti korijeni pomnoženi (njihove koeficijente).

Primjerice, $4 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} .$

Ako radikandi nisu jednaki, tada ih ili ostavljamo u najjednostavnijem obliku koji je moguć ili računamo s njihovim približnim vrijednostima.

Primjerice,

$2 \sqrt{11} + 3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{11} + 2 \sqrt{5} = 8 \sqrt{11} + 5 \sqrt{5}$ ili

$2 \sqrt{11} + 3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{11} + 2 \sqrt{5} \approx 37.7 .$

Zadatak 3.

Vratimo se uvodnom zadatku...

Matej crta planove uređenja travnjaka cvjetnjacima geometrijskih oblika za skoru izložbu cvijeća. Oko svakog cvjetnjaka napravit će geometrijske stazice posipane bijelim šljunkom kao što je prikazano slikom. Svaki će cvjetnjak ograditi niskom ogradom kako bi bolje oblikovao puzavice koje će se širiti na šljunčanu stazu.

Kolika je duljina ograde potrebna za ograđivanje svakog cvjetnjaka? Duljina stranice kvadrata te polumjeri kružnica iskazani su u metrima.
Kolika je najmanja duljina ukupne ograde koju treba kupiti da bi ogradio oba cvjetnjaka?

Rješenja zaokružite na najbliži metar.

Slika prikazuje plan dvaju cvjetnjaka s geometrijskim stazicama.

Dimenzije ograde oko prvog cvjetnjaka jednake su opsegu kvadrata. (Opseg geometrijskog lika jednak je zbroju duljina svih stranica koje ga omeđuju.)

$o = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \approx 6 m$

Za ograđivanje prvog cvjetnjaka potrebno mu je oko $6$ metara ograde.

Dimenzije ograde oko drugog cvjetnjaka jednake su opsegu trokuta.

$\begin{array}{l} o_{1} = (2 \sqrt{5} + 1.5 \sqrt{2}) + (1.5 \sqrt{2} + 3.5 \sqrt{2}) + (3.5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) = (2 + 2) \sqrt{5} + (1.5 + 1.5 + 3.5 + 3.5) \sqrt{2} = 4 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2} \approx 23 m \end{array}$

Za ograđivanje drugog cvjetnjaka potrebna su mu oko $23$ metara ograde.
Ukupna duljina ograde koja mu je potrebna za ograđivanje obaju cvjetnjaka iznosi $4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2} = 14 \sqrt{2} + 4 \sqrt{5} \approx 29 m .$

Napomena

Do rješenja smo mogli doći tako da izračunamo $6 + 23,$ ali s obzirom na to da svako rješenje zaokružujemo, precizniji odgovor dobivamo ako računamo s korijenima te zaokružimo samo konačno rješenje.

Zadatak 4.

Je li $\sqrt{4 \frac{25}{36}} = 2 \frac{5}{6} ?$

Odgovor potražite u videosadržaju.

Je li korijen od

\sqrt{4 \frac{25}{36}}

jednak

2 \frac{5}{6}

Zatvori

Oduzimanje korijena

Primjer 2.

$a$ $b$ $a - b$ $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$ $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ $\sqrt{a - b}$

$225$ $144$

$324$ $0$

$100$ $64$

$0.25$ $0.09$

$\frac{121}{256}$ $0$

$\frac{25}{36}$ $\frac{4}{9}$

Promotrimo posljednja dva stupca. Što možemo zapaziti?

$a$	$b$	$a - b$	$\sqrt{a}$	$\sqrt{b}$	$\sqrt{a} - \sqrt{b}$	$\sqrt{a - b}$
$225$	$144$	$81$	$15$	$12$	$3$	$9$
$324$	$0$	$324$	$18$	$0$	$18$	$18$
$100$	$64$	$36$	$10$	$8$	$2$	$6$
$0.25$	$0.09$	$0.16$	$0.5$	$0.3$	$0.2$	$0.4$
$\frac{121}{256}$	$0$	$\frac{121}{256}$	$\frac{11}{16}$	$0$	$\frac{11}{16}$	$\frac{11}{16}$
$\frac{25}{36}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$

Vrijednosti su u posljednjim dvama stupcima različite, osim kada je jedan od dvaju zadanih brojeva jednak nuli.

$\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a - b}$ za $a, b > 0,$ $a > b$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Kolika je vrijednost izraza $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ?

Točnu vrijednost tog izraza ne možemo odrediti jer $\sqrt{3} - \sqrt{2} \neq \sqrt{1}$ .

Približnu vrijednost tog izraza možemo odrediti s pomoću džepnog računala.

$\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0.32$

Zadatak 6.

Kolika je vrijednost izraza $11 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} ?$

U ovom su slučaju radikandi jednaki, što znači da ih možemo izlučiti.

$11 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} = (11 - 5) \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

Zatvori

Oduzimati smijemo samo korijene jednakih radikanada (potkorijenskih veličina). To radimo tako da oduzmemo brojeve kojima su ti korijeni pomnoženi (njihove koeficijente).

Primjerice, $7 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} = - 4 \sqrt{2} .$

Ako radikandi nisu jednaki, tada ih ili ostavljamo u najjednostavnijem obliku koji je moguć ili računamo s njihovim približnim vrijednostima.

Primjerice, $- 7 \sqrt{5} - 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{5} = - 8 \sqrt{5} - 6 \sqrt{3}$

ili $- 7 \sqrt{5} - 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{5} \approx - 28.3 .$

Slika prikazuje podsjetnik. Broj koji množi korijen naziva se koeficijent, a broj pod korijenom radikand.

Zbrajati i oduzimati možemo samo korijene jednakih radikanada (brojeva pod korijenom).

Korijene jednakih radikanada zbrajamo/oduzimamo tako da im zbrojimo/oduzmemo koeficijente, a zajednički radikand prepišemo.

$a \sqrt{c} + b \sqrt{c} = (a + b) \sqrt{c,}$ pri čemu vrijedi $a, b, c \in Q, c \geq 0 .$

Zbrajanje i oduzimanje korijena

Je li zaokruženi broj koeficijent ili radikand? Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

- 2 \sqrt{3}

3.7 \sqrt{11}

\sqrt{11}

- 5 \sqrt{2}

\sqrt{7 x^{2}}

\frac{1}{2} \sqrt{7}

Koeficijent

Radikand

null

Primjer 3.

Izračunajte.

$5 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

$- 7 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

$7 \sqrt{11} - 5 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17} - 15 \sqrt{11}$

$1.25 \sqrt{5} - 0.4 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5}$

$5 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} = (5 + 6) \sqrt{2} = 11 \sqrt{2}$
$- 7 \sqrt{3} - \sqrt{3} = (- 7 - 1) \sqrt{3} = - 8 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{11} - 5 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17} - 15 \sqrt{11} = (7 - 15) \sqrt{11} + (- 5 + 2) \sqrt{17} = - 8 \sqrt{11} - 3 \sqrt{17}$
$1.25 \sqrt{5} - 0.4 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} = (1.25 - 0.4 - 10) \sqrt{5} = - 9.15 \sqrt{5}$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 7.

Izračunajte.

$2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$
$- 3 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{5}$
$3 \sqrt{11} + 5 - 5 \sqrt{11} - 6 + 2 \sqrt{11}$

$2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} = (2 - 5 + 1 - 6) \sqrt{3} = - 8 \sqrt{3}$
$- 3 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = (- 3 + 7 - 2 - 1) = 1 \sqrt{5} = \sqrt{5}$
$3 \sqrt{11} + 5 - 5 \sqrt{11} - 6 + 2 \sqrt{11} = (3 - 5 + 2) \sqrt{11} - 1 = 0 \sqrt{11} - 1 = - 1$

Zadatak 8.

Zatvori

Zanimljivost

Slika prikazuje tortu za Dan drugog korijena sa znakom drugog korijena.

Dana 4. travnja 2016. obilježen je Dan drugog korijena. U Sjedinjenim Američkim Državama taj se nadnevak zapisuje kao $4 / 4 / 16 .$

Na Dan drugog korijena i dan i mjesec u nadnevku moraju biti drugi korijen broja godina.

Tako su u ovom stoljeću obilježena četiri Dana drugog korijena:

$1 / 1 / 01$

$2 / 2 / 04$

$3 / 3 / 09$ i

$4 / 4 / 16 .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 9.

Kada će biti obilježen sljedeći Dan drugog korijena?

Ispišite na papir sve nadnevke Dana drugog korijena koji će se obilježiti u ovom stoljeću.

Sljedeći Dan drugog korijena bit će obilježen 5. svibnja 2025.

Ostali su nadnevci u ovome stoljeću:

$6 / 6 / 36$

$7 / 7 / 49$

$8 / 8 / 64$

$9 / 9 / 81 .$

Zadatak 10.

Riješite se zagrada i pojednostavnite.

$2 \sqrt{6} + (3 \sqrt{6} - 4 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}$
$\sqrt{8} - (5 \sqrt{11} - \sqrt{8}) - 2 \sqrt{11}$
$7 \sqrt{5} - (3 \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 2 \sqrt{5}))$
$\begin{array}{l} - 2 \sqrt{11} - (4 \sqrt{2} - (- \sqrt{11} - 5 \sqrt{2}) + \sqrt{2}) \end{array}$

$2 \sqrt{6} + (3 \sqrt{6} - 4 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{6} - \sqrt{3}$
$\sqrt{8} - (5 \sqrt{11} - \sqrt{8}) - 2 \sqrt{11} = \sqrt{8} - 5 \sqrt{11} + \sqrt{8} - 2 \sqrt{11} = 2 \sqrt{8} - 7 \sqrt{11}$
$\begin{array}{l} 7 \sqrt{5} - (3 \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 2 \sqrt{5})) = 7 \sqrt{5} - (3 \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}) = 7 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} \end{array}$
$\begin{array}{l} - 2 \sqrt{11} - (4 \sqrt{2} - (- \sqrt{11} - 5 \sqrt{2}) + \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{11} - (4 \sqrt{2} + \sqrt{11} + 5 \sqrt{2} + \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{11} - 4 \sqrt{2} - \sqrt{11} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} = - 3 \sqrt{11} - 10 \sqrt{2} \end{array}$

Povežite zadatak s njemu odgovarajućim rješenjem.

$- 3 \sqrt{a} + 5 \sqrt{a} - \sqrt{a}$	$- \sqrt{a} + 1$
$- (3 - \sqrt{a}) - \sqrt{a} + 2$	$5 - 2 \sqrt{a}$
$2 (\sqrt{a} + 1) - 3 \sqrt{a} - 1$	$\sqrt{a}$
$\sqrt{a} + \sqrt{a}$	$- 1$
$- 2 (\sqrt{a} - 1) + 3$	$2 \sqrt{a}$

null

Zatvori

Primjer 4.

Petra želi izgraditi povišenu gredicu u obliku kvadrata površine $3 m^{2} .$ Koliko joj je metara dasaka za to potrebno?

Površina kvadrata sa stranicom duljine $a$ računa se prema formuli $p = a^{2},$ a duljina njegova opsega prema formuli $o = 4 a .$ Iz površine možemo zaključiti da je $a^{2} = 3$ i $a = \sqrt{3} m .$

Duljina svake stranice gredice iznosi $\sqrt{3} m .$

Ukupni opseg gredice jednak je opsegu kvadrata pa je Petri potrebno $4 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \approx 6.93 \approx 7 m$ dasaka.

Zadatak 11.

Slika prikazuje povišenu gredicu kružnog obilka.

Petrin brat Marko želi izgraditi povišenu gredicu, ali u obliku kruga površine gredice $3.14 m^{2} .$ Kolika je duljina ograde kojom je treba ograditi?

Površina kruga s polumjerom duljine $r$ računa se prema formuli $p = r^{2} π,$ a opseg prema formuli $o = 2 r π .$ Iz površine možemo zaključiti da je $3.14 = r^{2} π$ i $r^{2} = 1,$ tj. $r = 1 m .$

Ukupna duljina ograde kojom će ograditi gredicu jednaka je opsegu kruga pa je Marku potrebno $2 \cdot 1 \cdot π = 2 π \approx 6.28 \approx 6.3 m$ ograde.

Kutak za znatiželjne

Tijelo pada slobodnim padom s visine od $125$ metara. Koliko će mu trebati da padne na tlo ako je formula za slobodan pad $h = \frac{1}{2} g t^{2},$ pri čemu je $h$ visina u metrima, $g$ akceleracija slobodnog pada približne vrijednosti $10 {m/s}^{2},$ a $t$ vrijeme u sekundama?

$125 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^{2}$

$125 = 5 t^{2}$

$25 = t^{2}$

$t = 5 s$

Tijelu će trebati $5$ sekunda da padne na tlo.

Napomena

Iako i $- 5$ zadovoljava kvadratnu jednadžbu $25 = t^{2}$ broj $- 5$ nije rješenje tog problema.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 12.

Izlučite zajednički faktor.

$x \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}$
$5 a \sqrt{3} - b \sqrt{3} - \sqrt{3}$
$y \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + a \sqrt{7}$
$\frac{4}{7} \sqrt{13} + 1.75 \sqrt{15} + 1 \frac{3}{7} \sqrt{13} + 0.25 \sqrt{15}$

$x \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = (x - 3) \sqrt{2}$
$5 a \sqrt{3} - b \sqrt{3} - \sqrt{3} = (5 a - b - 1) \sqrt{3}$
$y \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + a \sqrt{7} = (y - 2 + a) \sqrt{7}$
$\frac{4}{7} \sqrt{13} + 1.75 \sqrt{15} + 1 \frac{3}{7} \sqrt{13} + 0.25 \sqrt{15} = 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{15} = 2 (\sqrt{13} + \sqrt{15})$

Zadatak 13.

Fotografija prikazuje Pitagorina stablo izrađeno na zidu učionice. — Pitagorino stablo

Učiteljice su sa svojim učenicima izrađivale Pitagorino stablo sa slike. Krenule su od raznostraničnoga pravokutnog trokuta s katetama duljine $\sqrt{21} dm$ i $\sqrt{15} dm$ te hipotenuzom duljine $6 dm$ nad kojim su lijepile kvadrate. Imale su komad smeđe samoljepljive tapete pravokutnog oblika širine $150 cm$ i duljine $70 cm$ od kojeg su morale izrezati tri kvadrata, pri čemu se svaki kvadrat morao izrezati iz jednog dijela. Jesu li imale dovoljno velik komad smeđe tapete ili su trebale kupiti još?

Slika prikazuje raspored kvadrata na smeđoj tapeti koji su se rezali za izradu Pitagorina stabla.

Duljine stranica smeđe tapete su $15 dm$ i $7 dm .$ Hipotenuza je pravokutnog trokuta njegova najdulja stranica. S obzirom na to da kvadrat sa stranicom duljine $6 dm$ stane na tapetu, stat će i kvadrati nad katetama. Zato je preostalo provjeriti stanu li sva tri kvadrata duljinom na tapetu duljine $15 dm .$ Ukupna duljina stranica svih triju kvadrata, koju je potrebno izrezati iz smeđe tapete, jednaka je opsegu pravokutnog trokuta nad kojim se kvadrati lijepe.

$o = 6 + \sqrt{21} + \sqrt{15} \approx 14.46 \approx 14.5 dm$

$14.5<16$

Učiteljice su imale dovoljno velik komad smeđe tapete.

Zatvori

$\frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3}$	$\frac{1}{6} \sqrt{3}$
$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{3} \sqrt{3}$	$8 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 2 \sqrt{3})$	$\frac{3}{4} \sqrt{3}$

$2 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - 11 \sqrt{6} + 5 \sqrt{5}$	$- 7 \sqrt{6}$
$5 \sqrt{6} - (- 4 \sqrt{6} + 7 \sqrt{6} - (- 2 \sqrt{6}))$	$- 3 \sqrt{6}$
$- 3 \sqrt{6} - (5 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6}) + \sqrt{6}$	$\sqrt{6}$
$7 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} - (- 2 \sqrt{6})$	$0$

3.2 Zbrajanje i oduzimanje korijena

Na početku...

Zbrajanje korijena

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Oduzimanje korijena

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zbrajanje i oduzimanje korijena

Koeficijent

Radikand

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 12.

Zadatak 13.

...i na kraju

Točno riješeni zadatci

Netočno riješeni zadatci

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

3.3 Množenje i dijeljenje korijena