x
Učitavanje
  1. Matematika 8
  2. 7. Točke, pravci i ravnine u prostoru
  3. 7.5 Udaljenost točke od ravnine

7.5 Udaljenost točke od ravnine

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje ormar postavljen uza zid.

U kutu sobe postavljen je ormar visok 2.3  metra, širok 2.8 m i dubok 65 cm . Od zidova je udaljen 5 cm . U jednom vrhu tog ormara nalazi se pauk. Kolika je najveća moguća udaljenost tog pauka od pojedinog zida, odnosno od poda sobe?

Slika prikazuje pojednostavljen prikaz ormara postavljenog uz zid.

Promotrimo sliku kvadra koji predstavlja ormar postavljen u kutu sobe. Pauk se može nalaziti u bilo kojem od osam vrhova pa se njegove udaljenosti od zidova međusobno razlikuju.

Nalazi li se pauk u vrhu A , B , C ili D , on je od poda udaljen 0 cm . Ako je pauk u vrhu A , D , H ili E , on je od bočnog zida udaljen 5 cm . Ako je pauk u vrhu C , D , H ili G , on je od stražnjeg zida udaljen 5 cm .

Ako je pauk u vrhu E , F , G ili H , on je od poda udaljen 2.3 m = 230 cm . Ako je pauk u vrhu B , C , G ili F , on je od bočnog zida udaljen 2.8 m + 5 cm = 285 cm . Ako je pauk u vrhu A , B , F ili E , on je od stražnjeg zida udaljen 65 cm + 5 cm = 70 cm .

Najveća je moguća udaljenost pauka od poda i obaju zidova u slučaju kad se pauk nalazi u vrhu F . U tom je trenutku od poda udaljen 230 cm , od bočnog zida 230 cm , a od stražnjeg zida 70 cm .

Pod, odnosno zidovi, predstavljaju dijelove ravnine. Određivanjem udaljenosti pauka od poda / bočnog zida / stražnjeg zida, određujemo udaljenost točke od ravnine.

Ortogonalna projekcija točke na pravac i ravninu

Podsjetimo se kako se određuje ortogonalna projekcija točke na pravac i ravninu.

Slika prikazuje ortogonalnu projekciju točke na pravac.

Točkom T prolazi beskonačno mnogo pravaca, no samo je jedan od njih okomit na pravac p . Okomica točkom T na pravac p siječe pravac p u točki N . Točku N zovemo nožište okomice, odnosno ortogonalna projekcija točke T na pravac p i najčešće je označavamo T ' .

Slika prikazuje ortogonalnu projekciju točke na ravninu.

Točkom T prolazi beskonačno mnogo pravaca koji probadaju ravninu R , no samo je jedan od tih pravaca okomit na promatranu ravninu. Pravac T N probada ravninu R u točki N i okomit je na ravninu R . Točku N zovemo ortogonalna projekcija točke T na ravninu R i najčešće je označavamo T ' . U tom slučaju ravninu R nazivamo ravnina ortogonalne projekcije.

Duljina dužine i njezine ortogonalne projekcije

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 4   cm , | B C | = 2.5   cm i | C G | = 6   cm . Točka P   polovište je brida D H ¯ , a točka R  polovište brida B C ¯ . Odredite duljinu ortogonalne projekcije dužine P R ¯ na ravninu A B F .

Slika prikazuje kvadre ABCDEFGH i ortogonalne projekcije zadanih točaka na zadane ravnine.

Ortogonalna je projekcija točke P  na ravninu A B F  točka P '  koja je polovište brida A E ¯ , a ortogonalna je projekcija točke R  na istu ravninu točka B .

Ortogonalna je projekcija dužine P R ¯ na ravninu A B F

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutni trokut A B P ' , dobit ćemo da je P ' R ' 2 = A B 2 + A P ' 2 . Uvrštavanjem zadanih podataka dobivamo da je P ' R ' 2 = 4 2 + 3 2 , odakle je P ' R ' 2 = 25 , tj. P ' R ' = 5 cm .

Zadatak 2.

Neka je točka P  polovište brida F G ¯ , a točka R  polovište brida D H ¯ kocke A B C D E F G H . Ako je duljina brida kocke 4 cm , odredite duljine ortogonalnih projekcija dužine P R ¯ na ravnine:    ​

Slika prikazuje kkocku ABCDEFGH i dužinu PR.

​

a. A B C

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH i dužinu PR te njezinu ortogonalnu projekciju na zadanu ravninu.

a. Ortogonalna je projekcija točke P  na ravninu A B C  točka P '  koja je polovište brida B C ¯ , a ortogonalna je projekcija točke R  na istu ravninu točka D .

Ortogonalna je projekcija dužine P R ¯ na ravninu A B F dužina P ' D ¯ .

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutni trokut C D P ' , dobit ćemo da je P ' R ' 2 = C D 2 + C P ' 2 . Uvrštavanjem zadanih podataka dobivamo da je P ' R ' 2 = 4 2 + 2 2 , odakle je P ' R ' 2 = 20 , tj. P ' R ' ≈ 4.5 cm .

b. B C G .

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH i dužinu PR te njezinu ortogonalnu projekciju na zadanu ravninu.

b. Budući da se točka P  nalazi u ravnini projekcije, ortogonalna je projekcija točke  P  sama točka  P . Ortogonalna je projekcija točke  R  na istu ravninu točka  R '  koja je polovište brida C G ¯ .

Ortogonalna je projekcija dužine P R ¯ na ravninu B C G  dužina P R ' ¯ .

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutni trokut G P R ' , dobit ćemo da je P ' R ' 2 = G P 2 + G R ' 2 . Uvrštavanjem zadanih podataka dobivamo da je P ´ R ´ 2 = 2 2 + 2 2 , odakle je P ´ R ´ 2 = 8 , tj. P ' R ' ≈ 2.8 cm .

Zadatak 3.

  1. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   A B = 9 cm , | B C | = 8 cm  i | C G | = 12 cm . Je li duljina ortogonalne projekcije dužine D F ¯ na ravninu E F G  jednake duljine kao i dužina D F ¯ ?

    Pomoć:

    Ortogonalna je projekcija dužine D F ¯ (prostorne dijagonale) na ravninu E F G  dužina H F ¯ koja je plošna dijagonala tog kvadra.

  2. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 35 mm , | B C | = 2.5 cm  i | C G | = 5 cm . Duljina je ortogonalne projekcije dužine E F ¯ na ravninu A D H   5   cm .

    Pomoć:

    Ortogonalna je projekcija dužine E F ¯ na ravninu A D H   točka E .

  3. Točka P  polovište je brida A E ¯ , a točka R  polovište brida G H ¯ kocke A B C D E F G H . Duljina je brida kocke 10 . Kolika je duljina ortogonalne projekcije dužine P R ¯ na ravninu B C G ?

    Slika prikazuje kocku ABCDEFGH i dužinu PR.

    Pomoć:

    Slika prikazuje ortogonalnu projekciju dužine na stranu kocke.

     ​

    Postupak:

    Slika prikazuje skicu strane kocke.

     ​

  4. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 3 cm , | A D | = 2 cm  i | A E | = 4 cm . Kolika je duljina ortogonalne projekcije dužine C H ¯ na ravninu A B F ?

    Pomoć:

    Zadana je dužina paralelna s ravninom projiciranja pa je njezina ortogonalna projekcija jednake duljine kao i sama dužina.

Zatvori

Udaljenost točke od ravnine

Zanimljivost

Pomoću interakcije na sljedećem linku istražite udaljenost točke od ravnine. Prisjetite se kada je udaljenost točke od ravnine najkraća.

Primjer 1.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H | A B | = 75 mm , | B C | = 4 cm i | C G | = 8 cm . Kolika je udaljenost točke C od ravnine:

  1. E A B
  2. D H E
  3. H E F
  4. A B C ?

Budući da su nasuprotni bridovi kvadra jednakih duljina, zaključujemo da vrijedi:

  1. d C , E A B = d C , C ' = | C B | = 4 cm .
  2. d C , D H E = d C , C ' = | C D | = 7.5 cm .
  3. d C , H E F = d C , C ' = | C G | = 8 cm .
  4. d C , A B C = d C , C ' = d   ( C ,   C ) = 0 .

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H | A B | = 2.5 cm , | B C | = 3 cm i | C G | = 5 cm . Kolika je udaljenost točke D od ravnine:

  1. A B F
  2. C H F
  3. E F G
  4. A B C ?

Pri rješavanju i provjeri svojih rješenja koristite sljedeću interakciju. Odaberite ravninu i upišite rješenje na predviđeno mjesto pa provjerite svoje rješenje.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   A B = 5   cm ,   A D = 2   cm  i  A E = 6.5   cm .  Odredite udaljenost točke E  od ravnine:        

  1. A B F     
  2. C G F     
  3. E F G  
  4. A B C . 
  1. d ( E , A B F ) = d ( E , E ) = 0 cm ; jer točka E  pripada ravnini A B F .
  2. d E , C G F = d E , F = 5 cm ; jer je ortogonalna projekcija točke E  na ravninu B C G  točka F .
  3. d E , E F G = d E , E = 0 cm ; jer točka E  pripada ravnini E F G .
  4. d E , A B C = d E , A = 6.5 cm ; jer je ortogonalna projekcija točke E  na ravninu  A B C  točka A . 

Zadatak 6.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H A B = 4.5 cm , B C = 3.5 cm i C G = 5 cm . Odredite udaljenost točke C

  1. E F G
  2. A D H
  3. A B D
  4. B F E .
  1. d C , E F G = d C , G = 5 cm
  2. d C , A D H = d C , D = 4.5 cm
  3. d C , A B D = d C , C = 0 cm
  4. d C , B F E = d C , B = 3.5 cm

Zadatak 7.

  1. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 3 cm , | B F | = 7 cm  i | F G | = 5 cm . Točka S  je sjecište dijagonala strane A B F E . Kolika je udaljenost točke S  od ravnine A D H ?

    null
    null

  2. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 4 cm , | B F | = 6.5 cm  i | E H | = 5 cm . Točka S  je sjecište dijagonala strane B C G F . Odredite udaljenost točke S  od ravnine C D H ?

    null
    null

  3. Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 5 cm , | B F | = 6 cm  i | F G | = 4 cm . Točka S je sjecište dijagonala strane B C G F . Odredi udaljenost točke S od ravnine A D H ?

    null
    null
Zatvori

Kutak za znatiželjne

Određivali ste ortogonalne projekcije točaka, dužina i pravaca na ravnine kojima pripadaju strane kvadra i kocke, kao i duljine ortogonalnih projekcija dužine na takve ravnine. U sljedećim primjerima i zadatcima „odmaknut“ ćemo se od kvadra i kocke i „pozabaviti“ se općenitijim situacijama.

Primjer 2.

Točka A  je od ravnine R  udaljena 15 cm , a točka B   6 cm . Duljina je ortogonalne projekcije dužine A B ¯ na ravninu  R   5 cm ako su točke  A  i  B :

a. s iste strane ravnine R         

duljina ortogonalne projekcije dužine

Promotrimo ravninu „iz profila“, tj. tako da ravninu predočimo kao pravac. Prvo određujemo ortogonalne projekcije (nožišta okomica) A '  i B '  točaka A  i B  na taj pravac.

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutni trokut A B C , dobit ćemo da je A B 2 = A C 2 + B C 2 , tj. nakon uvrštavanja zadanih podataka A B 2 = 5 2 + 9 2 = 25 + 81 = 106 , odakle je A B = 106 ≈ 10.3 cm .

b. s različitih strana ravnine R ?

duljina ortogonalne projekcije dužine

Promotrimo ravninu „iz profila“, tj. tako da ravninu predočimo kao pravac. Prvo određujemo ortogonalne projekcije (nožišta okomica) A '  i B '  točaka A  i B  na taj pravac.

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutni trokut A B C , dobit ćemo da je A B 2 = A C 2 + B C 2 , tj. nakon uvrštavanja zadanih podataka A B 2 = 5 2 + 21 2 = 25 + 441 = 466 , odakle je A B = 466 ≈ 21.6 cm .

Uočite da se rješenja bitno razlikuju u ovisnosti o tome jesu li obje promatrane točke s iste strane ravnine R  ili su s njezinih različitih strana!

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Točka P  je od ravnine R  udaljena 5 cm , a točka S  je od iste ravnine udaljena 1 cm . Duljina je ortogonalne projekcije dužine P S ¯ na ravninu R   3 cm . Kolika je duljina dužine P S ¯ ako su točke P  i S  s iste strane ravnine R ?

duljina ortogonalne projekcije

Uz oznake kao na slici vrijedi: P S = P C 2 + C S 2 = 16 + 9 = 25 = 5 cm .

Zadatak 9.

Točka P  je od ravnine R  udaljena 5 cm , a točka S  je od iste ravnine udaljena 1 cm . Duljina je ortogonalne projekcije dužine P S ¯ na ravninu R   3 cm . Kolika je duljina dužine P S ¯ ako su točke P  i S  s različitih strana ravnine R ?

ortogonalna projekcija dužine

Uz oznake kao na slici vrijedi P S = P C 2 + C S 2 = 36 + 9 = 45 ≈ 6.7 cm .

Zadatak 10.

Na slici je dužina AB koja s ravninom projekcije pi zatvara kut veličine 30 stupnjeva.
Na slici je dužina AB koja s ravninom projekcije pi zatvara kut veličine 45 stupnjeva.

Točka A pripada ravnini projekcije π . Izračunajte duljinu ortogonalne projekcije dužine A B ¯ na ravninu π ako je zadano:

  1. duljina dužine A B ¯ iznosi 16 cm , a ta dužina s ravninom projekcije π zatvara kut veličine 30 ° .
  2. duljina dužine A B ¯ iznosi 6 cm , a ta dužina s ravninom projekcije π zatvara kut veličine 45 ° .
Na slici je dužina AB koja s ravninom pi zatvara kut od 30 stupnjeva.
Na slici je dužina AB koja s ravninom pi zatvara kut od 45 stupnjeva.

U rješavanju zadatka mogu vam pomoći slike, a detaljna rješenja ovih dvaju zadataka pokazana su u sljedećem video isječku.

Zatvori

Zanimljivost

U svijetu postoje brojne visoke zgrade. Fotografije nekih već ste vidjeli u prošlim jedinicama.

U gradu Zagrebu (i Republici Hrvatskoj) za sada ne postoje zgrade tako velikih visina. Zanimljivo je da najviša zgrada u Hrvatskoj nije ni jedan poslovni toranj sagrađen krajem 20. ili u 21. stoljeću, nego je to - zagrebačka katedrala.

Fotografije najviših nebodera u Zagrebu možete naći na poveznici.

U stvarnosti?

zgrada EuroTowera u Zagrebu

Jedna je od viših zgrada u Republici Hrvatskoj zgrada je EuroTower.

EuroTower je visoka zgrada na križanju Vukovarske i Lučićeve ulice. Izgrađen je 2006. godine, ima 26 katova, a visok je 96 metara. EuroTower je trenutno sjedište zagrebačke burze.


Zadatak 11.

Bankari Jasna i Marko nalaze se u dizalu koje se zaustavilo na devetom katu EuroTowera. Koliko su u tom trenutku udaljeni od prizemlja zgrade, a koliko od posljednjeg kata na kojemu mogu izići iz dizala?

Napomena: Za potrebu zadatka pretpostavljamo da su prizemlje i svih 26 katova jednake visine.

Budući da je visina zgrade 96  metara i da zgrada ima 26  katova, visinu pojedinog kata dobit ćemo tako da 96  (metara) podijelimo na 27  jednakih dijelova. Tako dobivamo da je visina svake etaže približno 96 : 27 = 3.56  metara.

Ako su Jasna i Marko na 9 . katu, to znači da su oni dizalom prošli ukupno 9  etaža i od prizemlja su zgrade udaljeni približno 9 · 3.56 = 32  metra.

Posljednji kat na kojemu mogu izići iz dizala je 26 . , a on je od prizemlja zgrade udaljen 26 · 3.56 = 92.56  metara.

U trenutku kada se Jasna i Marko nalaze na 9 . katu, do posljednjeg kata imaju još 92.56 - 32 = 60.56  metara.

Cibonin toranj u Zagrebu

Cibonin toranj treći je neboder po visini u Republici Hrvatskoj, a visina mu je 92  metra. Iznad zemlje je visoko prizemlje (visine 5  metara) i 25  katova jednakih visina. Na krovu se nalazi radio jarbol čiji je vrh 105 metara iznad zemlje. Dio je kompleksa koji se još sastoji od nižih poslovnih objekata, košarkaške dvorane i umjetničke instalacije.

Zadatak 12.

Zlatko radi u uredu koji je smješten na dvanaestom katu Cibonina tornja. Kolika je njegova udaljenost od prizemlja zgrade? 

Do svog ureda Zlatko mora prijeći visinu visokog prizemlja ( 5  metara) i još 11  etaža jednake visine. Visina svake od preostalih 25  etaža, osim visokog prizemlja, jednaka je 92 - 5 : 25 = 87 : 25 = 3.48 metara.

Dakle, Zlatkova udaljenost od prizemlja zgrade jednaka je 5 + 11 · 3.48 = 43.28  metara.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili kako:

Primijenite naučeno na rješavanje zadataka procjene.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Koji su pravci određeni vrhovima kvadra A B C D E F G H  okomiti na ravninu A B F ?

null
null
2

Pravac A C  određen je vrhovima kocke A B C D E F G H . Je li taj pravac okomit na ravninu B D H ?

null
null
3

Zadan je kvadar A B C D E F G H . Koje ravnine nisu okomite na ravninu A D H ?

kvadar ABCDEFGH i ravnina ADH

null
null
4

Promotrite kvadar A B C D E F G H i ravninu C D H . Dopunite rečenice.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i ravninu CDH.

Ortogonalna je projekcija dužine C E ¯ na ravninu C D H , a ortogonalna je projekcija pravca B C na istu ravninu .

null
null
5
Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 5 cm , | B C | = 3.5 cm i | C G | = 6.5 cm . Duljina ortogonalne projekcije dužine A C ¯ na ravninu A D H iznosi   cm , a duljina ortogonalne projekcije dužine A C ¯ na ravninu A B F iznosi   cm .
null
null
6
Duljine su bridova kvadra A B C D E F G H   | A B | = 4 cm , | B F | = 2 cm i | F G | = 9 cm . Točka S je sjecište dijagonala strane A B F E . Udaljenost točke S od ravnine A D H iznosi   cm , a udaljenost je točke S od ravnine C D H     cm .
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU