Katarina je proučavala rad nizozemskog slikara Mondriana. Za sat matematike izradila je rad sličan Mondrianovu. U svaki je kvadrat upisala njegovu površinu. Odredite duljine stranica svakog kvadrata te na papiru nacrtajte tablicu i rješenja upišite u nju.
POVRŠINA KVADRATA (p=a2) | DULJINA STRANICE KVADRATA (a) |
---|---|
1 | |
4 | |
9 | |
16 | |
25 | |
36 | |
49 | |
64 | |
81 | |
100 | |
121 | |
144 |
Pri rješavanju zadatka možete se poslužiti sljedećom interakcijom. Pomicanjem točke ispod slova mijenja se duljina stranice a prikazanog kvadrata i ispisuje odgovarajuća površina.
POVRŠINA KVADRATA (p=a2) | DULJINA STRANICE KVADRATA (a) |
---|---|
1 | 1 |
4 | 2 |
9 | 3 |
16 | 4 |
25 | 5 |
36 | 6 |
49 | 7 |
64 | 8 |
81 | 9 |
100 | 10 |
121 | 11 |
144 | 12 |
Promotrite prvi crveni kvadrat. Njegova površina iznosi 144. Postoji li još koji broj, osim broja 12, koji pomnožen sa samim sobom daje 144? Ako postoji, može li taj broj biti jedno od rješenja? Objasnite.
Broj
-12 pomnožen
sa samim sobom daje
144. No broj
-12 ne može biti rješenje zadatka jer duljina stranice kvadrata ne može biti negativni broj.
Pogledajte animaciju te odredite pravilo pridruživanja.
Robot za izlaznu vrijednost daje broj koji pomnožen sa samim sobom (kvadriran) daje vrijednost jednaku ulaznoj. Možemo reći da robot obavlja računsku radnju suprotnu kvadriranju. Ta se računska radnja naziva korjenovanje.
Izračunati (drugi) korijen nenegativnog racionalnog broja a znači odrediti nenegativni racionalni broj b ( b≥0) koji kvadriran daje zadani broj. Simbol je drugog korijena √.
Ako je
b2=a,
onda je
b=√a.
Drugi ili kvadratni korijen nenegativnoga racionalnog broja
a
,
a≥0 je nenegativan racionalan broj
b, (
b≥0) koji pomnožen samim sobom daje broj
a
.
Zapisujemo √a=b.
√36 čitamo kao korijen od
36.
Uočimo. Budući da je
52=25, tada je
√25=5.
Na taj način je √9=3, √449=27, √0.36=0.6, -√49=-7, -√1.21=-1.1 itd.
Broj
b naziva se radikand ili potkorijenska veličina, a broj
a vrijednost drugog korijena.
Primjer 1.
Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.
- 121
- 4981
- 375
- 214
Primjer 2.
Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.
- 0.04
- 0.36
- 0
- -16
Drugi je korijen pozitivnoga racionalnog broja pozitivni racionalni broj.
Drugi korijen broja 0 je 0.
Drugi korijen negativnoga racionalnog broja ne postoji jer ne postoji broj koji nakon množenja sa samim sobom ima negativni predznak.
Izračunajte.
Uočite da vrijedi
-√361=-1·√361=-1·19=-19 te
-√545=-√19=-1·√19=-1·13=-13.
Dane brojeve postavite na odgovarajuće mjesto na satu.
Provjerite svoju vještinu određivanja drugog korijena kvadrata brojeva do
20 napamet.
Primjer 3.
Odredite vrijednost drugog korijena sljedećih brojeva.
- 19600
- 6250000
- 9000000
Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani broj. Uočavate li pravilnost u broju nula promatranih brojeva i izračunanih korijena tih brojeva?
Broj nula zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja nula njegova korijena. Broj se nula korjenovanjem prepolovio.
Primjer 4.
Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.
- 0.09
- 0.0144
- 0.000324
- 1.44
Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani decimalni broj. Kakav je odnos broja decimala zadanog kvadrata i broja decimala njegova korijena?
Broj decimala zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja decimala njegova korijena. Broj decimala prepolovio se korjenovanjem.
Dovucite korjen na odgovarajuće mjesto tako da odgovara njegovom rješenju.
√1.69
|
1.3 |
√2500
|
1.8 |
√400
|
50 |
√3.24
|
20 |
√0.0036
|
0.06 |
Primjer 5.
Odredite vrijednosti drugog korijena.
- √108
- √64x2
- √0.01a2
Primjer 6.
Površina neke livade u obliku kvadrata iznosi 243.36m2. Kolika je duljina stranice te livade?
Kako bismo riješili zadatak, moramo odrediti korijen broja
243.36. Kvadrat broja
15 iznosi
225, a kvadrat broja
16 iznosi
256. Iz toga možemo zaključiti da je korijen broja
243.36 veći od
15, ali manji od
16. Uzmimo neki broj između
15 i
16, npr. broj
15.5. Kvadrat broja
15.5 iznosi
240.25 zato je korijen broja
243.36 nešto veći od
15.5. Probajmo s
15.6. Kvadrat broja
15.6 iznosi
243.36. Dakle, duljina stranice te livade iznosi
15.6 metara.
Primjer 7.
Površina neke parcele zemlje u obliku kvadrata iznosi 150m2. Kolika je duljina stranice te parcele zemlje?
Kvadrat broja
12 iznosi
144, a kvadrat broja
13 iznosi
169. Iz toga možemo zaključiti da će korijen broja
150 biti između tih dvaju prirodnih brojeva.
S obzirom na to da je broj
150 bliži broju
144 nego broju
169, probajmo s npr.
12.3. Kvadrat broja
12.3 iznosi
151.29 što znači da moramo smanjiti našu procjenu.
Ovog puta možemo probati kvadrirati broj
12.2. Kvadrat broja
12.2 iznosi
148.84. Dakle, korijen broja
150 veći je od
12.2, a manji od
12.3.
Mogli bismo nastaviti našu metodu pokušaja i pogrešaka, no ubrzo bismo shvatili da ne možemo pronaći broj koji kvadriran daje 150.
U ovom slučaju odredit ćemo približno rješenje, a zbog jednostavnosti i bolje učinkovitosti upotrijebit ćemo džepno računalo.
√150≈12.2474471...≈12.2m
Duljina stranice te parcele zemlje iznosi približno
12.2 metara.
Na džepnim računalima se drugi korijen unosi s pomoću tipke
√.
Ako se znak drugog korijena ne nalazi na tipki, obično se nalazi iznad nje. U tom je slučaju potrebno aktivirati jednu od kombinacija:
2nd ili
shift
√.
S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost.
Rezultat zaokružite na dvije decimale.
Već su stari Babilonci poznavali drugi korijen, što se može vidjeti na primjeru glinene pločice na kojoj je vidljiv približni račun √2.
Babilonci su računali u šezdesetinskom sustavu te su za vrijednost broja
√2 dobili
1+2460+5160·60+1060·60·60=1+25+513600+1021600≈1.4142129...
Stari Indijci su za riječ kvadratni korijen upotrebljavali riječ mula, što znači korijen stabla, osnova, strana. Arapi su tu indijsku riječ preveli u džizr, što znači korijen stabla, a europski srednjovjekovni matematičari taj su arapski naziv preveli na latinski radix, što znači korijen.
Iz povijesnih razloga broj pod korijenom nazivamo radikand, a korjenovanje radiciranje.
Poseban znak za drugi korijen upotrebljavao se već u starom Egiptu. Oznaka za kvadratni korijen koja se danas rabi vjerojatno je nastala iz zapisa slova r (radix), koju je uveo Christoff Rudolff (1499. ‒ 1545.).
Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?
Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku
Umjesto trokuta potrebno je upisati znamenku
a umjesto kvadrata znamenku
Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?
Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku
Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku
a umjesto trokuta znamenku
Procijenite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi:
Upišite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi zadana vrijednost korijena.
Procijenite cjelobrojni dio vrijednosti drugog korijena.
Koje se sve znamenke mogu napisati na crticu da vrijedi nejednakost?
Poredajte prema veličini, od najmanjega do najvećeg broja.
Pomoć:
Što je veći broj pod korijenom to je i vrijednost korijena veća.
Istaknutim točkama na brojevnom pravcu pridružite odgovarajuće brojeve.
Napomena
Dva su broja višak.
S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost izraza pa pridružite tu vrijednost odgovarajućoj točki na brojevnom pravcu.
Površina kruga iznosi Odredite njegov polumjer.
pri čemu je duljina polumjera kruga. Zato je iz čega slijedi da je tj. da je duljina polumjera
Odredite opseg kruga ako mu je površina .
Iz formule za površinu kruga, pri čemu je r duljina polumjera kruga , možemo odrediti da je duljina polumjera
pri čemu je
duljina polumjera kruga, zato je opseg kruga
Naučili ste:
Možete riješiti još nekoliko zadataka za vježbu i samoprocjenu te pogledati kako se napamet korjenuju kvadrati prirodnih brojeva manjih od
Prva četiri zadatka iz procjene svakako riješite bez džepnog računala.
Ne zaboravite, prva četiri zadatka iz procjene svakako riješite bez džepnog računala.
Ako želite naučiti više, istražite što je kubni korijen i kako se određuje.
Povežite drugi korijen i njegovu vrijednost.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vrijednost
je
Vrijednost
zaokružena na dvije decimale iznosi
Vrijednost zaokružena na dvije decimale iznosi
Koristeći se džepnim računalom, izračunajte te odaberite slovo uz točan odgovor.