2.1 Potencije s prirodnim eksponentom

Potencija prirodne baze i prirodnog eksponenta

Primjer 1.

Brojeve $4,8,16,32,64$ možemo skraćeno zapisati i čitati:

$2·2=\mathbf{4}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}},$ čitajmo "dva na drugu"

$2·2·2=\mathbf{8}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}},$ čitajmo "dva na treću"

$2·2·2·2=\mathbf{16}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{4}},$ čitajmo "dva na četvrtu"

$2·2·2·2·2=\mathbf{32}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{5}},$ čitajmo "dva na petu"

$2·2·2·2·2·2=\mathbf{64}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{6}},$ čitajmo "dva na šestu".

U izrazu​ $m^n,m,n\in \mathbb{N}$ broj $m$ množimo sa samim sobom $n$ puta.

Zadatak 3.

Uparite potenciju s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom s njezinim značenjem kao umnoškom jednakih faktora i iznosom.

$3^3$	$4·4·4=64$
$4^3$	$4·4=16$
$2^7$	$2·2·2·2·2·2·2=128$
$4^2$	$7·7=49$
$7^2$	$3·3·3=27$
$3^4$	$3·3·3·3=81$

null

null

Proučimo kako se mijenja vrijednost potencije kada je:

• prirodni eksponent stalan, a prirodna baza promjenjiva. ​
• prirodni eksponent promjenjiv, a prirodna baza stalna.
  

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Usporedite potencije s jednakim eksponentima.

Poredajte, od najmanje do najveće, potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

• $4^{12}$
• $3^{12}$
• $8^{12}$
• ${30}^{12}$
• $2^{12}$
• ${11}^{12}$
• $6^{12}$
• $5^{12}$
• ${20}^{12}$
• ${10}^{12}$

Pomoć:

Od dvije potencije istog prirodnog eksponenta manja je ona koja ima manju prirodnu bazu.

null

Zadatak 5.

Usporedite potencije s jednakim bazama.

Poredajte od najmanje do najveće potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

• ${10}^{12}$  ​
• ${10}^1$  ​
• ${10}^6$  ​
• ${10}^3$  ​
• ${10}^9$  ​

Pomoć:

Od dvije potencije jednakih prirodnih baza manja je ona koja ima manji prirodni eksponent.

null

Zatvori

Zapis, značenje i vrijednost potencije prirodne baze i eksponenta - vježba

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte značenje zapisa potencijom s prirodnim eksponentom.

Zadatak 7.

U sljedećoj aktivnosti ispravno uparite potenciju i njezinu vrijednost.

Zadatak 8.

Izračunajte naizmjenično eksponent, bazu i vrijednost potencije tako da jednakost bude valjana.

Zatvori

Primjer 2.

Prikažimo broj $2$  kao potenciju. ​

Potencija mora imati bazu i eksponent.

$2=2^1$ 

Primjena potencije za rješavanje problema

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Na stolu je deset kutija. U svakoj je kutiji deset manjih kutijica. U svakoj se manjoj kutijici nalazi $10$ lipa. Koliko je kuna u tih $10$ kutija?

Rješenje

U deset je kutija na stolu $10·10·10={10}^3=1000$  lipa, što iznosi  $10$ kuna.

---

Zadatak 10.

Marija je u školi učila o potencijama s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom. Htjela se uvjeriti koliko brzo raste iznos novca koji će štedjeti prema potenciji s bazom $3.$ Na ormarić je stavila šest kutijica.

Prvog je dana u prvu kutiju stavila $1\mathrm{kn}.$

Drugog je dana u drugu kutiju stavila trostruko više novca.

Zatim je svaki dan, sljedeća četiri dana, u jednu od kutija stavila trostruko više novca nego prethodnog dana.

Koliko je novca Marija stavila šesti dan u šestu kutiju?

Rješenje

Šesti dan u šestoj kutiji bilo je $3^5=243$ kune.

---

Koliko bi kuna bilo deseti dan u desetoj kutijici?

Rješenje

Uočili smo pravilnost u kojoj je iznos kuna jednak vrijednosti potencije s bazom $3,$ a u eksponentu je broj za jedan manji od broja dana pa je tako šesti dan iznos bio ​ $3^5=243$ kune.

Deseti bi dan štednje u desetoj kutijici bilo $3^9=19683$ kuna.

---

Zadatak 11.

Zamislite štedjeti na sljedeći način:

Prvi dan odvojite pet kuna, drugi dan $5$ puta više i svaki sljedeći dan pet puta više nego prethodni.

Koliko biste novca uštedjeli samo peti dan?

Rješenje

Samo biste peti dan uštedjeli

$5{}^5=5·5·5·5·5=3125$ kuna.

---

Zatvori

U sljedećem će videu biti pokazano kako koristiti džepno računalo za izračunavanje potencije s prirodnom bazom i eksponentom.

Bit će pokazana tri načina:

• prema definiciji potencije s prirodnom bazom i eksponentom ​
• koristeći tipku potenciranja $x^y$ 
• koristeći tipku potenciranja ​ $x^y.$

Koristeći džepno računalo, potenciju možemo računati na tri različita načina.  

Zadatak 12.

Koristeći džepno računalo, provjerite vrijednost potencije.

U sljedećem će videu biti pokazano kako prirodni broj prikazati potencijom.

Primjer 3.

Potenciranje je računska operacija trećeg stupnja i ima prednost nad množenjem i dijeljenjem te zbrajanjem i oduzimanjem.

Zadatak 13.

Dovucite zadani rastav na proste faktore pripadnom prirodnom broju.

Uparivanje odgovora.

$5^3·2^3$	$1000$
$3^3·2^4$	$72$
$7^2·2^7$	$432$
$2^3·3^2$	$6272$ ​

null

null

Potenciranje cjelobrojne negativne baze

Primjer 4.

Proučimo najprije potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentom.

$(-2{)}^3=(-2)·(-2)·(-2)=-8=-2^3$ 

$(-2{)}^3=-2^3$

${\left(-5\right)}^5=\left(-5\right)·\left(-5\right)·\left(-5\right)·\left(-5\right)·\left(-5\right)=-3125=-5^5$ 

$(-5{)}^5=-5^5$

Primjer 5.

Proučimo sada potencije s negativnom bazom i parnim eksponentom.

​ ${\left(-2\right)}^4=\left(-2\right)·\left(-2\right)·\left(-2\right)·\left(-2\right)=16=2^4$

$(-2{)}^4=2^4$

${\left(-5\right)}^4=\left(-5\right)·\left(-5\right)·\left(-5\right)·\left(-5\right)=625=5^4$

$(-5{)}^4=5^4$ 

Zadatak 14.

U sljedećem nizu zadataka izračunajte potenciju s negativnom bazom.

Potenciranje racionalnog broja zapisanog razlomkom

Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida $\frac{3}{4}\mathrm{m}.$

Obujam kocke računamo tako da pomnožimo duljinu, širinu i visinu kocke. 

Uspoređivanje potencija pozitivnih baza manjih od jedan

Primjer 6.

Poredajmo, od najveće prema najmanjoj, vrijednosti zadanih potencija. Uočimo da imaju jednake pozitivne baze manje od jednog cijelog:

${0.1}^2=0.01$

${0.1}^3=0.001$

${0.1}^4=0.0001$

${0.1}^5=0.00001$

Primijetimo, što je eksponent veći, to je manja vrijednost potencije.

Zadatak 17.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

• ${0.5}^2$
• ${0.5}^{15}$  ​
• ${0.5}^{10}$  ​
• ${0.5}^5$  ​
• ${0.5}^3$ 

Pomoć:

Za potencije baze između $0$ i $1$ vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Razlomci između nula i jedan imaju brojnik manji od nazivnika.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

• $(\frac{2}{3}{)}^3$  ​
• $(\frac{2}{3}{)}^5$
• $(\frac{2}{3}{)}^2$
• $(\frac{2}{3}{)}^4$

Pomoć:

Za potencije baze između $0$ i $1$ vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Zadatak 19.

Zadana je kocka duljine brida $0.56\mathrm{m}.$ ​

Koliki je obujam te kocke u metrima kubičnim?

Rješenje

$0.56·0.56·0.56={0.56}^3=0.175616{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ 

Obujam kocke brida duljine $0.56$  metara iznosi $0.175616{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ ​.

---

Zadatak 20.

U zadatku koji slijedi, okušajte se u računanju s potencijama.

Poštujte redoslijed računskih radnji: prvo potenciranje, a onda množenje ili dijeljenje.

Možete se poslužiti i džepnim računalom.

Ako točno riješite zadatak, čeka vas iznenađenje!

Zatvori

U animaciji ćete naučiti kako utvrditi je li neki prirodni broj potencija prirodnog broja korištenjem rastava broja na faktore.

Primjer 7.

​

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 21.

Koristeći rastav na proste faktore, odgovorite na pitanja u zadatku.

1. Je li $625$ potencija broja $5?$
   

   Da

   $625=5·5·5·5=5^4$  ​

   Ne

   $625=5·5·5·5=5^4$  ​

   

   null

   null

2. Je li $486$ potencija broja $3?$
   

   Da

   $486=3·3·3·3·3·2=3^5·2$  ​

   Ne

   $486=3·3·3·3·3·2=3^5·2$  ​

   

   null

   null

3. Je li $200$ potencija broja $2?$
   

   Da

   $200=2·2·2·2·5·5·5=2·10·10·10=2·{10}^3$ ​

   Ne

   $200=2·2·2·2·5·5·5=2·10·10·10=2·{10}^3$

   

   null

   null

4. Je li $900$ potencija broja $3?$
   

   Da

   $900=3·3·2·2·5·5={30}^2$  ​

   Ne

   $900=3·3·2·2·5·5={30}^2$  ​

   

   null

   null

Zadatak 22.

Dva su brata sakupljala kovanice.

Jedan je imao pet kutija. U svakoj je kutiji bilo pet manjih kutijica, a u svakoj toj kutijici kovanica od $5$ kuna.

Drugi je imao tri kutije, u svakoj tri manje kutije, u svakoj još tri manje kutije, u svakoj još tri još manje kutije s po tri kune.

Koji je brat sakupio više novca?

Rješenje

Prvi je brat sakupio $5^3=125$ kune.

Drugi je brat sakupio $3^5=243$ kune.

Više je sakupio drugi brat koji je sakupljao po tri kune.

---

Zadatak 23.

Na prvoj je slici Sierpinskijev sag.

Proces njegova nastajanja prikazan je na drugoj slici.

• U prvom je koraku $1$ zeleni kvadrat.
• U drugom je koraku $8$ zelenih kvadrata.​
• U trećem su koraku $64$ zelena kvadrata.
• U četvrtom je koraku $512$ zelenih kvadrata.

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

Rješenje

Primjećujemo da je ukupan broj kvadrata u svakom sljedećem koraku $8$ puta veći od njihova broja u prethodnom koraku.​

• U drugom je koraku  $\left(2\right)8$ zelenih kvadrata, $8=8^1.$ ​
• U trećem su koraku  $\left(3\right)64$ zelena kvadrata, $64=8^2.$ ​
• U četvrtom je koraku  $\left(4\right)512$ zelenih kvadrata, $512=8^3.$

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

• U petom je koraku  $\left(5\right)$ $8^4=4096$ zelenih kvadrata. ​

---

Zatvori

Primjena potencije u preračunavanju mjernih jedinica

Primjer 8.

Preračunajmo mjerne jedinice za duljinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}=\left(10·10·10\right)\mathrm{m}={10}^3\mathrm{m}$

$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}={10}^5\mathrm{cm}$

Primjer 9.

Preračunajmo mjerne jedinice za površinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

$\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{100}\mathrm{·}\mathrm{100}\mathrm{)}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{10}\mathrm{000}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

$\mathrm{1}{\mathrm{km}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{000}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Primjer 10.

Preračunajmo mjerne jedinice za obujam. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

$\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{10}\mathrm{·}\mathrm{10}\mathrm{·}\mathrm{10}\mathrm{)}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{000}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

$\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{)}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{9}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}$

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 24.

Preračunajte i zapišite koristeći potenciju s bazom $10.$

Dovucite odgovarajuće izraze na njihove jednakosti.

 Uparite:

$1\mathrm{m}$	${10}^3\mathrm{m}$  ​
$1\mathrm{km}$	${10}^2\mathrm{mm}$
$1\mathrm{dm}$ ​	${10}^3\mathrm{mm}$
$1\mathrm{cm}$	${10}^1\mathrm{mm}$

null

null

Zadatak 25.

Odredite je li zadana jednakost točna.

1. $\mathrm{1}{\mathrm{km}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ 

   Da

   $\mathrm{1}{\mathrm{km}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

   Ne

   $\mathrm{1}{\mathrm{km}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

   

   null

   null
2. ​ $\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}$ 

   Da

   Ne

   $\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}$

   

   null

   null

3. $\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{2}}$ 

   Da

   $\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{2}}$

   Ne

   $\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{2}}$

   

   null

   null

4. $\mathrm{1}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{2}}$

   Da

   Ne

   $\mathrm{1}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{2}}$ 
   

   

   null

   null

5. ${10}^9{\mathrm{m}}^3=$ 
   

   $1{\mathrm{km}}^{\mathrm{3}}$ 

   $\mathrm{10}{\mathrm{km}}^{\mathrm{3}}$ 

     $1{\mathrm{km}}^{\mathrm{3}}$ 

   

   null

   null

6. ​ ${10}^6{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}=$   
   

   $100{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ 

     $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$  ​

   $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$  ​

   

   null

   null

7. ​ ${10}^3{\mathrm{dm}}^3=$  
   

   ${10}^2{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ 

   $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$  ​  

   $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$  ​

   

   null

   null

8. $1{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}=$   
   

   ${10}^3{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ 

   ${10}^2{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ 

   ${10}^3{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ 
    

   

   null

   null

Zadatak 26.

Koliko litara vode stane u plastičnu posudu oblika kocke čija je duljina brida $0.75\mathrm{m}?$​

Rješenje

1. Prvi način:
   

   Izračunajmo obujam te kocke u kubičnim metrima.
   Obujam kocke jednak je umnošku duljina njezinih bridova.

   Kako su svi bridovi kocke duljine $a,$ obujam kocke računamo

   $V=a·a·a=a^3.$
   

   $V={0.75}^3=0.421875{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
   

   Preračunajmo kubične metre u kubične decimetre.

   $\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{l}$
   

   $\mathrm{0.421875}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{421.875}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{421.875}\mathrm{l}$ 
   

   U tu posudu stane $421.875$ litara vode.​

2. Drugi način:
   

   Preračunajmo duljinu stranice u decimetre jer je $\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{l}.$

   $\mathrm{0.75}\mathrm{m\; =}\mathrm{7.5}\mathrm{dm}$
   

   Izračunajmo obujam u kubičnim decimetrima.

   $V={7.5}^3=421.875{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

   U tu posudu stane $421.875$ litara vode. ​

---

Zatvori