Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Spirala drugog korijena

Spirala drugog korijena ili Teodorova spirala je spirala koja se sastoji od niza pravokutnih trokuta čije su duljine hipotenuza drugi korijeni prirodnih brojeva.

Zanimljivost

Više o Teodoru iz Cirene možete pročitati na poveznici.

Zadatak 3.

Slika prikazuje dio spirale drugog korijena (od korijena iz 2 do korijena iz 9)

Kolika je duljina dužine ${\bar{A B}}_{9} ?$

$|A B_{9}| = \sqrt{10}$

Praktična vježba

Slika prikazuje dio spirale drugog korijena (od korijena iz 2 do korijena iz 17)

Konstruirajte u bilježnicu spiralu drugog korijena do dužine duljine $\sqrt{17}$ i uklopite je u crtež.

Postupak:

Konstruirajte jednakokračni pravokutni trokut s katetama duljine $1$ jedinice.
Odredite duljinu hipotenuze konstruiranog trokuta i zapišite ju uz hipotenuzu.
Koristeći se hipotenuzom pravokutnog trokuta iz prethodnog koraka kao jednom katetom, konstruirajte pravokutni trokut kojemu je druga kateta duljine jedne jedinice.
Ponavljajte korake 2. i 3. željeni broj puta.

Ako je potrebno, možete pogledati animaciju koja se nalazi u jedinici 5.2., a koja će vam dodatno objasniti konstrukciju spirale drugog korijena.

Na slikama su učenički crteži inspirirani spiralom drugog korijena.

Euklidov poučak konstrukcije drugog korijena

Koristeći se spiralom drugog korijena, moguće je konstruirati dužinu čija je duljina drugi korijen „bilo kojeg” prirodnog broja. No katkad to jako dugo traje. To ste vidjeli konstruirajući dužinu duljine $\sqrt{17} .$

Umjesto toga moguć je kraći postupak, ali prije toga...

Zadatak 4.

Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB.

Promotrite sliku i objasnite tvrdnje:

Pravokutni trokuti $A B C$ i $A C D$ međusobno su slični.
Pravokutni trokuti $A B C$ i $C B D$ međusobno su slični.
Pravokutni trokuti $A C D$ i $C B D$ međusobno su slični.

Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB i slični trokuti ABC i ACD

a. Trokuti $A B C$ i $A C D$ slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju zajednički kut u vrhu $A$ .

Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB i slični trokuti ABC i CBD

b. Trokuti $A B C$ i $C B D$ slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju zajednički kut u vrhu $B$ .

Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB i slični trokuti ACD i CBD

c. Trokuti $A C D$ i $C B D$ slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju šiljaste kutove veličine $α$ i $β$ jer su $∠ C A B$ i $∠ B C D$ kutovi s okomitim kracima.

Zanimljivost

Iz dokazane sličnosti trokuta $A B C$ i $A C D$ vrijedi $|A B| : |A C| = |A C| : |A D|,$ tj. uz oznake kao na slici je $b^{2} = c q .$

Iz dokazane sličnosti trokuta $A B C$ i $C B D$ vrijedi $|A B| : |C B| = |B C| : |B D|,$ tj. uz oznake kao na slici je $a^{2} = c p .$

Zbrojimo li te dvije jednakosti, dobit ćemo da je $a^{2} + b^{2} = c p + c q = c (p + q) = c \cdot c = c^{2} .$ To je dobro poznata simbolima zapisana tvrdnja Pitagorina poučka za pravokutni trokut $A B C$ s pravim kutom u vrhu $C .$

Zadatak 5.

Izrazite duljinu dužine $\bar{C D}$ $(|C D| = v)$ koristeći se duljinama dužina $\bar{A D}$ i $\bar{B D}$ $(|A D| = q, |B D| = p) .$

Iz dokazane sličnosti trokuta $A C D$ i $C B D$ vrijedi $|A D| : |C D| = |C D| : |B D|,$ tj. uz oznake kao na slici vrijedi $v^{2} = p q .$

Neka je točka $D$ nožište visine na hipotenuzu $\bar{C D}$ pravokutnog trokuta $A B C$ .

Kvadrat duljine visine $\bar{C D}$ na hipotenuzu jednak je umnošku duljina dobivenih dijelova hipotenuze, $\bar{A D}$ i $\bar{D B} .$ Uz oznake kao na slici vrijedi $v^{2} = p q,$ odnosno $v = \sqrt{p q} .$
Ta je tvrdnja u matematici poznata i kao Euklidov poučak.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Na slici je istaknut pravokutni trokut ABC s hipotenuzom AB i visnom CD. Prikazana je primjena Euklidova poučka u konstrukcija korijena iz 6

Nacrtana je dužina $\bar{A B}$ duljine $5 cm$ i kružnica $C$ kojoj je ta dužina promjer.

Na dužini $\bar{A B}$ označena je točka $D$ tako da je $|A D| = 3 cm .$ (Kolika je duljina dužine $\bar{D B} ?$ ) U točki $D$ konstruirana je okomica na dužinu $\bar{A B} .$ Ta okomica siječe kružnicu $k$ u točkama $C$ i $E .$

Objasnite tvrdnju: trokuti $A B C$ i $A B E$ su pravokutni.
Koristeći se Euklidovim poučkom, izračunajte $|C D| .$

Pravokutnost trokuta $A B C$ i $A B E$ slijedi iz Talesova poučka da je svaki obodni kut nad promjerom kružnice pravi kut.
Primijenimo li Euklidov poučak (što smijemo jer je dužina $\bar{C D}$ visina pravokutnog trokuta $A B C$ ), dobit ćemo: $v = \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6} cm .$

Zadatak 7.

Na slici je pravokutni trokut s visinom na hipotenuzu kao pomoć pri konstrukciji dužina zadanih duljina primjenom Euklidova poučka

Neka uz oznake, kao na slici, vrijedi:

$p = 6 cm$ i $q = 1 cm$
$p = 3 cm$ i $q = 2 cm$
$p = 1 cm$ i $q = 5 cm .$

Izračunajte duljinu dužine $\bar{C D} .$ Konstruirajte u bilježnicu odgovarajuću sliku. Kolika je duljina hipotenuze $\bar{A B} ?$

$|C D| = \sqrt{6 \cdot 1} = \sqrt{6} cm,$ $|A B| = 6 + 1 = 7 cm$
$|C D| = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6} cm,$ $|A B| = 3 + 2 = 5 cm$
$|C D| = \sqrt{1 \cdot 5} = \sqrt{5} cm,$ $|A B| = 1 + 5 = 6 cm$

Zatvori

Konstrukciju broja s pomoću Euklidova poučka pogledajte u sljedećem videozapisu.

Konstrukcija broja √8 s pomoću Euklidova poučka

Zadatak 8.

Primijenite opisani postupak i konstruirajte u bilježnicu dužine čije su duljine:

$\sqrt{8} cm$
$\sqrt{10} cm$
$\sqrt{17} cm$
$\sqrt{20} cm .$

Je li način konstrukcije za svaku od tih dužina jedinstven?

Zadatak c. moguće je riješiti samo na jedan način ( $p = 1,$ $q = 17,$ odnosno $p = 17,$ $q = 1$ ).

Ostale je zadatke moguće riješiti na više načina jer se brojevi $8,$ $10$ i $20$ mogu napisati u obliku umnoška dvaju prirodnih brojeva na više različitih načina.

Geoploča

Projekt

Na geoploči ili točkastom papiru dimenzija $3 \times 3$ nacrtajte što više međusobno nesukladnih četverokuta kojima su vrhovi u točkama mreže. Izračunajte opsege i površine svakog četverokuta ako je udaljenost dviju točaka u retku/stupcu $1 cm .$

Dok radite, obratite pozornost da ne crtate međusobno sukladne četverokute.

Na slici je prikazan četverokut nacrtan u mreži $3 \times 3$ kvadratića i svi njemu sukladni četverokuti.

Svi međusobno sukladni četverokuti imaju jednake opsege i jednaku površinu.

Pogledajte postupak određivanja opsega i površina prikazanog četverokuta u sljedećoj animaciji.

Na slici je geoploča dimenzija 3 X 3 sa svim međusobno nesukladnim četverokutima. Uz svaki četverokut zapisan je njegov opseg i njegova površina.

Na slici su opsezi i površine svih četverokuta u kvadratnoj mreži dimenzija

$3 \times 3 .$

Pitagorino stablo

Kutak za znatiželjne

Pitagorino stablo je fraktal. To znači da ima svojstvo samosličnosti, tj. svaki njegov dio sliči samome sebi bez obzira na to koji dio promatrali i koliko ga puta uvećavali. Pitagorino stablo temelji se na konstrukcijama kvadrata nad stranicama pravokutnih trokuta.

Prema Pitagorinu poučku, zbroj površina kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je površini kvadrata nad njegovom hipotenuzom.

Više o fraktalima i Pitagorinu stablu pogledajte u časopisu math.e.

Na slici je Pitagorino stablo nastalo uzastopnom konstrukcijom kvadrata nad stranicama jednakokračnog pravokutnog trokuta. To je simetrično Pitagorino stablo.

Konstrukcija simetrična Pitagorina stabla.

Konstruirajte u bilježnici kvadrat.
Nad jednom stranicom kvadrata konstruirajte jednakokračni pravokutni trokut pri čemu je stranica kvadrata hipotenuza tog trokuta.
Nad katetama pravokutnog trokuta konstruirajte kvadrate.
Nad svakim kvadratom konstruirajte jednakokračne pravokutne trokute pri čemu su stranice kvadrata hipotenuze tih trokuta.
Ponavljajte korake c. i d. što više puta.

Na slici je Pitagorino stablo nastalo uzastopnom konstrukcijom kvadrata nad stranicama raznostraničnog pravokutnog trokuta. To je asimetrično Pitagorino stablo

Konstrukcija asimetrična Pitagorina stabla.

Koraci konstrukcije asimetrična Pitagorina stabla identični su konstrukciji simetrična Pitagorina stabla, osim što se nad stranicom kvadrata ne konstruira jednakokračni pravokutni trokut nego neki drugi pravokutni trokut, primjerice trokut s kutovima veličine $30 °, 60 °, 90 ° .$

Zadatak 9.

Slika prikazuje učenički rad na temu Pitagorino stablo.

Pitagorino stablo na zidu učionice OŠ Silvija Strahimira Kranjčevića u Zagrebu

Konstruirajte u bilježnicu i obojite Pitagorino stablo.

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zanimljivost

Zadatak 1.

Konačni decimalni zapis

Mješoviti periodični decimalni zapis

Čisti periodični decimalni zapis

Zanimljivost

Zadatak 2.

Spirala drugog korijena

Zanimljivost

Zadatak 3.

Praktična vježba

Euklidov poučak konstrukcije drugog korijena

Zadatak 4.

Zanimljivost

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Geoploča

Projekt

Pitagorino stablo

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

...i na kraju