Processing math: 100%
x
Učitavanje

4.4 Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje televizor.

Optimalna udaljenost.

Marko planira kupiti novi Full HD-televizor i proučava katalog. U njegovoj sobi udaljenost od naslonjača do mjesta na koje će postaviti televizor iznosi 3 metra. Priželjkuje televizijski ekran od 55 inča. Jedan inč iznosi 2.5 centimetara. Okvir u koji namjerava staviti televizor pravokutnog je oblika dimenzija 100cmx80cm.

Hoće li moći smjestiti željeni televizor u taj okvir?

Koliko najviše inča može imati ekran televizora koji će kupiti?

Slika prikazuje grafikon ovisnosti duljine dijagonale televizora i potrebne udaljenosti za kvalitetno gledanje slike.

Dijagonala je spojnica dvaju nesusjednih vrhova nekoga geometrijskog lika. U četverokutima dijagonala spaja suprotne vrhove.

Dijagonala pravokutnika spojnica je suprotnih vrhova pravokutnika.

Dijagonala dijeli pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.

Slika prikazuje pravokutnik, zadan duljinama stranica, s dijagonalom i istaknutim pravokutnim trokutom.

Na pravokutnom trokutu možemo primijeniti Pitagorin poučak.

d2=1002+802

d2=10000+6400

d2=16400

Riješimo kvadratnu jednadžbu i odaberimo samo pozitivno rješenje, u pitanju je duljina, a ona je uvijek pozitivna.

d=±16400

d128.06cm

d128.06:2.5=51.22inča

Marko ne može kupiti TV od 55 inča. Njegov novi TV mora imati manje od 51.22 inča.


Slika prikazuje pravokutnik sa strabnicama duljine  a i b te dijagonalom duljine d i istaknutim pravokutnim trokutom.

Za bilo koji pravokutnik sa stranicama duljine a i b te dijagonalom duljine d vrijedi Pitagorin poučak a2+b2=d2.

Pravokutnik ima dvije dijagonale jednakih duljina.

Zadatak 1.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine m i n i dijagonalom duljine r

Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

m2+n2=r2 


Zadatak 2.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine m i r i dijagonalom duljine n

Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

m2+r2=n2


Zadatak 3.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine n i r te dijagonalom duljine m.

​Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

r2+n2=m2  ​


Zadatak 4.

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika ABCD sa stranicama duljine 4cm i 5cm.

Na slici je prikazan pravokutnik sa stranicama duljine 3 i 4 cm i istaknutom dijagonalom

Nacrtajmo skicu pravokutnika i na njemu istaknimo jednu dijagonalu.

Uočimo pravokutni trokut te za njega postavimo Pitagorin poučak.

d2=32+42

d2=9+16

d2=25/

d=±25

d=±5

Duljina dijagonale iznosi 5cm.


Primjer 1.

Na slici je prikazan pravokutnik sa zadanom duljinom jedne stranice 3 i duljinom dijagonalom 3 korijena iz 10

Izračunajmo duljinu x stranice pravokutnika ako su zadani podatci kao na slici.​

Uočimo pravokutni trokut te za njega postavimo Pitagorin poučak.

x2+32=(310)2

x2+9=32102

x2+9=9·10

x2=90-9

x2=81/

x=±81

x=±9

Duljina stranice iznosi 9m.


Pri rješavanju problema primjenom Pitagorina poučka rješavamo kvadratnu jednadžbu.

Odabiremo samo pozitivno rješenje kvadratne jednadžbe.

Zadatak 5.

Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici.

Duljina stranice pravokutnika [cm]  Duljina stranice pravokutnika [cm]  Duljina dijagonale pravokutnika [cm] 
6
10

12 13
9
15
20 21
Duljina stranice pravokutnika [cm] 
Duljina stranice pravokutnika [cm] 
Duljina dijagonale pravokutnika [cm] 
6 8 10
5 12 13
9 12 15
20 21 29

Zadatak 6.

Na slici je prikazan kvadrat nad dijagonalom pravokutnika kojem su zadane duljine stranica 2 korijena iz 10 i korijen iz 10..

Izračunajmo opseg i površinu kvadrata EFGH nad dijagonalom pravokutnika.

Duljina stranice kvadrata jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika.

d2=(210)2+(10)2

d2=22·(10)2+(10)2

d2=4·10+10

d2=50/

Iz te kvadratne jednadžbe izravno se čita površina kvadrata sa stranicom duljine d.

Površina kvadrata nad dijagonalom iznosi 50.

Za opseg nam još treba duljina dijagonale.

d=±50

d=±25·2

d=±52

Duljina dijagonale iznosi​ 52 jediničnih dužina.

Opseg kvadrata nad dijagonalom jest

o=4d 

o=4·52=202.

Opseg kvadrata iznosi 202  jediničnih dužina.


Zadatak 7.

Duljina nogometnog igrališta iznosi 105 metara, a širina 70 metara.

Izračunajmo razliku puta od točke A do točke B po stranicama igrališta i najkraćeg puta od točke A do točke B.

Na slici je prikaz nogometnog igrališta s istaknutim točkama A i B.Nogometno igralište

U animaciji promotrimo računanje razlike duljina putova iz zadatka.

Zadatak 8.

Zadane su duljina jedne stranice pravokutnika a i duljina dijagonale pravokutnika d. Vaš je zadatak izračunati i upisati iznos opsega pravokutnika (nakon upisa iznosa stisnuti tipku ENTER) zadanog s njegovom stranicom i dijagonalom. Riješite točno sve zadatke iz aktivnosti i naučit ćete nešto zanimljivo.

Povećaj ili smanji interakciju

Zanimljivost

Po velikim matematičkim sposobnostima i erudiciji bila je poznata i Maria Gaetana Agnesi (1718. – 1799.), jedna od najvažnijih i najposebnijih osoba 18. stoljeća. Rođena je u obitelji intelektualaca i već u ranom djetinjstvu prepoznali su u njoj čudo od djeteta. Zahvaljujući ocu, koji je bio profesor matematike, omogućeno joj je visoko obrazovanje. Bila je najstarija od 21 djeteta pa je nakon majčine smrti preuzela brigu o ocu, braći i sestrama, povukavši se tako iz društvenog života. No, nije ostavila matematiku. Godine 1738. objavila je zbirku eseja o prirodnim znanostima i filozofiji Propositiones Philosophicae, u kojima iznosi svoje stajalište o potrebi obrazovanja žena. S 20 godina počela je raditi na svojemu najvažnijem djelu Instituzioni Analitiche o diferencijalnom i integralnom računu. Izjavila je da je to djelo počela pisati kao priručnik svojoj braći, ali je preraslo u nešto mnogo ozbiljnije. Objavljivanje djela 1748. godine izazvalo je senzaciju u akademskom svijetu. To je jedno od prvih i najopćenitijih djela o konačnoj i beskonačnoj analizi. U toj je knjizi na vrlo sustavan način skupila djela raznih matematičara, izlažući ih uz vlastitu interpretaciju. Knjiga je postala modelom jasnoće, prevođena je na mnoge jezike i koristila se kao priručnik. Maria Agnesi bila je prva profesorica matematike na svijetu, predavala je na bolonjskom sveučilištu osnovanom u 11. stoljeću te postala članicom Bolonjske akademije znanosti. No nakon očeve smrti prestala se baviti matematikom te se posvetila brizi za siromašne i bolesne. Njoj u čast jedna krivulja koju je proučavala i danas se zove Agnesijin uvojak.

Više o temi možete pročitati na poveznici Žene u matematici.

Povezani sadržaji

Na slici je prikazan pravokutnik sa zadanim duljinama stranica, 28 m i 21 m koji je upisan u krug.

Na slici je pravokutnik upisan u krug.

Izračunajte omjer površine kruga i površine pravokutnika.

Na slici je prikazan pravokutnik sa zadanim duljinama stranica 28 m i 21 m koji je upisan u krug. Istaknuta mu je i dijagonala koja je jednaka promjeru kruga.
  1. Izračunajmo površinu pravokutnika. Označimo je s pp.

    pp=28·21

    pp=588m2

    Površina pravokutnika iznosi 588m2.

    Za računanje površine kruga potreban nam je polumjer.

    Polumjer je jednak polovini duljine dijagonale pravokutnika.​

  2. Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika koristeći se Pitagorinim poučkom.

    d2=212+282

    d2=441+784

    d2=1225/

    d=35

    Duljina dijagonale iznosi 35 metara.

    Duljina polumjera iznosi 17.5 metara.

  3. Izračunajmo površinu kruga. Označimo je s​ pk.

    pk=r2π

    pk=17.52·3.14

    pk961.63

    Površina kruga na slici iznosi 962m2.

  4. Omjer površina kruga i njemu upisanog pravokutnika iznosi

    pkpp=9625881.64.


Zadatak 9.

U kvizu koji slijedi d je oznaka za duljinu dijagonale pravokutnika, a i b su oznake za duljinu stranica pravokutnika.

  1. Duljine stranica pravokutnika jesu 30m i 40m. Duljina dijagonale tog pravokutnika iznosi:

    null

    Postupak:

    d2=302+402

    d2=900+1600 

    d2=2500 

    d=50 

  2. Ako su duljine stranica pravokutnika 16 i 30dm, onda je duljina njegove dijagonale dm.
    null

    Postupak:

    d2=162+302 

    d2=256+900

    d2=1156 

    d=34 

  3. Duljina dijagonale pravokutnika iznosi 45, a duljina jedne stranice 36. Duljina druge stranice iznosi:

    null

    Postupak:

    452=362+b2  ​

    b2=452-362

    b2=(45-36)·(45+36)

    d2=9·81

    d=27 

  4. Duljina dijagonale pravokutnika iznosi 17, a duljina jedne njegove stranice 8. Duljina druge stranice iznosi  .
    null

    Postupak:

    172=a2+82  ​

    a2=289-64

    a=225

    a=15 

Zadatak 10.

Na slici je prikazana drvena vješalica za sušenje rublja
Drvena vješalica za sušenje rublja

Duljina žice je 55cm, a visina rastvorenog sušila na slici 65cm. Koliko je visoko sušilo kada se sklopi?

Na slici je prikazana drvena vješalica za sušenje rublja s istaknutim pravokutnikom i podacima potrebnim za rješavanje zadatka.

Visina sušila kada se sklopi jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.

d2=552+652

d2=3025+4225

d2=7250/

d=85.15

Visina sušila kada se sklopi iznosi 85.15 centimetara.


Zadatak 11.

Duljine stranica pravokutnika jesu a i b, duljina dijagonale d.

 Spojite parove.

a=1.5,d=3.9  ​
p=1.2 
a=1,d=2.6 
o=6.8  ​
a=0.8,d=1.7  ​
p=4.8 
b=3,d=3.4 
o=10.2  

Pomoć:

a2+b2=d2  ​

null

Zadatak 12.

Na slici je prikazana zaštitna maskica za mobitel

Miro je dobio na dar zaštitnu torbicu za mobitel u obliku pravokutnika sa stranicama 7.5cm i 14cm.

On ima 6-inčni mobitel s ekranom koji se proteže preko cijele prednje strane.

Hoće li je moći iskoristiti za svoj mobitel? (1inč=2.54cm)

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutne zaštitne torbice.

7.52+142=d2

56.25+196=d2

252.25=d2/

d15.88cm

Moći će je iskoristiti jer 6 inča iznosi 15.24cm, što je manje od 15.88cm.


Zadatak 13.

Na slici je prikazano drveno sušilo na rasklapanje sa tri razine

Drveno sušilo za rublje sastoji se od triju sukladnih dijelova. Visina je rastvorenog sušila 1.5 metara, a razmak između podnožja ukriženih letvica 45cm.

Širina sušila iznosi 60cm. Kolika je najmanja ukupna duljina letvica potrebna da bi se napravilo ovakvo sušilo?

Letvica po širini ima 6.

Letvica koje čine križ ima 12. Njihovu duljinu treba izračunati. One su duge koliko i dijagonala u pravokutniku sa stranicama 150:3=50cm i 45cm.

d2=502+452

d2=2500+2025

d2=4525/

d67.27cm

Ukupna duljina iznosi 6·60+12·67.27=1167.24cm.

Najmanja ukupna duljina letvica iznosi 1167.24cm11.67m. 


...i na kraju

Na slici je prikazan pravokutnik s istaknutim pravokutnim trokutom
  1. Ponovili smo svojstva dijagonala pravokutnika:

    • jednake su duljine
    • raspolavljaju se
    • dijele pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.​
  2. Pitagorin poučak na pravokutniku sa stranicama duljine a i b te duljinom dijagonale d​ glasi a2+b2=d2.

  3. Znamo prepoznati primjenu Pitagorina poučka na pravokutniku za rješavanje problemskih situacija u matematici i u svakodnevici.

Idemo na sljedeću jedinicu

4.5 Primjena Pitagorina poučka na kvadrat