x
Učitavanje
  1. Matematika 8
  2. 2. Potencije s bazom 10
  3. 2.3 Potenciranje potencije s bazom 10

2.3 Potenciranje potencije s bazom 10

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje starogrčkog matematičara Arhimeda.
Arhimed

Od davnih je vremena bilo problema s imenovanjem velikih brojeva. U Grčkoj je najveći broj koji je imao svoj naziv bio mirijada, označujući deset tisuća (pišemo 10 4 ). Upravo je Arhimed stvorio poseban sustav označavanja brojeva većih od mirijade. Podijelio je brojeve na periode i redove. U brojeve prvog reda prvog perioda ubrojio je brojeve do broja koji zapisujemo 10 8 .

Arhimed je procijenio da je najveći broj 100 000 000 100 000 000 100 000 000

Za zapisivanje najvećeg broja u Arhimedovu sustavu potrebno je  80 000 000 000 000 000 znamenaka. S toliko mnogo znamenaka uspjeli bismo, kada bismo na svaki milimetar stisnuli 534 znamenke, popločiti udaljenost od Zemlje do Sunca koja iznosi približno 149 600 000 km . Razmišljajući o tom najvećem broju u Arhimedovu sustavu, mogli bismo se zapitati postoji li išta u svemiru čega bi moglo biti u tolikoj mjeri? Kako bi demonstrirao da njegov sustav zapisivanja može adekvatno opisati vrlo velike brojeve, Arhimed je odlučio izbrojiti koliko je zrnaca pijeska potrebno da se ispuni svemir. Pokazao je da je broj zrnaca pijeska u svemiru konačan i manji od 10 63 . Izvor:

Primjer 1.

  1. Izračunajmo površinu kvadrata sa stranicom a duljine 10 4 mm .
  2. Izračunajmo volumen kocke s bridom a duljine 10 5 cm .

  1. Površinu kvadrata sa stranicom duljine a računamo prema formuli p = a 2 . Uvrštavanjem zadanog podatka dobivamo p = 10 4 2 .

    Primijenimo li definiciju kvadriranja i pravilo za množenje potencija s bazom 10 , dobit ćemo p = 10 4 2 = 10 4 · 10 4 = 10 4 + 4 = 10 8 .

    Površina kvadrata sa stranicom duljine 10 4 mm iznosi 10 8 mm 2 . ​

  2. Volumen kocke s bridom duljine a računamo prema formuli V = a 3 . Uvrštavanjem zadanog podatka dobivamo V = 10 5 3 .

    Primijenimo li poznatu činjenicu da je a 3 = a · a · a i pravilo za množenje potencija s bazom 10 , dobit ćemo V = 10 5 3 = 10 5 · 10 5 · 10 5 = 10 5 + 5 + 5 = 10 15 .

    Volumen kocke s bridom duljine 10 5 cm iznosi 10 15 cm 3 .

Što znači potencirati potenciju?

U dosadašnjem učenju potencija, baza je bila broj 10 . Što mislite, kako ćemo potencirati ako baza nije broj 10 , već njegova potencija?

Pogledajmo primjere.

10 n   10 n 2   10 n 3  
 10 n 4   10 n 5   10 n 6   10 n 7   10 n 8  
10 2 10 4   10 6   10 8   10 10   10 12   10 14   10 16  
10 3   10 6   10 9   10 12   10 15   10 18   10 21   10 24  
10 4   10 8   10 12   10 16   10 20   10 24   10 28   10 32  
10 5  
 10 10   10 15   10 20   10 25   10 30   10 35   10 40  

Primjer 2.

Izračunajmo:

  1. 10 5 2
  2. 10 2 3
  3. 10 3 4
  4. 10 2 5

Zadatke rješavamo primjenjujući definiciju potenciranja:

  1. Baza je 10 5 , a eksponent 2 . Zapišimo 10 5 2 u obliku umnoška potencija s bazom 10 :

    10 5 2 = 10 5 · 10 5 = 10 5 + 5 = 10 5 · 2 = 10 10

  2. Baza je 10 2 , a eksponent 3 . Zapišimo 10 2 3 u obliku umnoška potencija s bazom 10 :

    10 2 3 = 10 2 · 10 2 · 10 2 = 10 2 + 2 + 2 = 10 2 · 3 = 10 6 .

  3. Baza je 10 3 , a eksponent 4 . Zapišimo 10 3 4 u obliku umnoška potencija s bazom 10 :

    10 3 4 = 10 3 · 10 3 · 10 3 · 10 3 = 10 3 + 3 + 3 + 3 = 10 3 · 4 = 10 12 .

  4. Baza je 10 2 , a eksponent 5 . Zapišimo 10 2 5 u obliku umnoška potencija s bazom 10 :

    10 2 5 = 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 = 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 2 · 5 = 10 10 .

Na temelju riješenih primjera možemo zaključiti da potenciju s bazom 10 potenciramo tako da bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo.

Potencija s bazom 10 potencira se tako da se baza (broj 10 ) potencira umnoškom eksponenata.

Potenciju broja 10 potenciramo tako da bazu (broj 10 ) potenciramo umnoškom eksponenata.

10 m n = 10 m · n , m , n ∈ N

Zadatak 1.

Izračunajte:

  1. 10 5 3
  2. 10 3 5
  3. 10 6 7
  4. 10 7 6  

Primijenimo li pravilo za potenciranje potencije, dobit ćemo:

  1. 10 5 3 = 10 5 · 3 = 10 15
  2. 10 3 5 = 10 3 · 5 = 10 15  
  3. 10 6 7 = 10 6 · 7 = 10 42
  4. 10 7 6 = 10 7 · 6 = 10 42

Uočite da je:

10 5 3 = 10 3 5  

10 6 7 = 10 7 6

Svojstvo komutativnosti potenciranja potencije broja 10 Neka su m i n prirodni brojevi. ​

Tada vrijedi 10 m n = 10 n m .

Primjer 3.

Izračunajmo primjenjujući formulu 10 m n = 10 m · n .

  1. 10 4 7  
  2. 10 9 5  
  3. 10 15 6  
  1. 10 4 7 = 10 4 · 7 = 10 28
  2. 10 9 5 = 10 9 · 5 = 10 45
  3. 10 15 6 = 10 15 · 6 = 10 90

Primjer 4.

Zapišimo na papir u obliku potencije s bazom​ 10 .

  1. 100 5 ​
  2. 10 000 3  
  3. 1 000 000 7
  1. 100 5 = 10 2 5 = 10 2 · 5 = 10 10
  2. 10 000 3 = 10 4 3 = 10 4 · 3 = 10 12
  3. 1 000 000 7 = 10 6 7 = 10 6 · 7 = 10 42

U sljedećoj interakciji možete uvježbati potenciranje potencije broja 10 .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Izračunajte primjenjujući formulu za potenciranje potencije.

  1. 10 6 8 = 10 x  

     

    null

  2. 10 x 5 = 10 35

    null

  3. 10 15 x = 10 120

    null
    null

  4. Dovuci vrijednosti na njihove jednakosti.

    100 000 000 7
    		10 56 ​
    1 000 4
    		10 15  
    100 000 3  
    		10 12

    Pomoć:

    Zadane brojeve prvo napišite u obliku potencije broja 10 .

    null

  5. Koji je zapis ekvivalentan s 10 · a 2 ?

    null

  6. Koji je zapis ekvivalentan s 100 a b 3 ?

    null
    null

  7. Dovuci vrijednosti na njihove jednakosti.

    5 · 10 3 2
    		49 · 10 6
    3 · 10 7 2
    		9 · 10 14
    7 · 10 3 2
    		25 · 10 6

    Pomoć:

    a · b 2 = a 2 + b 2

    null

Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Izračunajmo:

  1. 10 4 3 2
  2. 10 4 2 3
  3. 10 2 4 3

Usporedimo dobivene rezultate!

  1. 10 4 3 2 = 10 4 3 · 10 4 3 = 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 = 10 12 · 10 12 = 10 24
  2. 10 4 2 3 = 10 4 2 · 10 4 2 · 10 4 2 = 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 · 10 4 = 10 8 · 10 8 · 10 8 = 10 24
  3. 10 2 4 3 = 10 2 4 · 10 2 4 · 10 2 4 = 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 · 10 2 = 10 8 · 10 8 · 10 8 = 10 24 ​

Dobiveni su rezultati jednaki jer umnožak ne ovisi o redoslijedu faktora.

10 4 3 2 = 10 4 2 3 = 10 2 4 3 = 10 4 · 3 · 2 = 10 24

Neka su m ,   n i  p prirodni brojevi. Vrijedi: ​

10 m n p = 10 m · n · p

Vježba za kraj!

Zadatak 3.

Uvježbajte potenciranje potencija.

  1. Zadane brojeve dovuci na ekvivalentne zapise u obliku višekratnika potencije broja 10 .

    1 2 · 10 6 3   ​
    		4 · 10 8   ​
    2 · 10 4 2  
    		9 · 10 14   ​
    3 · 10 7 2   ​
    		1 8 · 10 18   ​
    10 3 6  
    		10 18   ​
    10 4 5 7   ​
    		10 140   ​

    Pomoć:

    a · b n = a n · b n ,

    10 m n = 10 m · n

    Postupak:

    1 2 · 10 6 3 = 1 2 3 · 10 6 3 = 1 8 · 10 18   ​

    10 4 5 7 = 10 20 7 = 10 140  

  2. Zadane brojeve poredajte od najmanjeg prema najvećem.

    • 10 2 3
    • 10 3 5
    • 10 5
    • 10 3 3

    Pomoć:

    Zadane brojeve napiši u obliku potencije broja 10 . ​

  3. Razvrstajte po veličini sljedeće brojeve:

    10 3 3

    Veći od ​ 10 000 000  

    Manji od ​ 10 000 000  

    Pomoć:

    Zadane brojeve napišite u obliku potencije broja 10 pa njihove eksponente usporedite s brojem 7 (jer je 10 000 000 = 10 7 ).

  4. Koliko je​ 10 5 7 ?

Povezani sadržaji

Fotografija prikazuje planetu Zemlju.
Planeta Zemlja

Najmanja udaljenost Zemlje od Sunca iznosi 146 milijuna kilometara, a najveća udaljenost Zemlje od Sunca iznosi 152 milijuna kilometara.

Zadatak 4.

  1. 146 000 000 km

    null
    null

  2. 152 000 000 km

    null
    null

Zanimljivost

Pogledajte sljedeći video u kojem su mase planeta Sunčeva sustava napisane u obliku višekratnika potencije s bazom 10 s prirodnim eksponentom.​

Kutak za znatiželjne

U videu možete pogledati kako se računa s potencijama čija je baza različita od 10 .

...i na kraju

Naučili smo da se potencija potencira tako da se baza potencira umnoškom eksponenata, tj. da za prirodne brojeve m i n vrijedi 10 m n = 10 m·n .

Primijenite naučeno i izračunajte volumen kvadra čiji su bridovi duljine a = 10 6 mm , b = 10 5 cm i c = 10 4 dm

Na slici je kvadar s bridovima čije su duljine označene slovima a, b i c.

Duljine bridova treba prikazati istom mjernom jedinicom, npr. u milimetrima. Tada je

a = 10 6 mm , b = 10 5 cm = 10 6 mm i c = 10 4 dm = 10 6 mm .

Uočite da je a = b = c , tj. da je riječ o kocki. Volumen kocke računamo prema formuli V = a 3 , pa uvrštavanjem dobivamo:

V = a 3 = 10 6 3 = 10 18 mm 3  

Idemo na sljedeću jedinicu

2.4 Potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom